Кіріспе
Математикадағы ұсыныстың түрі. Математиканың бір саласы – жиын теориясында, рефлексия принципі кез келген берілген қасиетке қатысты барлық жиындар класына ұқсас жиындарды табу мүмкіндігін айтады. "Ұқсас" дегеннің нақты мағынасына байланысты рефлексия принципінің бірнеше түрлі формалары бар. Рефлексия принципінің әлсіз формалары ZF жиын теориясының теоремалары болып табылады, ал күшті формалары жиын теориясы үшін жаңа және өте қуатты аксиомалар болуы мүмкін. "Рефлексия принципі" атауы барлық жиындардың ғаламдық қасиеттері кішірек жиынға "көрінеді" деген фактісінен туындаған.
In set theory, a branch of mathematics, a reflection principle says that it is possible to find sets that, with respect to any given property, resemble the class of all sets. There are several different forms of the reflection principle depending on exactly what is meant by "resemble". Weak forms of the reflection principle are theorems of ZF set theory due to , while stronger forms can be new and very powerful axioms for set theory. The name "reflection principle" comes from the fact that properties of the universe of all sets are "reflected" down to a smaller set.
Мотивация
Рефлексиялық принциптің қарапайым түрі "барлық жиынтықтардың ғаламындағы кез келген қасиет үшін сол қасиетке ие жиынтықты табуға болады" дейді. Бұл дереу қайшылыққа алып келеді: барлық жиынтықтардың ғаламы барлық жиынтықтарды қамтиды, бірақ барлық жиынтықтарды қамтитын қасиетке ие жиынтық жоқ. Пайдалы (және қайшылықсыз) ой елегінен өткізу принциптерін алу үшін біз "қасиет" дегенді қалай түсінеміз және қандай қасиеттерге рұқсат етеміз, соған қатысты мұқият болуымыз керек. Ой елегінен өткізу принциптері бірде-бір ұғым, идея немесе тұжырым барлық жиынтықтар ғаламына қатысты біздің көзқарасымызды толығымен қамтымайды деген идеяны қалыптастыруға бағытталған. Курт Гёдель оны былай сипаттады: Барлық жиынтықтардың ғаламы құрылымдық тұрғыдан анықталмайды. Бұл тұжырымды нақтылаудың бір жолы: жиынтықтардың ғаламын оның ішкі құрылымдық қасиеттері арқылы ерекше сипаттау мүмкін емес (яғни оның барлық бастапқы кесімдерінен ерекшелендіру мүмкін емес), бұл қасиеттер кез келген логикада, соның ішінде кез келген кардиналдық санның шексіз логикасында да көрініс табуы керек. Бұл принципті жабылу принципінің жалпылауы деп қарастыруға болады. Жиынтықтар теориясының аксиомаларын орнатудың барлық принциптері Акерманн принципіне келтірілуі керек: Абсолютті білу мүмкін емес. Бұл принциптің күші жиынтықтар теориясының күшейе түсетін жүйелерін алғанда арта түседі. Басқа принциптер – тек эвристикалық принциптер. Сондықтан орталық принцип – ой елегінен өткізу принципі, біздің тәжірибеміз арта келе оны жақсырақ түсінеміз. Бұл ретте, бұл принциптен шығатын нақты қағидаларды бөліп көрсетуге көмектеседі, олар қосымша ақпарат береді немесе қазіргі түсінігіміз бойынша одан шығарылатыны анық емес. Жалпы, мен соңғы талдауда шексіздіктің әрбір аксиомасы V анықталмайтын (өте ықтимал) принциптен туындауы керек деп ойлаймын, мұнда анықталуы көбірек жалпыланған және идеалданған мағынада қарастырылады. Георг Кантор абсолютті шексіздік туралы ұқсас пікірлер білдірді: барлық кардиналды қасиеттер кіші кардиналды ұстайтын осы санда қанағаттандырылады. Қайшылыққа келмейтін ой елегінен өткізу принциптерін табу үшін біз ресми емес түрде келесідей дәлелдеуіміз мүмкін. Бізде жиынтықты құру әдістерінің A жиынтығы бар деп болжам жасайық (мысалы, қуат жиынтығын, кіші жиынтықты, алмастыру аксиомасын және т.б. алу). Біз осы әдістерді бірнеше рет қолдану арқылы алынған барлық жиынтықтарды алып, оларды X класына біріктіріп, оны қандай да бір жиынтық теориясының моделі ретінде қарастыра аламыз. Бірақ осы көзқарас бойынша V бірнеше операциялармен толығымен сипатталмайды, әйтпесе оны төменнен оңай сипаттауға болар еді, бұл принцип V толығымен сипатталмайды деп аталады. Нәтижесінде V, X-тен үлкен. A-дағы әдістерді X жиынтығына қолдану V-ден кіші жиынтықты да береді, өйткені V А-дағы операциялардың нәтижесінен толығымен сипатталмайды. Содан кейін біз жиынтықты құрудың келесі жаңа принципін енгізе аламыз: "бір жиынтықтан A жиынтығындағы барлық әдістерді қайта-қайта қолдану арқылы алынған барлық жиынтықтардың жиынтығы да жиынтық болып табылады". Осы принципін А-ға қосқаннан кейін, V осы жаңа А-дағы операциялармен де толығымен сипатталмайды. Бұл процесс А жиынтығына көбірек операцияларды қосу және X үлгісін одан сайын үлкен ету арқылы қайталануы мүмкін. Әрбір X V-ге ұқсайды, өйткені ол V-мен A