Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, Гирцебрук беті – проективті сызық үстіндегі билік ететін бет. Олар зерттелді .
Ruled surface over the projective line
In mathematics, a Hirzebruch surface is a ruled surface over the projective line. They were studied by .
Анықтама
Хирзебрух беті – проективті бундель деп аталатын, шешкішпен байланыстырылған бундель. Мұндағы белгілеу мынаны білдіреді: – Серре бұралмасының n-ші тензорлық қуаты, инверттендік бундель немесе байланысты Картье бөлгіші бір нүкте болатын сызықтық бундель. Бет P¹ × P¹-ге изоморфты, ал P² нүктеде жарылғанға тең, сондықтан минималды емес.
The Hirzebruch surface is the bundle, called a Projective bundle, over associated to the sheafThe notation here means: is the n th tensor power of the Serre twist sheaf , the invertible sheaf or line bundle with associated Cartier divisor a single point. The surface is isomorphic to 'P'^(1) × 'P'^(1), and is isomorphic to 'P'^(2) blown up at a point so is not minimal.
GIT үлесі
Хирцебрух бетін құрудың бір әдісі – GIT бөлігін пайдалану, онда әрекет былай берілген. Бұл әрекетті бірінші екі фактордағы әрекеттің анықтайтын әрекеттен туындайтын және екінші әрекет – түзу сызықтық бундельдердің тікелей қосындысын құру және олардың проективтендірілуінің комбинациясы ретінде қарастыруға болады. Тікелей қосынды үшін бұл үлестік сан арқылы берілуі мүмкін.
One method for constructing the Hirzebruch surface is by using a GIT quotientwhere the action of is given byThis action can be interpreted as the action of on the first two factors comes from the action of on defining , and the second action is a combination of the construction of a direct sum of line bundles on and their projectivization. For the direct sum this can be given by the quotient variety
P1 үстіндегі 2 қатарлы проективті түйіндер
Гротендиктің теоремасы бойынша, кез келген 2-дәрежелі векторлық шоғыр үшін сандар бар, мұндай . Проективті шоғырды сызықтық шоғырмен тензорлауға қатысты инвариантты болғандықтан, -қа байланысты басқарылатын бет Хирцебрух беті болады, себебі бұл шоғырды -мен тензорлауға болады.
Note that by Grothendieck's theorem, for any rank 2 vector bundle on there are numbers such thatAs taking the projective bundle is invariant under tensoring by a line bundle, the ruled surface associated to is the Hirzebruch surface since this bundle can be tensored by .
Қатысқан симметриялық алгебраны талдау
Естеріңізге сала кетейік, проекциялық бундельдер салыстырмалы Proj арқылы құрастырылуы мүмкін, ол алгебраның сыныпталған шоғынан жасалады. Алғашқы бірнеше симметриялық модульдер ерекше, себебі тривиальды емес антисимметриялық модуль бар. Бұл шоғырлар кестеде жиынтықталған. Симметриялық шоғырлар үшін:
Recall that projective bundles can be constructed using Relative Proj, which is formed from the graded sheaf of algebrasThe first few symmetric modules are special since there is a non trivial anti symmetric module These sheaves are summarized in the tableFor the symmetric sheaves are given by
Тоғысу теориясы
n > 0 үшін Хирцебрух беттерінде ерекше рационалды қисық С болады: Бұл бет O(−n) проективті шоғыры, ал қисық С – нөлдік қима. Бұл қисықтың өзімен қиылысу саны −n-ге тең, және ол теріс өзімен қиылысу санына ие жалғыз азайтылмайтын қисық. Өзімен-өзі қиылысу саны нөлге тең болатын жалғыз азайтылмайтын қисықтар – Хирцебрух бетінің талшықтары (P¹ үстіндегі талшық бумасы ретінде қарастырылғанда). Пикар тобы қисық С және талшықтардың бірімен туындайды, ал бұл генераторлардың қиылысу матрицасы бар, сондықтан билинейлік форма екі өлшемді унимодуляр болып табылады және n жұп немесе тақ сан болғандығына байланысты жұп немесе тақ болады. n > 1 үшін, ерекше қисық С-дегі нүктеде соққан Σn Хирцебрух беті, ерекше қисықтағы нүктеде соққан Σn+1-ге изоморфты.
Hirzebruch surfaces for n > 0 have a special rational curve C on them: The surface is the projective bundle of O(−n) and the curve C is the zero section. This curve has self intersection number −n, and is the only irreducible curve with negative self intersection number. The only irreducible curves with zero self intersection number are the fibers of the Hirzebruch surface (considered as a fiber bundle over 'P'^(1)). The Picard group is generated by the curve C and one of the fibers, and these generators have intersection matrixso the bilinear form is two dimensional unimodular, and is even or odd depending on whether n is even or odd. The Hirzebruch surface Σn (n > 1) blown up at a point on the special curve C is isomorphic to Σn+1 blown up at a point not on the special curve.