Введение

Поверхность, управляемая проективной линией. В математике, поверхность Хирцебруха — это управляемая поверхность над проективной линией. Они были изучены .

Определение

Поверхность Хирцебруха — это расслоение, называемое проективным расслоением, над , ассоциированное со снопом. Здесь обозначение означает: n-я тензорная степень скрученного снопа Серре, обратимого снопа или линейного расслоения с ассоциированным делителем Картье, состоящим из одной точки. Поверхность изоморфна P¹ × P¹, а изоморфна P² с точкой взрыва, поэтому не является минимальной.

Коэффициент GIT

Один из методов построения поверхности Хирцебруха — использование GIT-частного, где действие задается выражением. Это действие можно интерпретировать как действие на первые два множителя, происходящее из действия на, определяющего , а второе действие является комбинацией построения прямой суммы линейных расслоений на и их проективизации. Для прямой суммы это может быть задано фактор-многообразием.

Проективные пучки ранга 2 над P1

Заметим, что по теореме Гротендика, для любого векторного расслоения ранга 2 на существуют числа такие, что. Поскольку взятие проективного расслоения инвариантно относительно тензорного произведения с прямой пучком, управляемая поверхность, ассоциированная с , является поверхностью Хирцебруха , так как это расслоение можно тензорировать с .

Анализ связанной симметрической алгебры

Напомним, что проективные расслоения могут быть построены с использованием Relative Proj, который формируется из градуированного пучка алгебр. Первые несколько симметричных модулей особые, поскольку существует нетривиальный антисимметричный модуль. Эти пучки суммированы в таблице. Для симметричных пучков дано

Теория пересечения

Поверхности Хирцебруха для n > 0 содержат специальную рациональную кривую C: поверхность является проективным расслоением O(−n), а кривая C — нулевым сечением. Эта кривая имеет число самопересечения −n и является единственной неприводимой кривой с отрицательным числом самопересечения. Единственными неприводимыми кривыми с нулевым числом самопересечения являются волокна поверхности Хирцебруха, рассматриваемой как расслоение над P¹ (проективной прямой). Группа Пикара порождается кривой C и одним из волокон, и эти образующие имеют матрицу пересечений, поэтому билинейная форма двумерна и унимодулярна, и четная или нечетная в зависимости от того, четно или нечетно n. Поверхность Хирцебруха Σn (n > 1), вздутая в точке на специальной кривой C, изоморфна Σn+1, вздутой в точке, не лежащей на специальной кривой.