Шешілген жай топтардың жіктелуі: 27 ерекше жағдайдан басқа барлық топтарды қамтиды

Кіріспе

Математикада шекті қарапайым топтарды жіктеу – топтар теориясының бір нәтижесі болып табылады. Оған сәйкес, әрбір шекті қарапайым топ циклдік, алмастырылатын, немесе Ли типті топтар деп аталатын кең шексіз кластың мүшесі болады, әйтпесе ол жиырма алты немесе жиырма жеті ерекше жағдайдың бірі – спорадикалық топтардың бірі болып табылады. Бұл дәлел 1955-2004 жылдар аралығында жарық көрген жүздеген мақала мен журналдағы он мыңдаған беттерден тұрады, оларды шамамен 100 автор жазған. Қарапайым топтарды барлық шекті топтардың құрылыс блоктары ретінде қарастыруға болады, бұл жайт алғашқы сандардың табиғи сандардың құрылыс блоктары болуына ұқсас. Джордан-Хёльдер теоремасы – бұл шекті топтар туралы айтылған фактіні дәлдеудің бір жолы. Алайда, бүтін сандарды жіктеуден ерекшелік – мұндай "құрылыс блоктары" міндетті түрде бірегей топты анықтамайды, себебі бірдей композициялық қатарға ие көптеген изоморфты емес топтар болуы мүмкін, я болмаса, кеңейту мәселесінің бірегей шешімі жоқ. Горенштейн (1992 жылы қайтыс болған), Лионс және Соломон дәлелдің қарапайым және жаңартылған нұсқасын кезең-кезеңімен жариялап жатыр.

Классификация теоремасының мәлімдемесі

Классификация теоремасы математиканың көптеген салаларында қолданылады, себебі шекті топтардың құрылымы туралы сұрақтар (және олардың басқа математикалық объектілерге әсері) кейде шекті қарапайым топтар туралы сұрақтарға дейін тоғытылуы мүмкін. Классификация теоремасының арқасында мұндай сұрақтарға кейде қарапайым топтардың әрбір отбасын және әрбір спорадикалық топты тексеру арқылы жауап беруге болады. Дэниел Горенштейн 1983 жылы шекті қарапайым топтардың барлығы жіктеліп алынғанын жариялады, бірақ бұл квазижұқа топтарының жіктелуінің дәлелі туралы қате ақпарат алғандықтан, мерзімінен бұрын болды. Асчбахер мен Смит жоғалған квазижұқа жағдайдың 1221 беттік дәлелін жариялағаннан кейін классификацияның толыққанды дәлелі жарияланды.

Құралым түрінің топтары

Топ компоненттік типте деп аталады, егер инволюцияның кейбір орталықтандырғышы C үшін C/O(C) құрауышы бар болса (мұнда O(C) – C-нің өзегі, тақ реттік ең үлкен қалыпты кіші топ). Бұл топтар көбінесе үлкен дәрежелі жай типті топтар, және кейбір спорадикалық топтармен бірге ауыспалы топтар болып табылады. Бұл жағдайдағы маңызды қадам – инволюцияның өзегінің тудыратын кедергісін жою. Бұл B теоремасы арқылы іске асырылады, ол C/O(C) әрбір құрауышы C құрауышының бейнесі екенін көрсетеді.

Идеясы мынада: бұл топтар инволюцияның орталықтандырғышына ие, оның құрауышы кіші квази-жарасымды топ болып табылады, оны индукция бойынша белгілі деп қарастыруға болады. Осы топтарды жіктеу үшін, белгілі әрбір шекті жарасымды топтың орталық кеңейтуін алып, осы құрауыш ретінде инволюцияның орталықтандырғышы бар барлық жарасымды топтарды анықтау керек. Бұл тексеруге көптеген әртүрлі жағдайларды тудырады: тек 26 спорадикалық топ, 16 жай типті топтардың отбасылары және ауыспалы топтар ғана емес, сонымен қатар кіші дәрежелі немесе кіші өрістердегі көптеген топтар жалпы жағдайдан өзгеше қылықтанады және оларды жеке қарастыру қажет, ал жұп және тақ сипаттамалары бар жай типті топтар да өте әртүрлі.

