Введение
Математическая теория
В теории чисел диссертация Тейта — это докторская диссертация 1950 года, написанная под руководством Эмиля Артина в Принстонском университете. В ней Тейт использовал трансляционно-инвариантную интеграцию на локально компактной группе иделей, чтобы расширить дзета-функцию, скрученную характером Геке, то есть L-функцию Геке, числового поля, до дзета-интеграла и изучить его свойства. Используя гармонический анализ, а точнее формулу суммирования Пуассона, он доказал функциональное уравнение и мероморфное продолжение дзета-интеграла и L-функции Геке. Он также определил полюса скрученной дзета-функции. Его работу можно рассматривать как элегантную и мощную переформулировку работы Эриха Геке по доказательству функционального уравнения L-функции Геке. Эрих Геке использовал обобщенный тета-ряд, связанный с алгебраическим числовым полем и решеткой в кольце его целых чисел.
In number theory, Tate's thesis is the 1950 PhD thesis of completed under the supervision of Emil Artin at Princeton University. In it, Tate used a translation invariant integration on the locally compact group of ideles to lift the zeta function twisted by a Hecke character, i. e. a Hecke L function, of a number field to a zeta integral and study its properties. Using harmonic analysis, more precisely the Poisson summation formula, he proved the functional equation and meromorphic continuation of the zeta integral and the Hecke L function. He also located the poles of the twisted zeta function. His work can be viewed as an elegant and powerful reformulation of a work of Erich Hecke on the proof of the functional equation of the Hecke L function. Erich Hecke used a generalized theta series associated to an algebraic number field and a lattice in its ring of integers.
Теория Ивасава Тате
Кенкичи Ивасава независимо открыл по существу тот же метод (без аналога локальной теории в диссертации Тейта) во время Второй мировой войны и представил его в своей работе на Международном конгрессе математиков в 1950 году и в письме Жану Диодонне, написанном в 1952 году. Поэтому эта теория часто называется теорией Ивасавы — Тейта. В своем письме Диодонне Ивасава на нескольких страницах вывел не только мероморфное продолжение и функциональное уравнение L-функции, но и доказал конечность числа классов и теорему Дирихле об единицах как непосредственные следствия основного вычисления. Теория для положительной характеристики была разработана на десятилетие раньше Эрнстом Виттом, Вильфридом Шмидом и Освальдом Тейхмюллером. Теория Ивасавы — Тейта использует ряд структур, происходящих из теории классовых полей, однако не опирается на какие-либо глубокие результаты этой теории.
Обобщения
Теория Ивасава — Тате была расширена на общую линейную группу GL(n) над алгебраическим числовым полем и на автоморфные представления её аделической группы Роджером Годемоном и Эрве Жаке в 1972 году, что заложило основы соответствия Лэнгландса. Диссертация Тейта может рассматриваться как частный случай GL(1) работы Годемона — Жаке.