Кіріспе
Сандар теориясында Хеке сипаты — Дирихле сипатының жалпыламасы, оны Эрих Хеке Дирихле L функцияларынан кеңірек L функциялар класын құру және Риман зета функциясы сияқты функционалдық теңдеулері бар Дедекинд зета функциялары мен басқа да функциялар үшін табиғи орта ретінде енгізген. Хеке сипатын атау үшін кейде немісше Größencharakter (әдетте Grössencharakter, Grossencharacter, т.б. деп жазылады) термині қолданылады.
L functions larger than Dirichlet L functions, and a natural setting for the Dedekind zeta functions and certain others which have functional equations analogous to that of the Riemann zeta function. A name sometimes used for Hecke character is the German term Größencharakter (often written Grössencharakter, Grossencharacter, etc. ).
Идельдерді қолдану арқылы анықтамасы
Хекке таңбасы – сан денесінің немесе жаһандық функциялық денесінің идеал класы тобының таңбасы. Ол проекциялық бейнелеу арқылы негізгі идеалдарда тривиальды болатын идеал тобының таңбасына бірегей түрде сәйкес келеді. Бұл анықтама кейіпкердің анықтамасына байланысты, ал авторлар арасында ол сәл өзгеше болуы мүмкін: оны нөлдік емес комплекс сандарға гомоморфизм ретінде ("квазикейіпкер" деп те аталады) немесе C-дегі бірлік шеңберіне гомоморфизм ("бірлік") ретінде анықтауға болады. Кез келген квазикейіпкер (идеал класы тобының) норманың нақты дәрежесіне көбейтілген бірлік кейіпкер ретінде бірегей түрде жазылуы мүмкін, сондықтан екі анықтама арасында елеулі айырмашылық жоқ. Хекке таңбасы χ-тың өткізгіші – χ-тың mod m Хекке таңбасы болатын ең үлкен идеал m. Мұнда χ, егер (идеал тобындағы таңба ретінде қарастырылса) әрбір v-адық компоненті 1 + mOv-қа жататын шекті идеалдар тобында тривиальды болса, mod m Хекке таңбасы болып саналады.
Анықтамалар арасындағы байланыс
Идеалдық анықтама идеалдық анықтамадан әлдеқайда күрделі, ал Гекке өзінің анықтамасын құруға себеп болған нәрсе – L функцияларын (кейде Гекке L функциялары деп аталады) жасау болды, олар Дирихле L функциясының ұғымын рационал сандардан басқа сандық өрістерге дейін кеңейтеді. Гекке мінезтамасы χ үшін, оның L функциясы Хекке мінезтамасының модулі m-ге өзіндік жай идеалдар бойынша жүргізілетін Дирихле қатары ретінде анықталады. N(I) белгісі идеалдық норманы білдіреді. Pm кіші тобындағы Гекке мінезтамаларының мінез-құлқына бағыттайтын ортақ нақты бөлік шарты, бұл Дирихле қатарларының белгілі бір оң жарты жазықтықта толық конverгенциясын білдіреді. Гекке бұл L функцияларының бүкіл комплекс жазықтықта мероморфты жалғасы бар екенін дәлелдеді, мінезтама тривиалды болғанда s = 1 нүктесінде 1-реттік қарапайым полюсінен басқа, аналитикалық болып табылады. Бастапқы Гекке мінезтамалары үшін (бастапқы Дирихле мінезтамаларына ұқсас модульге қатысты анықталған), Гекке бұл L функциялары мінезтаманың L функциясының мәндері мен оның комплекс конъюгат мінезтамасының L функциясының мәндерін байланыстыратын функционалдық теңдеуді қанағаттандыратындығын көрсетті. Идеалдық класс тобының ψ мінезтамасын қарастырайық, ол негізгі идеалдарда 1-ге тең және барлық шексіз орындарды қамтитын ерекше шекті жиын S-де бірлік шеңберіне бейнелеу ретінде қарастырылады. Содан кейін ψ, S-те емес жай идеалдардағы еркін абелдік топ болып табылатын идеалдық топтың χ мінезтамасын тудырады. S-те емес әрбір жай p үшін біртекті элемент π-ні таңдап, IS-ден идеалдық классқа бейнелеуді анықтаңыз, әр p-ні p координатасындағы π және басқа жердегі 1-ге бейнелейді. χ, Π және ψ құрамы болсын. Онда χ идеалдық топтағы мінезтама ретінде дұрыс анықталады. Керісінше, IS-тің қабылданған мінезтамасы χ берілген жағдайда, бірегей идеалдық класс мінезтамасы ψ сәйкес келеді. Мұнда қабылданған