Кіріспе
Алгебралық геометриядағы ұғым. Алгебралық геометрияда жергілікті кохомология – салыстырмалы кохомологияның алгебралық аналогы. Александр Гротендик оны 1961 жылы Гарвардтағы семинарларда таныстырды, содан кейін 1961 жылы IHES-те SGA2 ретінде жазылды, қайта жарияланды. Алгебралық түрдің (немесе схеманың) ашық ішкі жиынында анықталған функция (жалпы жағдайда, квазикогерентті шоқ бөлігі) берілген болса, жергілікті кохомология осы функцияны үлкен доменге кеңейтуге кедергі келтіретін факторды өлшейді. Мысалы, рационалды функция тек аффиндік түзудің толықтырғышында ғана анықталған және оны бүкіл кеңістіктегі функцияға кеңейту мүмкін емес. Жергілікті кохомология модулі (мұндағы координаталық сақинасы ) кохомология класының жоғалуы арқылы осы кедергіні анықтайды. Сол сияқты, функция аффиндік жазықтықтағы осьтерден басқа жерде анықталған, бірақ оны тек осьтің толықтырғышына немесе тек осьтің толықтырғышына кеңейту мүмкін емес (сондай-ақ оны мұндай функциялардың қосындысы ретінде де көрсетуге болмайды); осы кедергі жергілікті кохомология модуліндегі нөлдік емес сыныпқа дәл сәйкес келеді. Алгебралық геометриядан тыс, жергілікті кохомология коммутативтік алгебрада, комбинаторикада және жартылай дифференциалдық теңдеулердің кейбір түрлерінде қолданылады.
In algebraic geometry, local cohomology is an algebraic analogue of relative cohomology. Alexander Grothendieck introduced it in seminars in Harvard in 1961 written up by , and in 1961 2 at IHES written up as SGA2 , republished as Given a function (more generally, a section of a quasicoherent sheaf) defined on an open subset of an algebraic variety (or scheme), local cohomology measures the obstruction to extending that function to a larger domain. The rational function , for example, is defined only on the complement of on the affine line over a field , and cannot be extended to a function on the entire space. The local cohomology module (where is the coordinate ring of ) detects this in the nonvanishing of a cohomology class In a similar manner, is defined away from the and axes in the affine plane, but cannot be extended to either the complement of the axis or the complement of the axis alone (nor can it be expressed as a sum of such functions); this obstruction corresponds precisely to a nonzero class in the local cohomology module
Outside of algebraic geometry, local cohomology has found applications in commutative algebra, combinatorics, and certain kinds of partial differential equations.
Степенді жергілікті кохомология және проективті геометрия
Егер , біртекті элементтер арқылы туындаса және сыныпталған модуль болса, жергілікті кохомология модуліне табиғи сыныпталу орнатылады, бұл сыныпталу мен үйлесімді және осы мақалада келтірілген жергілікті кохомологияның барлық негізгі қасиеттері сыныпталған құрылыммен сәйкес келеді. Егер шекті түрде туындаған болса және оң дәрежелі элементтері арқылы құрылған идеал болса, онда сыныпталған компоненттері үстінен шекті түрде туындайды және жеткілікті үлкен үшін жоғалады.
The case where is the ideal generated by all elements of positive degree (sometimes called the irrelevant ideal) is particularly special, due to its relationship with projective geometry. In this case, there is an isomorphism
where is the projective scheme associated to , and denotes the Serre twist. This isomorphism is graded, giving
in all degrees
This isomorphism relates local cohomology with the global cohomology of projective schemes. For example, the Castelnuovo–Mumford regularity can be formulated using local cohomology as
where denotes the highest degree such that Local cohomology can be used to prove certain upper bound results concerning the regularity.
Барлық оң дәрежелі элементтері арқылы құрылған идеал (кейде маңызды емес идеал деп аталады) проективті геометриямен байланысы болғандықтан ерекше жағдай болып табылады. Бұл жағдайда, изоморфизм бар:
The case where is the ideal generated by all elements of positive degree (sometimes called the irrelevant ideal) is particularly special, due to its relationship with projective geometry. In this case, there is an isomorphism
where is the projective scheme associated to , and denotes the Serre twist. This isomorphism is graded, giving
in all degrees
This isomorphism relates local cohomology with the global cohomology of projective schemes. For example, the Castelnuovo–Mumford regularity can be formulated using local cohomology as
where denotes the highest degree such that Local cohomology can be used to prove certain upper bound results concerning the regularity.
