Кіріспе
Математикалық теория
Сандар теориясында Тейттің диссертациясы – 1950 жылы Принстон университетінде Эмиль Артиннің жетекшілігімен қорғалған докторлық диссертация. Онда Тейт, жергілікті жиынтық идеалдар тобындағы аудармаға қатысты емес интегралдауды қолданып, сандық өрістің Хекке мінездемесімен бұралған, яғни Хекке L-функциясымен бұралған зетта-функцияны зетта-интегралына көтеріп, оның қасиеттерін зерттеді. Гармоникалық талдауды, әсіресе Пуассон қосынды формуласын пайдаланып, ол зетта-интегралы мен Хекке L-функциясының функционалдық теңдеуін және мероморфтық жалғастырылуын дәлелдеді. Сондай-ақ, ол бұралған зетта-функцияның полюстерін анықтады. Оның еңбегін Эрих Хеккенің Хекке L-функциясының функционалдық теңдеуін дәлелдеу жөніндегі жұмысының тамаша және қуатты қайта формулировкасы деп қарастыруға болады. Эрих Хекке алгебралық сандық өріс пен оның бүтін сандар сақинасындағы торға байланысты жалпыланған тета-қатарды қолданды.
In number theory, Tate's thesis is the 1950 PhD thesis of completed under the supervision of Emil Artin at Princeton University. In it, Tate used a translation invariant integration on the locally compact group of ideles to lift the zeta function twisted by a Hecke character, i. e. a Hecke L function, of a number field to a zeta integral and study its properties. Using harmonic analysis, more precisely the Poisson summation formula, he proved the functional equation and meromorphic continuation of the zeta integral and the Hecke L function. He also located the poles of the twisted zeta function. His work can be viewed as an elegant and powerful reformulation of a work of Erich Hecke on the proof of the functional equation of the Hecke L function. Erich Hecke used a generalized theta series associated to an algebraic number field and a lattice in its ring of integers.
Ивасава-Тате теориясы
Кенкичи Ивасава екінші дүниежүзілік соғыс кезінде дерлік сол әдісті (Тейттің диссертациясындағы жергілікті теорияның аналогы болмаған күйінде) өздігінен ашты және оны 1950 жылғы Халықаралық математиктер конгресіндегі баяндамасында және 1952 жылы Жан Диодоннеге жазған хатында жариялады. Сондықтан бұл теория көбінесе Ивасава–Тате теориясы деп аталады. Ивасава Диодоннеге жазған хатында бірнеше бет бойы L функциясының мероморфтық жалғастырылуын және функционалдық теңдеуін ғана емес, сонымен қатар сынып санының шектілігін және Дирихленің бірліктер туралы теоремасын негізгі есептеудің тікелей салдары ретінде дәлелдеді. Оң мінездемедегі теорияны он жыл бұрын Эрнст Витт, Вильфрид Шмид және Освальд Тейхмюллер жасаған. Ивасава–Тате теориясы кластық өріс теориясынан алынған бірнеше құрылымдарды пайдаланады, бірақ кластық өріс теориясының терең нәтижелерін қолданбайды.
Жалпылау
Ивасава–Тейт теориясы 1972 жылы Роджер Годемент пен Эрве Жаке алгебралық сан өрісіндегі жалпы сызықтық топ GL(n) және оның аделикалық тобының автоморфты бейнелеріне қатысты кеңейтілді, бұл Лангланд сәйкестігінің негізін қалады. Тейттің диссертациясын Годемент–Жаке жұмысының GL(1) жағдайы ретінде қарастыруға болады.