2-түрлі сипаттама топтары

Топ 2 типті деп аталады, егер кез келген 2 жергілікті Y кіші тобының жалпыланған F*(Y) кіші тобы 2-топ болса. Аты айтқандай, бұл топтардың көпшілігі 2-характерлі өрістердегі Lie типті топтар, сондай-ақ кезектесетін, спорадикалық немесе тақ сипаттағы топтар. Олардың жіктелуі кіші және үлкен дәрежелі жағдайларға бөлінеді, мұнда дәреже – бұл 2-топты емес кіші топты қалыпқа келтіретін тақ абельдік кіші топтың ең үлкен дәрежесі, және бұл дәреже жиі (бірақ әрқашан емес) топ 2-характерлі Lie типіндегі топ болған кезде Картан субалгебрасының дәрежесімен бірдей болады. 1-дәрежелі топтар – Ашбахер жіктеген жұқа топтар, ал 2-дәрежелі топтар – Ашбахер мен Смит жіктеген квазижұқа топтар. Бұл шамамен 2-характерлі өрістерде 1-немесе 2-дәрежелі Lie типті топтарына сәйкес келеді. 3-тен жоғары дәрежелі топтар трихотомия теоремасы бойынша 3 классқа бөлінеді, бұл теореманы 3-дәреже үшін Ашбахер, ал кем дегенде 4-дәреже үшін Горенштейн мен Лионс дәлелдеді. Үш класс – GF(2) типті топтар (негізінен Тиммесфельд жіктеген), кейбір тақ сандар үшін «стандартты типтегі» топтар (Гилман-Грисс теоремасымен және басқа да көптеген жұмыстармен жіктелген) және бірегейлік типті топтар, мұнда Ашбахердің нәтижесі қарапайым топтардың жоқтығын көрсетеді. Жоғары дәрежелі жағдайдың жалпы түрі негізінен 2-характерлі өрістердегі 3-немесе 4-дәрежелі Lie типті топтарынан тұрады.

Қарапайым топтардың болуы және бірегейлігі

Классификацияның негізгі бөлігі әрбір жай топтың сипаттамасын жасайды. Содан кейін әрбір сипаттамаға сәйкес жай топтың бар екенін және оның жалғыз екенін тексеру қажет. Бұл көптеген жекелеген мәселелерді тудырады; мысалы, монстр тобының болуы мен бірегейлігін дәлелдеудің бастапқы нұсқалары шамамен 200 беттен тұрды, ал Томпсон мен Бомбиэридің Ри топтарын анықтауы классификацияның ең қиын бөліктерінің бірі болды. Көптеген болу дәлелдемелері және кейбір бірегейлік дәлелдемелері бастапқыда компьютерлік есептеулерді пайдаланды, бірақ содан бері олардың көпшілігі қолмен тексеру арқылы қысқартылды.