мұнда проективті схемаға сәйкес келеді және Серре бұрылысын білдіреді. Бұл изоморфизм сыныпталған, сондықтан барлық дәрежелерде:
The case where is the ideal generated by all elements of positive degree (sometimes called the irrelevant ideal) is particularly special, due to its relationship with projective geometry. In this case, there is an isomorphism
where is the projective scheme associated to , and denotes the Serre twist. This isomorphism is graded, giving
in all degrees
This isomorphism relates local cohomology with the global cohomology of projective schemes. For example, the Castelnuovo–Mumford regularity can be formulated using local cohomology as
where denotes the highest degree such that Local cohomology can be used to prove certain upper bound results concerning the regularity.
Бұл изоморфизм жергілікті кохомологияны проективті схемалардың жаһандық кохомологиясымен байланыстырады. Мысалы, Кастельнуово-Мамфорд реттелуін жергілікті кохомология арқылы былай формулиреуге болады:
The case where is the ideal generated by all elements of positive degree (sometimes called the irrelevant ideal) is particularly special, due to its relationship with projective geometry. In this case, there is an isomorphism
where is the projective scheme associated to , and denotes the Serre twist. This isomorphism is graded, giving
in all degrees
This isomorphism relates local cohomology with the global cohomology of projective schemes. For example, the Castelnuovo–Mumford regularity can be formulated using local cohomology as
where denotes the highest degree such that Local cohomology can be used to prove certain upper bound results concerning the regularity.
мұнда ең жоғары дәрежелі болып табылады, мұндағы . Жергілікті кохомология реттелуге қатысты белгілі бір жоғарғы шектерді дәлелдеу үшін қолданылуы мүмкін.
The case where is the ideal generated by all elements of positive degree (sometimes called the irrelevant ideal) is particularly special, due to its relationship with projective geometry. In this case, there is an isomorphism
where is the projective scheme associated to , and denotes the Serre twist. This isomorphism is graded, giving
in all degrees
This isomorphism relates local cohomology with the global cohomology of projective schemes. For example, the Castelnuovo–Mumford regularity can be formulated using local cohomology as
where denotes the highest degree such that Local cohomology can be used to prove certain upper bound results concerning the regularity.
Жергілікті дуалдық
Жергілікті дуалдық теорема – Серре дуалдығының жергілікті аналогы. Горенштейн жергілікті сақинасының гомоморфты бейнесі болатын, өлшемді Коэн-Маколей жергілікті сақинасы үшін (мысалы, егер толық болса), ол табиғи жұптасудың толық жұптасу екенін көрсетеді, мұнда – дуалдаушы модуль. Матлис дуалдық функторы арқылы, жергілікті дуалдық теорема келесі изоморфизм түрінде беріледі. Егер , болған жағдайда бұл тұжырым қарапайымдатылады, бұл – сақинаның Горенштейн екендігіне тең. Мысалы, егер сақина тұрақты болса, онда бұл орындалады.
is a perfect pairing, where is a dualizing module for In terms of the Matlis duality functor , the local duality theorem may be expressed as the following isomorphism. The statement is simpler when , which is equivalent to the hypothesis that is Gorenstein. This is the case, for example, if is regular.
Қолданбалар
Бастапқы қолданбалар Лефшецтің гипержапсырма теоремаларының аналогтарына қатысты. Жалпы, мұндай теоремалар гомология немесе кохомология алгебралық түрліліктің гипержапсары қимасында қолдайтынын, тек кейбір 'жоғалуларды' бақылауға болатынын көрсетеді. Бұл нәтижелер алгебралық фундаменталды топқа және Пикард тобына қолданылды. Тағы бір қолдану түрі – Гротендиктің байланыстық теоремасы (Бертини теоремасының жергілікті аналогы) немесе Фултон-Хансеннің байланыстық теоремасы. Соңғысы алгебралық жабық өрісте Pr проективті түрліліктері V және W үшін, Z = V ∩ W (яғни, Z-ден ажыратылған толықтығы Z \ T ажыратылатындай етіп, Z-дің жабық ішкі жиынының ең кішкентай өлшемі) Z-дің байланыстылық өлшемі c(Z) ≥ dim V + dim W − r − 1 теңсіздігімен шектеледі. Мысалы, егер dim V + dim W > r болса, Z байланысты болады. Полиэдрлік геометрияда МакМулленнің жоғарғы шектеу теоремасының Стенлидің 1975 жылғы дәлелінің маңызды бөлігі – сәйкес симплициалдық кешеннің Стенли-Рейзнер сақинасы Коэн-Маколей екенін көрсету болып табылады, ал жергілікті кохомология Хохстер формуласы арқылы осы есептеуде маңызды құрал болып табылады.
c(Z) ≥ dim V + dim W − r − 1. For example, Z is connected if dim V + dim W > r.
In polyhedral geometry, a key ingredient of Stanley’s 1975 proof of the simplicial form of McMullen’s Upper bound theorem involves showing that the Stanley Reisner ring of the corresponding simplicial complex is Cohen Macaulay, and local cohomology is an important tool in this computation, via Hochster’s formula.