Введение
Понятие в алгебраической геометрии
В алгебраической геометрии локальная кохомология является алгебраическим аналогом относительной кохомологии. Александр Гротендик ввёл её на семинарах в Гарварде в 1961 году (записи семинара), а также в 1961–1962 годах в IHES (SGA2), переизданном как. Для заданной функции (в более общем случае, сечения квазикогерентного пучка), определённой на открытом подмножестве алгебраического многообразия (или схемы), локальная кохомология измеряет препятствие к расширению этой функции на большую область. Например, рациональная функция определяется только на дополнении к на аффинной прямой над полем , и её нельзя расширить до функции на всём пространстве. Модуль локальной кохомологии (где — координатное кольцо ) обнаруживает это в ненулевом классе кохомологии. Аналогичным образом, функция определяется вне осей в аффинной плоскости, но её нельзя расширить ни на дополнение к оси , ни на дополнение к оси в отдельности (и её нельзя представить в виде суммы таких функций); это препятствие точно соответствует ненулевому классу в модуле локальной кохомологии.
In algebraic geometry, local cohomology is an algebraic analogue of relative cohomology. Alexander Grothendieck introduced it in seminars in Harvard in 1961 written up by , and in 1961 2 at IHES written up as SGA2 , republished as Given a function (more generally, a section of a quasicoherent sheaf) defined on an open subset of an algebraic variety (or scheme), local cohomology measures the obstruction to extending that function to a larger domain. The rational function , for example, is defined only on the complement of on the affine line over a field , and cannot be extended to a function on the entire space. The local cohomology module (where is the coordinate ring of ) detects this in the nonvanishing of a cohomology class In a similar manner, is defined away from the and axes in the affine plane, but cannot be extended to either the complement of the axis or the complement of the axis alone (nor can it be expressed as a sum of such functions); this obstruction corresponds precisely to a nonzero class in the local cohomology module
Outside of algebraic geometry, local cohomology has found applications in commutative algebra, combinatorics, and certain kinds of partial differential equations.
За пределами алгебраической геометрии локальная кохомология нашла применение в коммутативной алгебре, комбинаторике и некоторых видах уравнений в частных производных.
In algebraic geometry, local cohomology is an algebraic analogue of relative cohomology. Alexander Grothendieck introduced it in seminars in Harvard in 1961 written up by , and in 1961 2 at IHES written up as SGA2 , republished as Given a function (more generally, a section of a quasicoherent sheaf) defined on an open subset of an algebraic variety (or scheme), local cohomology measures the obstruction to extending that function to a larger domain. The rational function , for example, is defined only on the complement of on the affine line over a field , and cannot be extended to a function on the entire space. The local cohomology module (where is the coordinate ring of ) detects this in the nonvanishing of a cohomology class In a similar manner, is defined away from the and axes in the affine plane, but cannot be extended to either the complement of the axis or the complement of the axis alone (nor can it be expressed as a sum of such functions); this obstruction corresponds precisely to a nonzero class in the local cohomology module
Outside of algebraic geometry, local cohomology has found applications in commutative algebra, combinatorics, and certain kinds of partial differential equations.
Постепенная локальная кохомология и проективная геометрия
Когда кольцо градуируется по , генерируется однородными элементами, а является градуированным модулем, на локальном модуле когомологий существует естественная градуировка, совместимая с градуировками и . Все основные свойства локальной когомологии, представленные в этой статье, совместимы с градуированной структурой. Если является конечно порожденным, а является идеалом, порожденным элементами положительной степени, то градуированные компоненты конечно порождены над и обращаются в нуль при достаточно больших .
The case where is the ideal generated by all elements of positive degree (sometimes called the irrelevant ideal) is particularly special, due to its relationship with projective geometry. In this case, there is an isomorphism
where is the projective scheme associated to , and denotes the Serre twist. This isomorphism is graded, giving
in all degrees
This isomorphism relates local cohomology with the global cohomology of projective schemes. For example, the Castelnuovo–Mumford regularity can be formulated using local cohomology as
where denotes the highest degree such that Local cohomology can be used to prove certain upper bound results concerning the regularity.
Случай, когда является идеалом, порожденным всеми элементами положительной степени (иногда называемым несущественным идеалом), особенно важен из-за его связи с проективной геометрией. В этом случае существует изоморфизм
The case where is the ideal generated by all elements of positive degree (sometimes called the irrelevant ideal) is particularly special, due to its relationship with projective geometry. In this case, there is an isomorphism
where is the projective scheme associated to , and denotes the Serre twist. This isomorphism is graded, giving
in all degrees
This isomorphism relates local cohomology with the global cohomology of projective schemes. For example, the Castelnuovo–Mumford regularity can be formulated using local cohomology as
where denotes the highest degree such that Local cohomology can be used to prove certain upper bound results concerning the regularity.
