Кіріспе
Топтар теориясы
Математикада, әсіресе топтар теориясында, қалдық класы бойынша аффиналы топтар – (толық сандарға) әсер ететін, элементтері біржақты сәйкестікке ие қалдық класы бойынша аффиналы бейнелеулер болып табылатын белгілі бір пермутациялық топтар. Егер қалдық кластарына (mod m) қатысты шектеулердің барлығы аффиналы болып табылатын нөлден өзге бүтін сан d болса, онда бейнелеу қалдық класы бойынша аффиналы деп аталады. Бұл кез келген қалдық класы үшін коэффициенттер aᵢ бар дегенді білдіреді, яғни бейнелеудің берілген жиынтыққа шектеуін былай беруге болады:
In mathematics, specifically in group theory, residue class wise affine
groups are certain permutation groups acting on
(the integers), whose elements are bijective
residue class wise affine mappings. A mapping is called residue class wise affine
if there is a nonzero integer such that the restrictions of
to the residue classes
(mod ) are all affine. This means that for any
residue class there are coefficients
such that the restriction of the mapping
to the set is given by
Residue class wise affine groups are countable, and they are accessible
to computational investigations. Many of them act multiply transitively on or on subsets thereof. A particularly basic type of residue class wise affine permutations are the
class transpositions: given disjoint residue classes
and , the corresponding class transposition is the permutation
of which interchanges and
for every and which
fixes everything else. Here it is assumed that
and that
The set of all class transpositions of generates
a countable simple group which has the following properties:
It is not finitely generated. Every finite group, every free product of finite groups and every free group of finite rank embeds into it. The class of its subgroups is closed under taking direct products, under taking wreath products with finite groups, and under taking restricted wreath products with the infinite cyclic group. It has finitely generated subgroups which do not have finite presentations. It has finitely generated subgroups with algorithmically unsolvable membership problem. It has an uncountable series of simple subgroups which is parametrized by the sets of odd primes. It is straightforward to generalize the notion of a residue class wise affine group
to groups acting on suitable rings other than ,
though only little work in this direction has been done so far. See also the Collatz conjecture, which is an assertion about a surjective,
but not injective residue class wise affine mapping.
Қалдық класы бойынша аффиналы топтар санаулы, және олар есептеу зерттеулеріне қолжетімді. Олардың көптегені немесе олардың ішкі жиындарының үстінде көптік транзитивті әрекет етеді. Қалдық класы бойынша аффиналы пермутациялардың ерекше негізгі түрі – кластық транспозициялар: егер берілген оқшау қалдық кластар A және B болса, сәйкес кластық транспозиция – бұл A мен B элементтерін ауыстыратын және қалғандарының барлығын өзгеріссіз қалдыратын толық сандар жиынының пермутациясы. Мұнда A және B бар екені, және m > 1 екені ескеріледі. Толық сандар жиынының барлық кластық транспозициялары жиыны келесі қасиеттерге ие қарапайым топты тудырады:
In mathematics, specifically in group theory, residue class wise affine
groups are certain permutation groups acting on
(the integers), whose elements are bijective
residue class wise affine mappings. A mapping is called residue class wise affine
if there is a nonzero integer such that the restrictions of
to the residue classes
(mod ) are all affine. This means that for any
residue class there are coefficients
such that the restriction of the mapping
to the set is given by
Residue class wise affine groups are countable, and they are accessible
to computational investigations. Many of them act multiply transitively on or on subsets thereof. A particularly basic type of residue class wise affine permutations are the
class transpositions: given disjoint residue classes
and , the corresponding class transposition is the permutation
of which interchanges and
for every and which
fixes everything else. Here it is assumed that
and that
The set of all class transpositions of generates
a countable simple group which has the following properties:
It is not finitely generated. Every finite group, every free product of finite groups and every free group of finite rank embeds into it. The class of its subgroups is closed under taking direct products, under taking wreath products with finite groups, and under taking restricted wreath products with the infinite cyclic group. It has finitely generated subgroups which do not have finite presentations. It has finitely generated subgroups with algorithmically unsolvable membership problem. It has an uncountable series of simple subgroups which is parametrized by the sets of odd primes. It is straightforward to generalize the notion of a residue class wise affine group
to groups acting on suitable rings other than ,
though only little work in this direction has been done so far. See also the Collatz conjecture, which is an assertion about a surjective,
but not injective residue class wise affine mapping.