операциялары бойынша жабық болу қасиетін бөліседі. Біз бұл бейресми аргументті екі жолмен қолдана аламыз. Біз оны (мысалы) ZF жиынтық теориясында формалдауға тырыса аламыз; осылай жасай отырып, біз ZF жиынтық теориясының кейбір теоремаларын аламыз, оларды бейнелеу теоремалары деп атаймыз. Сонымен қатар, біз осы аргументті жиынтық теориясына жаңа аксиомаларды енгізуге ынталандыру үшін пайдалана аламыз, мысалы, үлкен кардиналдардың бар екендігін растайтын аксиомаларды немесе Левидің ой елегінен өткізу принципін зерттей аламыз. Осы ой елегінен өткізу принципінің басқа нұсқасы ZFC формулаларының кез келген шекті саны үшін жинақтаушы иерархияда жиынтықты табуға болады, онда жиынтықтағы барлық формулалар абсолютті болады (яғни олар барлық жиынтықтардың ғаламында да, оларда да сақталады). Бұл жиынтық берілген шекті сандағы формулалар бойынша кем дегенде барлық жиынтықтардың ғаламына ұқсайды. ZFC үшін тағы бір ой елегінен өткізу принципі – теорема схемасы, оны былай сипаттауға болады: егер φ – еркін айнымалылары жоқ немесе шектеулі саны бар формула болса, онда ZFC мынаны дәлелдейді:
text=The universe of all sets is structurally indefinable. One possible way to make this statement precise is the following: The universe of sets cannot be uniquely characterized (i. e., distinguished from all its initial segments) by any internal structural property of the membership relation in it which is expressible in any logic of finite or transfinite type, including infinitary logics of any cardinal number. This principle may be considered a generalization of the closure principle. |source=8.7.3, p. 280
text=All the principles for setting up the axioms of set theory should be reducible to Ackermann's principle: The Absolute is unknowable. The strength of this principle increases as we get stronger and stronger systems of set theory. The other principles are only heuristic principles. Hence, the central principle is the reflection principle, which presumably will be understood better as our experience increases. Meanwhile, it helps to separate out more specific principles which either give some additional information or are not yet seen clearly to be derivable from the reflection principle as we understand it now. |source=8.7.9, p. 283
text=Generally I believe that, in the last analysis, every axiom of infinity should be derivable from the (extremely plausible) principle that V is indefinable, where definability is to be taken in [a] more and more generalized and idealized sense. |source=8.7.16, p. 285
Georg Cantor expressed similar views on Absolute Infinity: All cardinality properties are satisfied in this number, in which held by a smaller cardinal. To find non contradictory reflection principles we might argue informally as follows. Suppose that we have some collection A of methods for forming sets (for example, taking powersets, subsets, the axiom of replacement, and so on). We can imagine taking all sets obtained by repeatedly applying all these methods, and form these sets into a class X, which can be thought of as a model of some set theory. But in light of this view, V is not be exhaustible by a handful of operations, otherwise it would be easily describable from below, this principle is known as inexhaustibility (of V). As a result, V is larger than X. Applying the methods in A to the set X itself would also result in a collection smaller than V, as V is not exhaustible from the image of X under the operations in A. Then we can introduce the following new principle for forming sets: "the collection of all sets obtained from some set by repeatedly applying all methods in the collection A is also a set". After adding this principle to A, V is still not exhaustible by the operations in this new A. This process may be repeated further and further, adding more and more operations to the set A and obtaining larger and larger models X. Each X resembles V in the sense that it shares the property with V of being closed under the operations in A. We can use this informal argument in two ways. We can try to formalize it in (say) ZF set theory; by doing this we obtain some theorems of ZF set theory, called reflection theorems. Alternatively we can use this argument to motivate introducing new axioms for set theory, such as some axioms asserting existence of large cardinals. or the Lévy reflection principle, principally investigated in and Another version of this reflection principle says that for any finite number of formulas of ZFC we can find a set in the cumulative hierarchy such that all the formulas in the set are absolute for (which means very roughly that they hold in if and only if they hold in the universe of all sets). So this says that the set resembles the universe of all sets, at least as far as the given finite number of formulas is concerned. Another reflection principle for ZFC is a theorem schema that can be described as follows: Let be a formula with at most free variables Then ZFC proves that