Дәлелдің уақыт реті

Көптеген мәліметтер төмендегі кестеден алынған. Күн көрсетілгені әдетте нәтиже туралы толық дәлелдің жарияланған күні болып табылады, бұл кейде нәтиже дәлелденгеннен немесе алғаш рет хабарланғаннан бірнеше жыл кейін болуы мүмкін, сондықтан кейбір мәліметтер «бұрыс» ретпен келген. 1832 Галуа нормальды подгруппаларды енгізеді және An (n ≥ 5) және PSL2(Fp) (p ≥ 5) жай топтарын табады. 1854 Кэйли абстракт топтарды анықтайды. 1861 Матё ең алғашқы екі Матё тобын M11, M12, алғашқы спорадикалық жай топтарды сипаттайды және M24 тобының бар екенін жариялайды. 1870 Жордан кейбір жай топтарды тізімдейді: алмастыру және проективті арнайы сызықтық топтарды, сондай-ақ жай топтардың маңыздылығын атап көрсетеді. 1872 Силоу Силоу теоремаларын дәлелдейді. 1873 Матё үш қосымша Матё тобын M22, M23, M24 енгізеді. 1892 Хёльдер кез келген бей-абельдік шекті жай топтың реті кемінде төрт (бір-бірінен әртүрлі болуы міндетті емес) жай санның көбейтіндісі болуы керек екенін дәлелдейді және шекті жай топтардың жіктелуін сұрайды. 1893 Коул 6601 дейінгі ретті жай топтарды жіктейді. 1896 Фробениус және Бернсайд шекті топтардың мінездеме теориясын зерттеуді бастайды. 1899 Бернсайд кез келген инволюцияның орталықтандырғышы тривиальды емес элементарлық абельдік 2-топ болатын жай топтарды жіктейді. 1901 Фробениус Фробениус тобының Фробениус ядросы бар екенін дәлелдейді, сондықтан бұл жай топ емес. 1901 Диксон кез келген шекті өрістегі классикалық топтарды және тақ сипаттамасы бар өрістердегі G2 типіндегі ерекше топтарды анықтайды. 1901 Диксон E6 типіндегі ерекше шекті жай топтарды енгізеді. 1904 Бернсайд мінездеме теориясын қолданып, кез келген бей-абельдік шекті жай топтың реті кемінде үш әртүрлі жай санға бөлінуі керек екенін дәлелдейді. 1905 Диксон жұп сипаттамасы бар өрістердегі G2 типіндегі жай топтарды енгізеді. 1911 Бернсайд кез келген бей-абельдік шекті жай топтың жұп реті бар екенін болжайды. 1928 Холл шешілетін топтардың Холл подгруппаларының бар екенін дәлелдейді. 1933 Холл p-топтарды зерттеуді бастайды. 1935 Брауэр модульдік мінездемелерді зерттеуді бастайды. 1936 Зассенхаус шекті өткір 3-транзитивті алмастыру топтарын жіктейді. 1938 Фиттинг Фиттинг подгруппасын енгізеді және шешілетін топтар үшін Фиттинг подгруппасы оның орталықтандырғышын қамтиды екенін дәлелдейді. 1942 Брауэр жай санға бірінші дәрежеде бөлінетін топтың модульдік мінездемелерін сипаттайды. 1954 Брауэр GL2(Fq) инволюцияның орталықтандырғышы ретінде жай топтарды жіктейді. 1955 Брауэр-Фаулер теоремасы инволюцияның берілген орталықтандырғышы бар шекті жай топтардың саны шекті екенін білдіреді, бұл инволюцияның орталықтандырғыштарын пайдаланып жіктеуге шабуыл жасауды ұсынады. 1955 Шеваллье Шеваллье топтарын енгізеді, атап айтады F4, E7 және E8 типтегі ерекше жай топтарды. 1956 Холл-Хигман теоремасы p-шешілетін топтың өкілдігі үшін жай санның күшіне тең элементтің ең төменгі полиномының мүмкіндіктерін сипаттайды. 1957 Сузуки барлық шекті жай CA топтарының тақ реті бар екенін және олар циклдiк екенін көрсетеді. 1958 Брауэр-Сузуки-Уолл теоремасы 1 ранктің проективті арнайы сызықтық топтарын сипаттайды және жай CA топтарын жіктейді. 1959 Штайнберг Штайнберг топтарын енгізеді, жаңа шекті жай топтарды ұсынады, 3D4 және 2E6 типтерінде (соңғысы шамамен бір уақытта Титспен тәуелсіз түрде табылды). 1959 Брауэр-Сузуки теоремасы жалпыланған кватерниондық Силоу 2-подгруппалары бар топтар туралы, олардың ешқайсысы жай емес екенін көрсетеді. 1960 Томпсон жай сан ретіндегі автоморфизмі бар топтың нильпотентті екенін дәлелдейді. 1960 Фейт, Маршалл Холл және Томпсон барлық шекті жай CN топтарының тақ реті бар екенін және олар циклдiк екенін көрсетеді. 1960 Сузуки 2B2 типтеріндегі Сузуки топтарын енгізеді. 1961 Ри 2F4 және 2G2 типтеріндегі Ри топтарын енгізеді. 1963 Фейт және Томпсон тақ реттік теореманы дәлелдейді. 1964 Титс Lie типіндегі топтар үшін BN жұптарын енгізеді және Титс тобын табады. 1965 Горенштейн-Вальтер теоремасы диэдрлі Силоу 2-подгруппасы бар топтарды жіктейді. 