дегеніміз, S жиынына негізделген m модулінің болуы, сонда χ мінезтамасы 1 mod m идеалдарында 1-ге тең болады. Шекті ретті Гекке мінезтамаларының барлығы белгілі бір мағынада класс өріс теориясымен түсіндіріледі: олардың L функциялары Артин L функциялары болып табылады, Артиннің өзара байланысы көрсеткендей. Бірақ тіпті Гаусс өрісі сияқты қарапайым өрісте де шекті реттен асып түсетін Гекке мінезтамалары бар (төмендегі мысалға қараңыз). Комплекс көбейту теориясының кейінгі дамуы «үлкен» мінезтамалардың дұрыс орны алгебралық сорттардың (немесе тіпті мотивтердің) маңызды класы үшін Хассе-Вейль L функцияларын қамтамасыз ету екенін көрсетті.
carried out over integral ideals relatively prime to the modulus m of the Hecke character. The notation N(I) means the ideal norm. The common real part condition governing the behavior of Hecke characters on the subgroups Pm implies these
Dirichlet series are absolutely convergent in some right half plane. Hecke proved these L functions have a meromorphic continuation to the whole complex plane, being analytic except for a simple pole of order 1 at s = 1 when the character is trivial. For primitive Hecke characters (defined relative to a modulus in a similar manner to primitive Dirichlet characters), Hecke showed these L functions satisfy a functional equation relating the values of the L function of a character and the L function of its complex conjugate character. Consider a character ψ of the idele class group, taken to be a map into the unit circle which is 1 on principal ideles and on an exceptional finite set S containing all infinite places. Then ψ generates a character χ of the ideal group IS, the free abelian group on the prime ideals not in S. Take a uniformising element π for each prime p not in S and define a map Π from IS to idele classes by mapping each p to the class of the idele which is π in the p coordinate and 1 everywhere else. Let χ be the composite of Π and ψ. Then χ is well defined as a character on the ideal group. In the opposite direction, given an admissible character χ of IS there corresponds a unique idele class character ψ. Here admissible refers to the existence of a modulus m based on the set S such that the character χ is 1 on the ideals which are 1 mod m.
The characters are 'big' in the sense that the infinity type when present non trivially means these characters are not of finite order. The finite order Hecke characters are all, in a sense, accounted for by class field theory: their L functions are Artin L functions, as Artin reciprocity shows. But even a field as simple as the Gaussian field has Hecke characters that go beyond finite order in a serious way (see the example below). Later developments in complex multiplication theory indicated that the proper place of the 'big' characters was to provide the Hasse–Weil L functions for an important class of algebraic varieties (or even motives).
Ерекше жағдайлар
Дирихлет таңбасы – шекті ретті Гекке таңбасы. Ол белгілі бір модуль m-ге қатысты 1-ге тең болатын толық оң негізгі идеалдар жиынындағы мәндерімен анықталады.
Дейін, E – K қияссыз квадраттық өріс арқылы күрделі көбейтумен сандық өріс F-та анықталған эллипстік қисық болсын, және K, F-қа кіретін болсын. Онда F үшін ерекше жиыны S, E-нің нашар азайтуының жай сандары жиыны және шексіз орындармен бірге болатын алгебралық Гекке таңбасы χ бар. Бұл таңбаның қасиеті, жақсы азайтудың жай идеалды p үшін, χ(p) мәні Фробен эндоморфизмінің сипаттамалық көпмүшесінің түбірі болады. Салдарынан, E үшін Хассе–Вейль зета функциясы, χ және оның күрделі конъюгаты үшін екі Дирихле қатарының көбейтіндісі болып табылады.