where denotes the relativization of to (that is, replacing all quantifiers appearing in of the form and by and , respectively). Another form of the reflection principle in ZFC says that for any finite set of axioms of ZFC we can find a countable transitive model satisfying these axioms. (In particular this proves that, unless inconsistent, ZFC is not finitely axiomatizable because if it were it would prove the existence of a model of itself, and hence prove its own consistency, contradicting Gödel's second incompleteness theorem.) This version of the reflection theorem is closely related to the Löwenheim–Skolem theorem. If is a strong inaccessible cardinal, then there is a closed unbounded subset of , such that for every , the identity function from to is an elementary embedding.
мұнда φ – φ-ның -ға қатысты белгіленуі (яғни, формуласындағы және түріндегі барлық кванторлар және -мен алмастырылады). ZFC-дегі ой елегінен өткізу принципінің тағы бір түрі – ZFC аксиомаларының кез келген шекті жиынтығы үшін осы аксиомаларды қанағаттандыратын саналы транзитивті модельді табуға болады. (Атап айтқанда, бұл ZFC қарама-қайшылықсыз болмаса, оны шекті аксиомалармен аксиоматизациялау мүмкін емес екенін дәлелдейді, өйткені егер олай болса, ол өзінің моделінің бар екенін дәлелдейтін болар еді, демек өзінің дұрыстығын дәлелдейтін болар еді, бұл Гёдельдің екінші толымсыздық теоремасына қайшы келеді.) Ой елегінен өткізу теоремасының осы нұсқасы Лёвенгейм-Сколем теоремасына тығыз байланысты. Егер κ – күшті қолжетімді кардинал болса, онда -тағы жабық және шексіз жиынтық бар, сонда әрбір α үшін -тан -ғағы сәйкестік функция элементарлы енгізу болып табылады.
text=The universe of all sets is structurally indefinable. One possible way to make this statement precise is the following: The universe of sets cannot be uniquely characterized (i. e., distinguished from all its initial segments) by any internal structural property of the membership relation in it which is expressible in any logic of finite or transfinite type, including infinitary logics of any cardinal number. This principle may be considered a generalization of the closure principle. |source=8.7.3, p. 280
text=All the principles for setting up the axioms of set theory should be reducible to Ackermann's principle: The Absolute is unknowable. The strength of this principle increases as we get stronger and stronger systems of set theory. The other principles are only heuristic principles. Hence, the central principle is the reflection principle, which presumably will be understood better as our experience increases. Meanwhile, it helps to separate out more specific principles which either give some additional information or are not yet seen clearly to be derivable from the reflection principle as we understand it now. |source=8.7.9, p. 283
text=Generally I believe that, in the last analysis, every axiom of infinity should be derivable from the (extremely plausible) principle that V is indefinable, where definability is to be taken in [a] more and more generalized and idealized sense. |source=8.7.16, p. 285
Georg Cantor expressed similar views on Absolute Infinity: All cardinality properties are satisfied in this number, in which held by a smaller cardinal. To find non contradictory reflection principles we might argue informally as follows. Suppose that we have some collection A of methods for forming sets (for example, taking powersets, subsets, the axiom of replacement, and so on). We can imagine taking all sets obtained by repeatedly applying all these methods, and form these sets into a class X, which can be thought of as a model of some set theory. But in light of this view, V is not be exhaustible by a handful of operations, otherwise it would be easily describable from below, this principle is known as inexhaustibility (of V). As a result, V is larger than X. Applying the methods in A to the set X itself would also result in a collection