Введение

В математике, D-модуль — это модуль над кольцом D дифференциальных операторов. Основной интерес к таким D-модулям обусловлен тем, что они представляют собой подход к теории линейных уравнений в частных производных. Начиная с 1970 года, теория D-модулей развивалась главным образом как реакция на идеи Микио Сато об алгебраическом анализе и расширение работ Сато и Джозефа Бернштейна по полиному Бернштейна — Сато. Ранними важными результатами стали теорема о конструктивности Кашивары и теорема об индексе Кашивары Масаки Кашивары. Методы теории D-модулей всегда заимствовались из теории пучков и других техник, вдохновленных работами Александра Гротендика в алгебраической геометрии. Этот подход носит глобальный характер и отличается от методов функционального анализа, традиционно используемых для изучения дифференциальных операторов. Наиболее сильные результаты достигаются для переопределенных систем (голономных систем) и для характеристического многообразия, определяемого символами, которое в благоприятном случае является лагранжевым подмногообразием кокасательного расслоения максимальной размерности (инволютивные системы). Зогман Мебхут, опираясь на идеи школы Гротендика, разработал общую версию соответствия Римана — Гильберта в терминах производных категорий для всех размерностей.

Общее определение

Как упоминалось выше, модули над алгеброй Вейля соответствуют D-модулям на аффинном пространстве. Поскольку фильтрация Бернштейна не применима к DX для общих многообразий X, определение обобщается на произвольные аффинные гладкие многообразия X посредством фильтрации по порядку на DX, определяемой порядком дифференциальных операторов. Соответствующее градуированное кольцо gr DX задается регулярными функциями на котангенциальном расслоении T*X. Характерная разновидность определяется как подмногообразие котангенциального расслоения, высеченное радикалом аннигилятора gr M, где, как и прежде, M снабжен подходящей фильтрацией (относительно фильтрации по порядку на DX). Как обычно, аффинная конструкция затем переносится на произвольные многообразия. Неравенство Бернштейна продолжает выполняться для любого (гладкого) многообразия X. В то время как верхняя оценка является непосредственным следствием вышеуказанной интерпретации gr DX в терминах котангенциального расслоения, нижняя оценка более тонкая.

Приложения

Одним из первых применений голономических D-модулей был полином Бернштейна — Сато.

Гипотеза Каждана Лустига

Гипотеза Каждана-Люстига была доказана с помощью D-модулей.

Переписка Римана и Хилберта

Соответствие Римана — Гильберта устанавливает связь между определенными D-модулями и конструктивными пучками. Именно это послужило мотивацией для введения перверсных пучков.

Теория геометрического представления

D-модули также применяются в геометрической теории представлений. Основным результатом в этой области является локализация Бейлинсона — Бернштейна. Она связывает D-модули на флаговых многообразиях G/B с представлениями алгебры Ли редуктивной группы G. D-модули также играют ключевую роль в формулировании геометрической программы Лэнгленда.