Введение
В теории множеств, ветви математики, принцип отражения утверждает, что можно найти множества, которые, относительно любого заданного свойства, подобны классу всех множеств. Существуют различные формы принципа отражения, зависящие от точного значения понятия "подобны". Слабые формы принципа отражения являются теоремами теории множеств ZF, установленными , а более сильные формы могут представлять собой новые и весьма мощные аксиомы для теории множеств. Название "принцип отражения" происходит от того, что свойства вселенной всех множеств "отражаются" на меньшее множество.
In set theory, a branch of mathematics, a reflection principle says that it is possible to find sets that, with respect to any given property, resemble the class of all sets. There are several different forms of the reflection principle depending on exactly what is meant by "resemble". Weak forms of the reflection principle are theorems of ZF set theory due to , while stronger forms can be new and very powerful axioms for set theory. The name "reflection principle" comes from the fact that properties of the universe of all sets are "reflected" down to a smaller set.
Мотивация
Наивная версия принципа отражения утверждает, что "для любого свойства вселенной всех множеств мы можем найти множество с тем же свойством". Это приводит к непосредственному противоречию: вселенная всех множеств содержит все множества, но не существует множества, обладающего свойством содержать все множества. Чтобы получить полезные (и непротиворечивые) принципы отражения, необходимо более тщательно определять, что подразумевается под "свойством" и какие свойства допустимы. Принципы отражения связаны с попытками сформулировать идею о том, что ни одно понятие, идея или утверждение не может полностью охватить наше представление о вселенной множеств. Курт Гёдель описал это следующим образом: text=Вселенная всех множеств структурно неопределима. Один из возможных способов сделать это утверждение точным заключается в следующем: вселенная множеств не может быть однозначно охарактеризована (т.е. отличима от всех своих начальных сегментов) каким-либо внутренним структурным свойством отношения принадлежности в ней, выразимым в любой логике конечного или трансфинитного типа, включая бесконечно-логичные логики любого кардинального числа. Этот принцип можно рассматривать как обобщение принципа замкнутости. Все принципы, устанавливающие аксиомы теории множеств, должны быть сводимы к принципу Акермана: Абсолютное непознаваемо. Сила этого принципа возрастает по мере того, как мы получаем все более мощные системы теории множеств. Другие принципы являются лишь эвристическими. Следовательно, центральным принципом является принцип отражения, который, вероятно, будет лучше понят по мере накопления опыта. Тем временем он помогает выделить более конкретные принципы, которые либо дают некоторую дополнительную информацию, либо еще неясно вытекают из принципа отражения в его нынешнем понимании. Вообще я считаю, что в конечном счете каждая аксиома бесконечности должна быть выводима из (чрезвычайно правдоподобного) принципа, что V неопределима, где определяемость понимается в [a] все более обобщенном и идеализированном смысле. Георг Кантор выражал схожие взгляды на Абсолютную Бесконечность: все свойства кардинальности удовлетворяются в этом числе, которое удерживается меньшим кардиналом. Чтобы найти непротиворечивые принципы отражения, можно рассуждать неформально следующим образом. Предположим, что у нас есть некоторое множество A методов формирования множеств (например, взятие степенных множеств, подмножеств, аксиома замены и т.д.). Можно представить, что мы берем все множества, полученные путем многократного применения всех этих методов, и формируем их в класс X, который можно рассматривать как модель некоторой теории множеств. Но, учитывая эту точку зрения, V не может быть исчерпана небольшим числом операций, иначе ее было бы легко описать "снизу", этот принцип известен как неисчерпаемость (V). В результате V больше, чем X. Применение методов из A к самому множеству X также приведет к множеству, меньшему, чем V, поскольку V не исчерпывается образом X под действием операций в A. Затем можно ввести следующий новый принцип формирования множеств: "множество всех множеств, полученных из данного множества путем многократного применения всех методов в множестве A, также является множеством". После добавления этого принципа к A, V все еще не исчерпывается операциями в новой A. Этот процесс можно повторять бесконечно, добавляя все больше и больше операций к множеству A и получая все более и более крупные модели X. Каждое X напоминает V в том смысле, что оно разделяет с V свойство быть замкнутым относительно операций в A. Мы можем использовать этот неформальный аргумент двумя способами. Мы можем попытаться формализовать его в (скажем) теории множеств ZF; делая это, мы получаем некоторые теоремы теории множеств ZF, называемые теоремами отражения. В качестве альтернативы мы можем использовать этот аргумент для мотивации введения новых аксиом для теории множеств, таких как некоторые аксиомы, утверждающие существование больших кардиналов, или принцип отражения Леви, в основном исследованный в и Другая версия этого принципа отражения утверждает, что для любого конечного числа формул ZFC можно найти множество в кумулятивной иерархии, такое, что все формулы в этом множестве абсолютны для (что означает, грубо говоря, что они верны в , если и только если они верны во вселенной всех множеств). Таким образом, это множество напоминает вселенную всех множеств, по крайней мере, настолько, насколько это касается данного конечного числа формул. Другой принцип отражения для ZFC — это схема теорем, которую можно описать следующим образом: пусть — формула с не более чем свободными переменными. Тогда ZFC доказывает, что
