Топтық конъюгацияға қатысты инвариантты топшалар

Кіріспе

Конъюгация бойынша инвариантты кіші топтар

Абстрактік алгебрада қалыпты кіші топ (инвариантты кіші топ немесе өздігінен конъюгацияланатын кіші топ деп те аталады) – бұл кіші топтың өзі құрамындағы топ мүшелерімен конъюгацияланғанда инвариантты болатын кіші топ. Яғни, егер және тек егер барлық үшін және орындалса, кіші топ топта қалыпты болады. Бұл қатынасты белгілеу үшін әдетте қолданылатын нотация:

Қалыпты кіші топтар маңызды, себебі олар (және тек олар ғана) берілген топтың фактор-топтарын құруға қолданылады. Бұдан әрі, топтың қалыпты кіші топтары – домені болатын топтық гомоморфизмдердің ядроларымен дәл сәйкес келеді, яғни оларды осы гомоморфизмдерді іштен жіктеу үшін пайдалануға болады. Эварист Галуа қалыпты кіші топтардың маңыздылығын бірінші болып түсінген.

Анықтамалар

Топтың кіші тобы, егер ол конъюгация бойынша өзгермейтін болса, онда ол қалыпты кіші топ деп аталады; яғни, топтың кез келген элементімен кіші топтың элементін конъюгациялау нәтижесі әрқашан сол кіші топта болады. Бұл қатынасты белгілеу үшін әдеттегі жазу тәсілі .

Теңдес шарттар

Кез келген топтың кез келген кіші тобы үшін, келесі шарттар топтың нормальді кіші тобы болуымен эквивалентті. Сондықтан, олардың кез келген біреуін анықтама ретінде қабылдауға болады. Кез келген элементпен конъюгациялау арқылы алынған топтың бейнесі топтың ішкі жиыны болып табылады, яғни, барлық үшін . Кез келген элементпен конъюгациялау арқылы алынған топтың бейнесі - топқа тең, яғни, барлық үшін . Кез келген үшін, сол және оң жақ косеттері тең. Топтың сол және оң жақ косеттерінің жиындары сәйкес келеді. Топтағы көбейту "осы сол жақ косетте" теңдестік қатынасын сақтайды. Яғни, кез келген және орындалса, онда . Топтың сол жақ косеттері жиынында топ бар, онда кез келген екі сол жақ косеттің көбейтіндісі сол жақ косетті береді (бұл топ - топтың модульге қатысты үлестік тобы деп аталады, және деп белгіленеді). Бұл топтың конъюгация кластарының бірігімі болып табылады және оның ішкі автоморфизмдерімен сақталады. Өзегі топ болатын топ гомоморфизмі бар. Талшықтары топты құрайтын топ гомоморфизмі бар, онда сәйкестік элементі бар және кез келген екі талшықтың көбейтіндісі талшықты береді (бұл топ жоғарыда аталған топпен бірдей). Топтағы бірдейлік элементінің эквиваленттік класы топқа тең. Кез келген және коммутатор топта орналасқан. Кез келген екі элемент нормальді кіші топқа қатысты коммутативті. Яғни, барлық үшін, егер және тек егер .

Мысалдар

Кез келген топ үшін, тек сәйкестік элементтен тұратын тривиалды кіші топ әрқашан қалыпты кіші топ болып табылады. Сол сияқты, өзі де әрқашан қалыпты кіші топ болып табылады (егер бұл жалғыз қалыпты кіші топтар болса, онда топ қарапайым деп аталады). Кез келген топтың басқа да аталатын қалыпты кіші топтарына топтың орталығы (барлық басқа элементтермен ауысатын элементтер жиынтығы) және коммутаторлық кіші топ жатады. Жалпы алғанда, конъюгация изоморфизм болғандықтан, кез келген сипаттамалық кіші топ қалыпты кіші топ болып табылады. Егер топ абельдік болса, онда оның әрбір кіші тобы қалыпты болады, себебі. Жалпы алғанда, кез келген топ үшін, оның орталығының әрбір кіші тобы сол топта қалыпты болады (егер топ абельдік болса, онда орталықтың өзінің барлық кіші топтары қалыпты болады). Абельдік емес, бірақ әрбір кіші тобы қалыпты болатын топ – Гамильтон тобы деп аталады. Нормалды кіші топтың нақты мысалы – симметриялық топтың кіші тобы, ол сәйкестік элементінен және екі үш циклден тұрады. Атап айтқанда, әрбір косет өзіне тең немесе тең екенін тексеруге болады. Екінші жағынан, кіші топ қалыпты емес, себебі. Бұл индексі екіге тең кез келген кіші топтың қалыпты екенін көрсетеді. Матрицалық топтағы қалыпты кіші топтың мысалы ретінде, матрицалық көбейту операциясы бойынша нақты жазбалары бар барлық инвертирленетін матрицалардың жалпы сызықтық тобын және оның 1-ге тең детерминанты бар барлық матрицалардың кіші тобын (арнайы сызықтық топ) қарастырайық. кіші топтың қалыпты екенін түсіну үшін, кез келген матрицаны және кез келген инвертирленетін матрицаны қарастырайық. Содан кейін екі маңызды тепе-теңдікті қолданамыз және , осылайша да болады. Бұл кіші топ конъюгация бойынша жабық екенін, демек ол қалыпты кіші топ екенін көрсетеді. Рубик текшесі тобында тек бұрыштардың немесе қырлардың бағытын өзгертетін операциялардан тұратын кіші топтар қалыпты болады. Трансляциялық топ кез келген өлшемдегі Евклидтік топтың қалыпты кіші тобы болып табылады. Бұл мынаны білдіреді: қатты түрлендіруді қолданғаннан кейін аударма жасап, содан кейін кері қатты түрлендіруді қолдансаңыз, нәтижесі бір аудармамен бірдей болады. Керісінше, шығу тегінен айналулардың кіші тобы Евклидтік топтың қалыпты кіші тобы емес, егер өлшем кемінде 2 болса: алдымен аударма жасап, содан кейін шығу тегінен айналдырып, содан кейін кері аударма жасасаңыз, шығу тегі әдетте бекітілмейді және сондықтан шығу тегінен бір айналумен бірдей нәтиже бермейді.

