Введение
В теории чисел символ Гекке является обобщением символа Дирихле, введенным Эрихом Гекке для построения класса L-функций, более широкого, чем функции Дирихле, и естественной областью определения для дзета-функций Дедекинда и некоторых других, обладающих функциональными уравнениями, аналогичными функциональному уравнению дзета-функции Римана. Иногда для обозначения символа Гекке используется немецкий термин Größencharakter (часто пишется Grössencharakter, Grossencharacter и т. д.).
L functions larger than Dirichlet L functions, and a natural setting for the Dedekind zeta functions and certain others which have functional equations analogous to that of the Riemann zeta function. A name sometimes used for Hecke character is the German term Größencharakter (often written Grössencharakter, Grossencharacter, etc. ).
Определение с использованием идеалов
Характер Хекке — это символ группы классов идеалов числового поля или глобального поля функций. Он однозначно соответствует символу группы иделов, тривиальному на главных иделах, посредством композиции с проективным отображением. Это определение зависит от определения символа, которое несколько различается у разных авторов: символ может быть определен как гомоморфизм в ненулевые комплексные числа (также называемый «квазихарактером»), или как гомоморфизм в единичную окружность в C («унитарный»). Любой квазихарактер (группы классов идеалов) можно единственным образом представить как унитарный символ, умноженный на вещественную степень нормы, поэтому существенной разницы между этими двумя определениями нет. Проводник характера Хекке χ — это наибольший идеал m, такой что χ является характером Хекке по модулю m. Мы говорим, что χ является характером Хекке по модулю m, если χ (рассматриваемый как символ на группе иделов) тривиален на группе конечных иделов, каждый v-адический компонент которых лежит в 1 + mOv.
Связь между определениями
Идеальное определение гораздо сложнее, чем иделическое, и мотивацией Гекке для его определения было построение L-функций (иногда называемых L-функциями Гекке), которые расширяют понятие L-функции Дирихле с рациональных чисел на другие числовые поля. Для символа Гекке χ его L-функция определяется как ряд Дирихле, вычисляемый по интегральным идеалам, взаимно простым с модулем m символа Гекке. Обозначение N(I) означает норму идеала. Общее условие на вещественную часть, определяющее поведение символов Гекке в подгруппах Pm, подразумевает, что эти ряды Дирихле абсолютно сходятся в некоторой правой полуплоскости. Гекке доказал, что эти L-функции имеют мероморфное продолжение на всю комплексную плоскость, будучи аналитическими, за исключением простого полюса порядка 1 при s = 1, когда символ тривиален. Для примитивных символов Гекке (определенных относительно модуля аналогично примитивным символам Дирихле) Гекке показал, что эти L-функции удовлетворяют функциональному уравнению, связывающему значения L-функции символа и L-функции его комплексно сопряженного символа. Рассмотрим символ ψ группы идельных классов, рассматриваемый как отображение в единичную окружность, равное 1 на главных идеалах и на исключительной конечной множестве S, содержащем все бесконечные места. Тогда ψ порождает символ χ идеальной группы IS, свободной абелевой группы, порожденной простыми идеалами, не входящими в S. Возьмем нормирующий элемент π для каждого простого числа p, не входящего в S, и определим отображение Π из IS в классы идеалов, отображающее каждое p в класс идеала, который равен π в p-й координате и 1 во всех остальных. Пусть χ будет композицией Π и ψ. Тогда χ корректно определен как символ на идеальной группе. В обратном направлении, заданному допустимому символу χ для IS соответствует единственный символ класса идеалов ψ. Здесь под допустимостью понимается существование модуля m, основанного на множестве S, такого что символ χ равен 1 на идеалах, сравнимых с 1 по модулю m. Символы называются «большими» в том смысле, что нетривиальный тип бесконечности означает, что эти символы не имеют конечного порядка. Символы Гекке конечного порядка, в некотором смысле, объясняются теорией полей классов: их L-функции являются L-функциями Артина, как показывает взаимность Артина. Но даже такое простое поле, как гауссово, имеет символы Гекке, которые существенно выходят за пределы конечного порядка (см. пример ниже). Последующие разработки в теории комплексного умножения показали, что правильное место «больших» символов – предоставлять L-функции Хассе — Вейля для важного класса алгебраических многообразий (или даже мотивов).
carried out over integral ideals relatively prime to the modulus m of the Hecke character. The notation N(I) means the ideal norm. The common real part condition governing the behavior of Hecke characters on the subgroups Pm implies these
Dirichlet series are absolutely convergent in some right half plane. Hecke proved these L functions have a meromorphic continuation to the whole complex plane, being analytic except for a simple pole of order 1 at s = 1 when the character is trivial. For primitive Hecke characters (defined relative to a modulus in a similar manner to primitive Dirichlet characters), Hecke showed these L functions satisfy a functional equation relating the values of the L function of a character and the L function of its complex conjugate character. Consider a character ψ of the idele class group, taken to be a map into the unit circle which is 1 on principal ideles and on an exceptional finite set S containing all infinite places. Then ψ generates a character χ of the ideal group IS, the free abelian group on the prime ideals not in S. Take a uniformising element π for each prime p not in S and define a map Π from IS to idele classes by mapping each p to the class of the idele which is π in the p coordinate and 1 everywhere else. Let χ be the composite of Π and ψ. Then χ is well defined as a character on the ideal group. In the opposite direction, given an admissible character χ of IS there corresponds a unique idele class character ψ. Here admissible refers to the existence of a modulus m based on the set S such that the character χ is 1 on the ideals which are 1 mod m.
The characters are 'big' in the sense that the infinity type when present non trivially means these characters are not of finite order. The finite order Hecke characters are all, in a sense, accounted for by class field theory: their L functions are Artin L functions, as Artin reciprocity shows. But even a field as simple as the Gaussian field has Hecke characters that go beyond finite order in a serious way (see the example below). Later developments in complex multiplication theory indicated that the proper place of the 'big' characters was to provide the Hasse–Weil L functions for an important class of algebraic varieties (or even motives).
Особые случаи
Характер Дирихле — это символ Геке конечного порядка. Он определяется значениями на множестве полностью положительных главных идеалов, равных 1 по модулю некоторого m.
Действительно, пусть E — эллиптическая кривая, определенная над числовым полем F, с комплексным умножением по мнимому квадратичному полю K, и предположим, что K содержится в F. Тогда существует алгебраический символ Геке χ для F, исключительное множество S которого состоит из простых чисел плохого восстановления E вместе с бесконечными местами. Этот символ обладает свойством, что для простого идеала p хорошего восстановления значение χ(p) является корнем характеристического многочлена эндоморфизма Фробениуса. Как следствие, дзета-функция Хассе — Вейля для E является произведением двух рядов Дирихле, соответствующих χ и его комплексно сопряженному.