1966 Глауберман Z* теоремасын дәлелдейді. 1966 Янко Янко тобы J1ді енгізеді, шамамен бір ғасырдағы алғашқы жаңа спорадикалық топ. 1968 Глауберман ZJ теоремасын дәлелдейді. 1968 Хигман және Симс Хигман-Симс тобын енгізеді. 1968 Конвей Конвей топтарын енгізеді. 1969 Вальтер теоремасы абельдік Силоу 2-подгруппалары бар топтарды жіктейді. 1969 Сузуки спорадикалық тобының, Янко тобының J2, Янко тобының J3, Маклафлин тобының және Хелд тобының кіріспесі. 1969 Горенштейн Томпсонның идеяларына негізделген сигнализаторлық функторларды енгізеді. 1970 МакУильямс 2 топтарында нормальды абельдік подгруппасы 3 ранкті болмағанда, секциялық 2 ранкі ең көп 4 болады. (Соңғы шартты қанағаттандыратын Силоу подгруппалары бар жай топтарды кейінірек Горенштейн мен Харада жіктеді.) 1970 Бендер жалпыланған Фиттинг подгруппасын енгізді. 1970 Алперин-Брауэр-Горенштейн теоремасы квази диэдрлі немесе гүлдестірілген Силоу 2-подгруппалары бар топтарды жіктейді, 2 ранкі ең көп 2 болатын жай топтарды жіктейді. 1971 Фишер үш Фишер тобын енгізеді. 1971 Томпсон төртіншілік жұптарды жіктейді. 1971 Бендер күшті кіріктірілген подгруппасы бар топты жіктейді. 1972 Горенштейн шекті жай топтарды жіктеуге арналған 16 қадамдық бағдарламаны ұсынады; соңғы жіктелу оның контурын өте жақын ұстанады. 1972 Лайонс Лайонс тобын енгізеді. 1973 Рудвалис Рудвалис тобын енгізеді. 1973 Фишер нәресте монстр тобын (жарияланбаған) табады, оны Фишер мен Грисс монстр тобын табу үшін қолданады, бұл Томпсонды спорадикалық топқа және Нортон Харлианитті топқа жеткізеді (сонымен қатар, Харлианитті топқа ең көп реттелген). 1974 Томпсон N топтарын жіктейді, барлық жергілікті подгруппалары шешілетін топтар. 1974 Горенштейн-Харада теоремасы секциялық 2 ранкі ең көп 4 болатын жай топтарды жіктейді, қалған шекті жай топтарды компоненттік типке және 2 сипаттамасы бар типке бөледі. 1974 Титс 3 немесе одан көп ранкі бар BN жұптары бар топтар Lie типіндегі топтар екенін көрсетеді. 1974 Ашбахер дұрыс 2 генерациялық ядросы бар топтарды жіктейді. 1975 Горенштейн және Вальтер L тепе-теңдік теоремасын дәлелдейді. 1976 Глауберман шешілетін сигнализаторлық функтор теоремасын дәлелдейді. 1976 Ашбахер компоненттік теореманы дәлелдейді, бұл тақ типтегі және кейбір шарттарды қанағаттандыратын топтар стандартты формадағы компонентке ие екенін көрсетеді. Стандартты формадағы компоненті бар топтар көптеген авторлардың үлкен мақалалар жинағында жіктелді. 1976 О’Нан О’Нан тобын енгізеді. 1976 Янко J4 Янко тобын енгізеді, бұл соңғы табылған спорадикалық топ. 1977 Ашбахер өзінің классикалық инволюция теоремасында таңбасыз сипаттамасының Лай типіндегі топтарды сипаттайды. Бұл теоремадан кейін, ол қандай да бір мағынада қарапайым топтардың «көпшілігін» қарастырады, жалпы алғанда, жіктелудің соңы көзге түсіп қалды. 1978 Тиммесфельд O2 ерекше теоремасын дәлелдеді, GF(2) типіндегі топтарды жіктеуді бірнеше кіші проблемаларға бөледі. 1978 Ашбахер жұқа шекті топтарды жіктейді, олар көбінесе жұп сипаттамасы бар Лай типіндегі 1 ранктік топтар болып табылады. 1981 Бомбиери жою теориясын қолданып, Томпсонның Ри топтарын сипаттау жұмысын аяқтайды, бұл жіктеудің ең қиын қадамдарының бірі. 1982 МакБрайд барлық шекті топтар үшін сигнализаторлық функтор теоремасын дәлелдейді. 1982 Грисс монстр тобын қолмен құрастырады. 1983 Гилман-Грисс теоремасы 4 немесе одан көп ранкі бар және стандартты компоненттері бар 2 сипаттамасы бар топтарды жіктейді, бұл үш бөлім теоремасының үш жағдайының бірі. 1983 Ашбахер 2 сипаттамасы бар топтар үшін бірегейлік жағдайын қанағаттандырмайтын ешқандай шекті топ жоқ екенін дәлелдейді, бұл үш бөлім теоремасының үш жағдайының бірі. 1983 Горенштейн және Лайонс 4 немесе одан көп ранкі бар және 2 сипаттамасы бар топтар үшін үш бөлім теоремасын дәлелдейді, ал Ашбахер 3 ранкі үшін дәлелдейді. Бұл топтарды 3 поджағдайға бөледі: бірегейлік жағдайы, GF(2) типіндегі топтар және стандартты компоненті бар топтар. 1983 Горенштейн дәлелдің жариялануын хабарлайды…