For any group , the trivial subgroup consisting of only the identity element of is always a normal subgroup of Likewise, itself is always a normal subgroup of (if these are the only normal subgroups, then is said to be simple). Other named normal subgroups of an arbitrary group include the center of the group (the set of elements that commute with all other elements) and the commutator subgroup More generally, since conjugation is an isomorphism, any characteristic subgroup is a normal subgroup. If is an abelian group then every subgroup of is normal, because More generally, for any group , every subgroup of the center of is normal in (in the special case that is abelian, the center is all of , hence the fact that all subgroups of an abelian group are normal). A group that is not abelian but for which every subgroup is normal is called a Hamiltonian group. A concrete example of a normal subgroup is the subgroup of the symmetric group , consisting of the identity and both three cycles. In particular, one can check that every coset of is either equal to itself or is equal to On the other hand, the subgroup is not normal in since This illustrates the general fact that any subgroup of index two is normal. As an example of a normal subgroup within a matrix group, consider the general linear group of all invertible matrices with real entries under the operation of matrix multiplication and its subgroup of all matrices of determinant 1 (the special linear group). To see why the subgroup is normal in , consider any matrix in and any invertible matrix Then using the two important identities and , one has that , and so as well. This means is closed under conjugation in , so it is a normal subgroup. In the Rubik's Cube group, the subgroups consisting of operations which only affect the orientations of either the corner pieces or the edge pieces are normal. The translation group is a normal subgroup of the Euclidean group in any dimension. This means: applying a rigid transformation, followed by a translation and then the inverse rigid transformation, has the same effect as a single translation. By contrast, the subgroup of all rotations about the origin is not a normal subgroup of the Euclidean group, as long as the dimension is at least 2: first translating, then rotating about the origin, and then translating back will typically not fix the origin and will therefore not have the same effect as a single rotation about the origin.

Қасиеттері

Егер топтың нормальді кіші тобы болса, және топты қамтитын кіші тобы болса, онда топтың нормальді кіші тобы болады. Бірақ, нормальді топтың нормальді кіші тобы, топта нормальді болуы міндетті емес. Яғни, нормальділік – транзитивті қатынас емес. Бұл құбылысты көрсететін ең кіші топ – 8-ретті диэдрлік топ. Дегенмен, қалыпты кіші топтың сипаттамалық кіші тобы қалыпты болады. Нормальділік транзитивті болатын топ Т-топ деп аталады. екі тобы тікелей көбейтіндісінің нормальді кіші топтары болып табылады. Егер топ тікелей көбейтіндісі болса, онда нормальді болады, бірақ нормальді болуы міндетті емес. Егер және топтарының қосымша тобының нормальді кіші топтары болса және , онда . Нормальділік сюръективті гомоморфизмдер астында сақталады; яғни, егер сюръективті топ гомоморфизмі болса және нормальді болса, онда бейнесі нормальді болады. Нормальділік кері бейнелерді алу арқылы сақталады; яғни, егер топ гомоморфизмі болса және нормальді болса, онда кері бейнесі нормальді болады. Нормальділік тікелей көбейтінділерді алуда сақталады; яғни, егер және болса, онда . 2-индекстің кез келген кіші тобы нормальді болады. Көбірек айтқанда, шекті индекс , топтарында нормальді кіші топты қамтиды, және оның индексін бөлетін нормальді өзек деп аталады. Атап айтқанда, егер топтың ретін бөлетін ең кіші жай сан болса, онда индекстің кез келген кіші тобы нормальді болады. -ның нормальді кіші топтарының маңыздылығы, олар топта анықталған гомоморфизмдердің ядролары болып табылады; олар топта анықталған барлық гомоморфизмдерді ішкі жіктеудің жолы болып табылады. Мысалы, сәйкестікке жатпайтын шекті топ, егер және тек қана егер ол өзінің барлық сәйкестікке жатпайтын гомоморфты бейнелеріне изоморфты болса, шекті топ, егер және тек қана егер оның негізгі индекстің қалыпты кіші топтары болмаса, және топ, егер және тек қана егер туынды кіші топты кез-келген дұрыс қалыпты кіші топ толықтырмаса, кемелсіз болады.

Кәдімгі топтардың торлары

Екі нормалды кіші топтар, және , берілгенде, олардың қиылысы және олардың көбейтіндісі де -нің нормалды кіші топтары болып табылады. -нің нормалды кіші топтары кіші топтарды қосу бойынша тор құрайды, онда ең кіші элементі , ал ең үлкен элементі болып табылады. Осы торда екі нормалды кіші топтың, және , кездесуі – олардың қиылысы, ал қосылуы – олардың көбейтіндісі болады. Бұл тор толық және модулді.