Ол шекті түрде туындамайды. Кез келген шекті топ, кез келген шекті топтардың еркін көбейтіндісі және кез келген шекті рангі бар еркін топ оның ішіне кіріктіріледі. Оның кіші топтарының класы тікелей көбейтінділерді алу, шекті топтармен торап өнімдерін алу және шексіз циклдік топпен шектелген торап өнімдерін алу бойынша жабық. Ол шекті ұсынылысы жоқ шекті түрде туындаған кіші топтарға ие. Ол алгоритмдік тұрғыдан шешілмейтін кіші топқа жататындығын анықтау мәселесі бар шекті түрде туындаған кіші топтарға ие. Ол тақ сандар жиындарымен параметрленген қарапайым кіші топтардың санаулы емес сериясына ие. Қалдық класы бойынша аффиналы топтың ұғымын басқа да қолайлы сақиналарға әрекет ететін топтарға жалпылау оңай, бірақ осы бағыттағы жұмыс әлі күнге дейін аз. Сондай-ақ, Коллатц болжамын қараңыз, ол инъективті емес, бірақ қалдық класы бойынша аффиналы бейнелеу туралы тұжырым.
In mathematics, specifically in group theory, residue class wise affine
groups are certain permutation groups acting on
(the integers), whose elements are bijective
residue class wise affine mappings. A mapping is called residue class wise affine
if there is a nonzero integer such that the restrictions of
to the residue classes
(mod ) are all affine. This means that for any
residue class there are coefficients
such that the restriction of the mapping
to the set is given by
Residue class wise affine groups are countable, and they are accessible
to computational investigations. Many of them act multiply transitively on or on subsets thereof. A particularly basic type of residue class wise affine permutations are the
class transpositions: given disjoint residue classes
and , the corresponding class transposition is the permutation
of which interchanges and
for every and which
fixes everything else. Here it is assumed that
and that
The set of all class transpositions of generates
a countable simple group which has the following properties:
It is not finitely generated. Every finite group, every free product of finite groups and every free group of finite rank embeds into it. The class of its subgroups is closed under taking direct products, under taking wreath products with finite groups, and under taking restricted wreath products with the infinite cyclic group. It has finitely generated subgroups which do not have finite presentations. It has finitely generated subgroups with algorithmically unsolvable membership problem. It has an uncountable series of simple subgroups which is parametrized by the sets of odd primes. It is straightforward to generalize the notion of a residue class wise affine group
to groups acting on suitable rings other than ,
though only little work in this direction has been done so far. See also the Collatz conjecture, which is an assertion about a surjective,
but not injective residue class wise affine mapping.
Анықтамалар мен сыртқы сілтемелер
Стефан Колл. Қалдық кластар бойынша аффиндік топтар. Диссертация, Штутгарт университеті, 2005. Германия Ұлттық кітапханасының архив сервері OPUS дерекқоры (Штутгарт университеті).
Стефан Колл. RCWA – Қалдық кластар бойынша аффиндік топтар. GAP пакеті. 2005. Стефан Колл. Бүтін сандардың қалдық кластарын ауыстыратын инволюциялар арқылы құрылған қарапайым топ. Math. Z. 264 (2010), № 4, 927–938.
Stefan Kohl. RCWA – Residue Class Wise Affine Groups. GAP package. 2005. Stefan Kohl. A Simple Group Generated by Involutions Interchanging Residue Classes of the Integers. Math. Z. 264 (2010), no. 4, 927–938.