Дифференциалды операторлар сақинасының модульдері теориясы
D-module
D-модульдер – дифференциалды операторлар сақинасының модульдері. Бұл теория сызықтық дербес дифференциалдық теңдеулерді зерттеуге арналған, сатоның алгебралық талдауында маңызды рөл атқарады.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада D модулі – дифференциалды операторлардың D сақинасы үстіндегі модуль. Мұндай D модульдерінің басты қызығушылығы – сызықтық дербес дифференциалдық теңдеулер теориясына қолданыс ретінде. 1970 жылдан бері D модульдері теориясы негізінен Микио Сатоның алгебралық талдау идеяларына жауап ретінде және Сато мен Джозеф Бернштейннің Бернштейн-Сато полиномы жөніндегі еңбектеріне сүйене отырып қалыптасты. Алғашқы маңызды нәтижелер Масаки Кашивараның құрастырылу теоремасы және Кашивара индексі теоремасы болды. D модульдері теориясының әдістері әрқашан бушақтар теориясынан және Александр Гротендиктің алгебралық геометриядағы жұмысынан шабыттанған басқа да техникалардан алынған. Бұл тәсіл жалпы сипатқа ие және дифференциалды операторларды зерттеу үшін дәстүрлі функционалдық талдау әдістерінен өзгеше. Ең күшті нәтижелер артық анықталған жүйелер (холономиялық жүйелер) үшін және символдармен белгіленген сипаттамалық сан алуандық бойынша алынады, жақсы жағдайда ол максималды өлшемді котангенттік түйіндің Лагранж субманолифтері болып табылады (инволютивті жүйелер). Зогман Мебхут Гротендик мектебінің дәстүрімен айналысып, барлық өлшемдерде Риман-Хилберт сәйкестігінің жалпы, туынды категориялық нұсқасын алды.
In mathematics, a D module is a module over a ring D of differential operators. The major interest of such D modules is as an approach to the theory of linear partial differential equations. Since around 1970, D module theory has been built up, mainly as a response to the ideas of Mikio Sato on algebraic analysis, and expanding on the work of Sato and Joseph Bernstein on the Bernstein–Sato polynomial. Early major results were the Kashiwara constructibility theorem and Kashiwara index theorem of Masaki Kashiwara. The methods of D module theory have always been drawn from sheaf theory and other techniques with inspiration from the work of Alexander Grothendieck in algebraic geometry. The approach is global in character, and differs from the functional analysis techniques traditionally used to study differential operators. The strongest results are obtained for over determined systems (holonomic systems), and on the characteristic variety cut out by the symbols, which in the good case is a Lagrangian submanifold of the cotangent bundle of maximal dimension (involutive systems). The techniques were taken up from the side of the Grothendieck school by Zoghman Mebkhout, who obtained a general, derived category version of the Riemann–Hilbert correspondence in all dimensions.
Жалпы анықтама
Жоғарыда айтылғандай, Вейль алгебрасы бойынша модульдер аффиндік кеңістіктегі D-модульдеріне сәйкес келеді. Бернштейн сүзгісі жалпы X сорттары үшін DX-де қолжетімді болмағандықтан, анықтама дифференциалдық операторлардың ретімен анықталған DX-дегі реттік сүзгіні пайдалану арқылы кез келген аффиндік тегіс сорттарға жалпыланады. Қатысты сыныпталған сақина gr DX котангенттік түйіннің TX-дегі реттелген функциялары арқылы беріледі. Характерлік сорт – бұл gr M анигиляторының радикалымен кесілген котангенттік бундельдің кіші сорты, мұнда M қайтадан тиісті сүзгімен жабдықталған (DX-дегі реттік сүзгіге қатысты). Әдеттегідей, аффиндік құрылым кез келген сорттарға біріктіріледі. Бернштейн теңсіздігі кез келген (тегіс) X сорты үшін сақталады. Жоғарғы шек gr DX-тің котангенттік түйінмен байланысты интерпретациясының тікелей салдары болса, төменгі шек күрделірек.
As mentioned above, modules over the Weyl algebra correspond to D modules on affine space. The Bernstein filtration not being available on DX for general varieties X, the definition is generalized to arbitrary affine smooth varieties X by means of order filtration on DX, defined by the order of differential operators. The associated graded ring gr DX is given by regular functions on the cotangent bundle T∗X. The characteristic variety is defined to be the subvariety of the cotangent bundle cut out by the radical of the annihilator of gr M, where again M is equipped with a suitable filtration (with respect to the order filtration on DX). As usual, the affine construction then glues to arbitrary varieties. The Bernstein inequality continues to hold for any (smooth) variety X. While the upper bound is an immediate consequence of the above interpretation of gr DX in terms of the cotangent bundle, the lower bound is more subtle.
Қолданбалар
Голономиялық D модульдерінің алғашқы қолданыстарының бірі Бернштейн-Сато полиномы болды.
One of the early applications of holonomic D modules was the Bernstein–Sato polynomial.
КажданЛюштиг болжамы
Каждан-Люштиг болжамы D модульдерін пайдалану арқылы дәлелденді.
The Kazhdan–Lusztig conjecture was proved using D modules.
Риманн-Хилберт хат алмасуы
Риманн-Хилберт сәйкестігі белгілі бір D модульдері мен құрастырылатын қаптамалар арасында байланыс орнатады. Сондықтан, бұл бұрыс қаптамаларды енгізуге түрткі болды.
The Riemann–Hilbert correspondence establishes a link between certain D modules and constructible sheaves. As such, it provided a motivation for introducing perverse sheaves.
Геометриялық бейнелеу теориясы
D модульдері геометриялық өкілдік теориясында да қолданылады. Осы саланың маңызды нәтижесі – Бейлинсон-Бернштейн локализациясы. Ол G/B туындылық кеңістіктегі D модульдерін редуктивті топ G-нің Ли алгебрасының өкілдіктерімен байланыстырады. D модульдері геометриялық Лэнглендс бағдарламасын қалыптастыруда да шешуші роль атқарады.
D modules are also applied in geometric representation theory. A main result in this area is the Beilinson–Bernstein localization. It relates D modules on flag varieties G/B to representations of the Lie algebra of a reductive group G.
D modules are also crucial in the formulation of the geometric Langlands program.