где – проективная схема, ассоциированная с , а обозначает скручение Серра. Этот изоморфизм градуирован, что дает
The case where is the ideal generated by all elements of positive degree (sometimes called the irrelevant ideal) is particularly special, due to its relationship with projective geometry. In this case, there is an isomorphism
where is the projective scheme associated to , and denotes the Serre twist. This isomorphism is graded, giving
in all degrees
This isomorphism relates local cohomology with the global cohomology of projective schemes. For example, the Castelnuovo–Mumford regularity can be formulated using local cohomology as
where denotes the highest degree such that Local cohomology can be used to prove certain upper bound results concerning the regularity.
во всех степенях.
The case where is the ideal generated by all elements of positive degree (sometimes called the irrelevant ideal) is particularly special, due to its relationship with projective geometry. In this case, there is an isomorphism
where is the projective scheme associated to , and denotes the Serre twist. This isomorphism is graded, giving
in all degrees
This isomorphism relates local cohomology with the global cohomology of projective schemes. For example, the Castelnuovo–Mumford regularity can be formulated using local cohomology as
where denotes the highest degree such that Local cohomology can be used to prove certain upper bound results concerning the regularity.
Этот изоморфизм связывает локальную когомологию с глобальной когомологией проективных схем. Например, регулярность Кастельнуово — Мумфорда можно сформулировать, используя локальную когомологию, как
The case where is the ideal generated by all elements of positive degree (sometimes called the irrelevant ideal) is particularly special, due to its relationship with projective geometry. In this case, there is an isomorphism
where is the projective scheme associated to , and denotes the Serre twist. This isomorphism is graded, giving
in all degrees
This isomorphism relates local cohomology with the global cohomology of projective schemes. For example, the Castelnuovo–Mumford regularity can be formulated using local cohomology as
where denotes the highest degree such that Local cohomology can be used to prove certain upper bound results concerning the regularity.
где обозначает наивысшую степень , такую что локальную когомологию можно использовать для доказательства определенных результатов об оценке регулярности.
The case where is the ideal generated by all elements of positive degree (sometimes called the irrelevant ideal) is particularly special, due to its relationship with projective geometry. In this case, there is an isomorphism
where is the projective scheme associated to , and denotes the Serre twist. This isomorphism is graded, giving
in all degrees
This isomorphism relates local cohomology with the global cohomology of projective schemes. For example, the Castelnuovo–Mumford regularity can be formulated using local cohomology as
where denotes the highest degree such that Local cohomology can be used to prove certain upper bound results concerning the regularity.
Местная двойственность
Теорема локальной двойственности является локальным аналогом двойственности Серра. Для локального кольца Коэна-Маколея размерности *d*, являющегося гомоморфным образом локального кольца Горенштейна (например, если оно полное), она утверждает, что естественное спаривание
является совершенным спариванием, где *D* — модуль дуализации для *R*. В терминах функтора дуальности Матлиса теорема локальной двойственности может быть выражена следующим изоморфизмом. Утверждение проще, когда *d* = 1, что эквивалентно гипотезе, что *R* является кольцом Горенштейна. Это, например, имеет место, если *R* является регулярным.
Приложения
Первоначальные приложения были связаны с аналогами теорем Лефшеца о гиперплоскостях. В общем случае, такие теоремы утверждают, что гомология или когомология сосредоточена на гиперплоскостном сечении алгебраического многообразия, за исключением некоторой "потери", которую можно контролировать. Эти результаты были применены к алгебраической фундаментальной группе и группе Пикара. Другим типом приложений являются теоремы о связности, такие как теорема связности Гротендика (локальный аналог теоремы Бертини) или теорема связности Фултона — Хансена. Последняя утверждает, что для двух проективных многообразий V и W в Pr над алгебраически замкнутым полем размерность связности Z = V ∩ W (то есть минимальная размерность замкнутого подмножества T в Z, которое необходимо удалить из Z, чтобы дополнение Z \ T стало несвязным) ограничена соотношением c(Z) ≥ dim V + dim W − r − 1. Например, Z связно, если dim V + dim W > r.
c(Z) ≥ dim V + dim W − r − 1. For example, Z is connected if dim V + dim W > r.
В полиэдральной геометрии ключевым элементом доказательства Стенли в 1975 году упрощенной формы теоремы об верхней границе Макмуллена является демонстрация того, что кольцо Стенли — Рейснера соответствующего симплициального комплекса является кольцом Коэна — Маколея, а локальная когомология является важным инструментом в этом вычислении, посредством формулы Хохстера.