text=The universe of all sets is structurally indefinable. One possible way to make this statement precise is the following: The universe of sets cannot be uniquely characterized (i. e., distinguished from all its initial segments) by any internal structural property of the membership relation in it which is expressible in any logic of finite or transfinite type, including infinitary logics of any cardinal number. This principle may be considered a generalization of the closure principle. |source=8.7.3, p. 280
text=All the principles for setting up the axioms of set theory should be reducible to Ackermann's principle: The Absolute is unknowable. The strength of this principle increases as we get stronger and stronger systems of set theory. The other principles are only heuristic principles. Hence, the central principle is the reflection principle, which presumably will be understood better as our experience increases. Meanwhile, it helps to separate out more specific principles which either give some additional information or are not yet seen clearly to be derivable from the reflection principle as we understand it now. |source=8.7.9, p. 283
text=Generally I believe that, in the last analysis, every axiom of infinity should be derivable from the (extremely plausible) principle that V is indefinable, where definability is to be taken in [a] more and more generalized and idealized sense. |source=8.7.16, p. 285
Georg Cantor expressed similar views on Absolute Infinity: All cardinality properties are satisfied in this number, in which held by a smaller cardinal. To find non contradictory reflection principles we might argue informally as follows. Suppose that we have some collection A of methods for forming sets (for example, taking powersets, subsets, the axiom of replacement, and so on). We can imagine taking all sets obtained by repeatedly applying all these methods, and form these sets into a class X, which can be thought of as a model of some set theory. But in light of this view, V is not be exhaustible by a handful of operations, otherwise it would be easily describable from below, this principle is known as inexhaustibility (of V). As a result, V is larger than X. Applying the methods in A to the set X itself would also result in a collection smaller than V, as V is not exhaustible from the image of X under the operations in A. Then we can introduce the following new principle for forming sets: "the collection of all sets obtained from some set by repeatedly applying all methods in the collection A is also a set". After adding this principle to A, V is still not exhaustible by the operations in this new A. This process may be repeated further and further, adding more and more operations to the set A and obtaining larger and larger models X. Each X resembles V in the sense that it shares the property with V of being closed under the operations in A. We can use this informal argument in two ways. We can try to formalize it in (say) ZF set theory; by doing this we obtain some theorems of ZF set theory, called reflection theorems. Alternatively we can use this argument to motivate introducing new axioms for set theory, such as some axioms asserting existence of large cardinals. or the Lévy reflection principle, principally investigated in and Another version of this reflection principle says that for any finite number of formulas of ZFC we can find a set in the cumulative hierarchy such that all the formulas in the set are absolute for (which means very roughly that they hold in if and only if they hold in the universe of all sets). So this says that the set resembles the universe of all sets, at least as far as the given finite number of formulas is concerned. Another reflection principle for ZFC is a theorem schema that can be described as follows: Let be a formula with at most free variables Then ZFC proves that
where denotes the relativization of to (that is, replacing all quantifiers appearing in of the form and by and , respectively). Another form of the reflection principle in ZFC says that for any finite set of axioms of ZFC we can find a countable transitive model satisfying these axioms. (In particular this proves that, unless inconsistent, ZFC is not finitely axiomatizable because if it were it would prove the existence of a model of itself, and hence prove its own consistency, contradicting Gödel's second incompleteness theorem.) This version of the reflection theorem is closely related to the Löwenheim–Skolem theorem. If is a strong inaccessible cardinal, then there is a closed unbounded subset of , such that for every , the identity function from to is an elementary embedding.
где обозначает релятивизацию к (то есть замену всех кванторов в виде и на и , соответственно). Другая форма принципа отражения в ZFC утверждает, что для любого конечного множества аксиом ZFC можно найти счетную транзитивную модель, удовлетворяющую этим аксиомам. (В частности, это доказывает, что, если ZFC непротиворечива, она не может быть конечно аксиоматизирована, поскольку в противном случае она бы доказала существование модели самой себя и, следовательно, доказала бы свою собственную непротиворечивость, что противоречит второй теореме о неполноте Гёделя.) Эта версия теоремы отражения тесно связана с теоремой Лёвенгейма — Сколема. Если — сильный недостижимый кардинал, то существует замкнутое неограниченное подмножество , такое, что для любого , тождественное отображение из в является элементарным вложением.