smaller than V, as V is not exhaustible from the image of X under the operations in A. Then we can introduce the following new principle for forming sets: "the collection of all sets obtained from some set by repeatedly applying all methods in the collection A is also a set". After adding this principle to A, V is still not exhaustible by the operations in this new A. This process may be repeated further and further, adding more and more operations to the set A and obtaining larger and larger models X. Each X resembles V in the sense that it shares the property with V of being closed under the operations in A. We can use this informal argument in two ways. We can try to formalize it in (say) ZF set theory; by doing this we obtain some theorems of ZF set theory, called reflection theorems. Alternatively we can use this argument to motivate introducing new axioms for set theory, such as some axioms asserting existence of large cardinals. or the Lévy reflection principle, principally investigated in and Another version of this reflection principle says that for any finite number of formulas of ZFC we can find a set in the cumulative hierarchy such that all the formulas in the set are absolute for (which means very roughly that they hold in if and only if they hold in the universe of all sets). So this says that the set resembles the universe of all sets, at least as far as the given finite number of formulas is concerned. Another reflection principle for ZFC is a theorem schema that can be described as follows: Let be a formula with at most free variables Then ZFC proves that
where denotes the relativization of to (that is, replacing all quantifiers appearing in of the form and by and , respectively). Another form of the reflection principle in ZFC says that for any finite set of axioms of ZFC we can find a countable transitive model satisfying these axioms. (In particular this proves that, unless inconsistent, ZFC is not finitely axiomatizable because if it were it would prove the existence of a model of itself, and hence prove its own consistency, contradicting Gödel's second incompleteness theorem.) This version of the reflection theorem is closely related to the Löwenheim–Skolem theorem. If is a strong inaccessible cardinal, then there is a closed unbounded subset of , such that for every , the identity function from to is an elementary embedding.
Арифметика үшін
Арифметика теориялары үшін, ZFC-ге қарағанда әлдеқайда әлсіз болатын, ой елегінен шығару принциптерін қарастыруға болады. үшін модель – бұл мәлімдемелердің дұрыс шындық мәнін қамтитын модель, мұнда – аналитикалық иерархияның -шы деңгейі. Екінші реттік арифметиканың кіші жүйесінің саналатын моделі – табиғи сандар жиындарының саналатын жиынынан тұрады, оны жиынның ішкі жиыны ретінде кодтауға болады. Теория модельдің бар екенін дәлелдейді, бұл модель деп те аталады. VII.2.16 теоремасы. -формулалары үшін модельдік шолу принципі былай тұжырымдалады: кез келген -формуласы үшін, егер оның жалғыз еркін жиынтық айнымалысы болса, барлық үшін, егер онда, онда -кодталған саналатын модель бар, онда . Тәуелді таңдау схемасымен кеңейтілген жүйе аксиомалық түрде беріледі. Кез келген үшін, жүйе -формулалары үшін рефлексияға эквивалентті.
The model reflection principle for formulas states that for any formula with as its only free set variable, for all , if holds, then there is a countable coded model where such that An extension of by a schema of dependent choice is axiomatized. For any , the system is equivalent to reflection for formulas.
Басқалар
Акерманның жиынтықтар теориясының кейбір тұжырымдамалары рефлексия принципін қолданады. Акерман аксиомасы , -ны қамтымайтын кез келген формула үшін, дегенмен, әр түрлі ірі кардинал аксиомаларымен тығыз байланысты, мықтырақ бейнелеу принциптері бар. Кез келген белгілі үлкен кардинал аксиомасының оны білдіретін белгілі бір бейнелеу принципі бар, және керісінше, барлық, бірақ ең күшті белгілі бейнелеу принциптері белгілі үлкен кардинал аксиомаларымен білдіріледі. Бұл барлық шекті n үшін супер n үлкен кардиналдардың бар екендігін және оның тұрақтылығы I3 ранга дейінгі кардиналдың бар екендігімен қамтамасыз етіледі. Орд - Махло кардиналы деген аксиоманы қосыңыз — әр жабық шексіз кластағы C (параметрлері бар формуламен анықталатын) ординалдар үшін C-де тұрақты ординал бар. Бұл күшті қолжетімді емес кардиналдардың бар болуын және кез келген ординалдан әлдеқайда көп нәрсені туындатуға мүмкіндік береді.