text=The universe of all sets is structurally indefinable. One possible way to make this statement precise is the following: The universe of sets cannot be uniquely characterized (i. e., distinguished from all its initial segments) by any internal structural property of the membership relation in it which is expressible in any logic of finite or transfinite type, including infinitary logics of any cardinal number. This principle may be considered a generalization of the closure principle. |source=8.7.3, p. 280
text=All the principles for setting up the axioms of set theory should be reducible to Ackermann's principle: The Absolute is unknowable. The strength of this principle increases as we get stronger and stronger systems of set theory. The other principles are only heuristic principles. Hence, the central principle is the reflection principle, which presumably will be understood better as our experience increases. Meanwhile, it helps to separate out more specific principles which either give some additional information or are not yet seen clearly to be derivable from the reflection principle as we understand it now. |source=8.7.9, p. 283
text=Generally I believe that, in the last analysis, every axiom of infinity should be derivable from the (extremely plausible) principle that V is indefinable, where definability is to be taken in [a] more and more generalized and idealized sense. |source=8.7.16, p. 285
Georg Cantor expressed similar views on Absolute Infinity: All cardinality properties are satisfied in this number, in which held by a smaller cardinal. To find non contradictory reflection principles we might argue informally as follows. Suppose that we have some collection A of methods for forming sets (for example, taking powersets, subsets, the axiom of replacement, and so on). We can imagine taking all sets obtained by repeatedly applying all these methods, and form these sets into a class X, which can be thought of as a model of some set theory. But in light of this view, V is not be exhaustible by a handful of operations, otherwise it would be easily describable from below, this principle is known as inexhaustibility (of V). As a result, V is larger than X. Applying the methods in A to the set X itself would also result in a collection smaller than V, as V is not exhaustible from the image of X under the operations in A. Then we can introduce the following new principle for forming sets: "the collection of all sets obtained from some set by repeatedly applying all methods in the collection A is also a set". After adding this principle to A, V is still not exhaustible by the operations in this new A. This process may be repeated further and further, adding more and more operations to the set A and obtaining larger and larger models X. Each X resembles V in the sense that it shares the property with V of being closed under the operations in A. We can use this informal argument in two ways. We can try to formalize it in (say) ZF set theory; by doing this we obtain some theorems of ZF set theory, called reflection theorems. Alternatively we can use this argument to motivate introducing new axioms for set theory, such as some axioms asserting existence of large cardinals. or the Lévy reflection principle, principally investigated in and Another version of this reflection principle says that for any finite number of formulas of ZFC we can find a set in the cumulative hierarchy such that all the formulas in the set are absolute for (which means very roughly that they hold in if and only if they hold in the universe of all sets). So this says that the set resembles the universe of all sets, at least as far as the given finite number of formulas is concerned. Another reflection principle for ZFC is a theorem schema that can be described as follows: Let be a formula with at most free variables Then ZFC proves that
where denotes the relativization of to (that is, replacing all quantifiers appearing in of the form and by and , respectively). Another form of the reflection principle in ZFC says that for any finite set of axioms of ZFC we can find a countable transitive model satisfying these axioms. (In particular this proves that, unless inconsistent, ZFC is not finitely axiomatizable because if it were it would prove the existence of a model of itself, and hence prove its own consistency, contradicting Gödel's second incompleteness theorem.) This version of the reflection theorem is closely related to the Löwenheim–Skolem theorem. If is a strong inaccessible cardinal, then there is a closed unbounded subset of , such that for every , the identity function from to is an elementary embedding.
Для арифметических
Принципы отражения могут рассматриваться для теорий арифметики, которые, как правило, намного слабее ZFC. Для , модель – это модель, имеющая правильные значения истинности утверждений, где – уровень аналитической иерархии. Счетная модель подсистемы арифметики второго порядка состоит из счетного множества множеств натуральных чисел, которые могут быть закодированы как подмножество . Теория доказывает существование модели, также известной как -модель. Теорема VII.2.16
Принцип отражения -моделей для формул утверждает, что для любой формулы с единственной свободной переменной множества, для всех , если выполняется , то существует счетная закодированная -модель, такая что расширение схемы зависимого выбора аксиоматизируется. Для любого , система эквивалентна отражению для формул.
Другие
Некоторые формулировки теории множеств Акермана используют принцип отражения. Аксиома Акермана утверждает, что для любой формулы, не упоминающей , существуют более мощные принципы отражения, которые тесно связаны с различными аксиомами больших кардиналов. Почти для каждой известной аксиомы большого кардинала существует известный принцип отражения, который её подразумевает, и наоборот, все известные принципы отражения, кроме самых сильных, подразумеваются известными аксиомами больших кардиналов. Это подразумевает существование супер-n-огромных кардиналов для всех конечных n, и её непротиворечивость подразумевается наличием I3-ранга в ранговый кардинал. Добавим аксиому, утверждающую, что Ord является кардиналом Мало – для каждого замкнутого неограниченного класса ординалов C (определяемого формулой с параметрами) существует регулярный ординал в C. Это позволяет вывести существование сильных недоступных кардиналов и многое другое над любым ординалом.