Many of the items in the table below are taken from The date given is usually the publication date of the complete proof of a result, which is sometimes several years later than the proof or first announcement of the result, so some of the items appear in the "wrong" order. Date Development1832Galois introduces normal subgroups and finds the simple groups An (n ≥ 5) and PSL2(Fp) (p ≥ 5)1854Cayley defines abstract groups1861Mathieu describes the first two Mathieu groups M11, M12, the first sporadic simple groups, and announces the existence of M24.1870Jordan lists some simple groups: the alternating and projective special linear ones, and emphasizes the importance of the simple groups.1872Sylow proves the Sylow theorems1873Mathieu introduces three more Mathieu groups M22, M23, M24.1892Hölder proves that the order of any nonabelian finite simple group must be a product of at least four (not necessarily distinct) primes, and asks for a classification of finite simple groups.1893Cole classifies simple groups of order up to 6601896Frobenius and Burnside begin the study of character theory of finite groups.1899Burnside classifies the simple groups such that the centralizer of every involution is a non trivial elementary abelian 2 group.1901Frobenius proves that a Frobenius group has a Frobenius kernel, so in particular is not simple.1901Dickson defines classical groups over arbitrary finite fields, and exceptional groups of type G2 over fields of odd characteristic.1901Dickson introduces the exceptional finite simple groups of type E6.1904Burnside uses character theory to prove Burnside's theorem that the order of any non abelian finite simple group must be divisible by at least 3 distinct primes.1905Dickson introduces simple groups of type G2 over fields of even characteristic 1911Burnside conjectures that every non abelian finite simple group has even order1928Hall proves the existence of Hall subgroups of solvable groups1933Hall begins his study of p groups1935Brauer begins the study of modular characters.1936Zassenhaus classifies finite sharply 3 transitive permutation groups1938Fitting introduces the Fitting subgroup and proves Fitting's theorem that for solvable groups the Fitting subgroup contains its centralizer.1942Brauer describes the modular characters of a group divisible by a prime to the first power.1954Brauer classifies simple groups with GL2(Fq) as the centralizer of an involution.1955The Brauer–Fowler theorem implies that the number of finite simple groups with given centralizer of involution is finite, suggesting an attack on the classification using centralizers of involutions.1955Chevalley introduces the Chevalley groups, in particular introducing exceptional simple groups of types F4, E7, and E8.1956The Hall–Higman theorem describes the possibilities for the minimal polynomial of an element of prime power order for a representation of a p solvable group.1957 Suzuki shows that all finite simple CA groups of odd order are cyclic.1958The Brauer–Suzuki–Wall theorem characterizes the projective special linear groups of rank 1, and classifies the simple CA groups.1959Steinberg introduces the Steinberg groups, giving some new finite simple groups, of types 3D4 and 2E6 (the latter were independently found at about the same time by Tits).1959The Brauer–Suzuki theorem about groups with generalized quaternion Sylow 2 subgroups shows in particular that none of them are simple.1960Thompson proves that a group with a fixed point free automorphism of prime order is nilpotent.1960 Feit, Marshall Hall, and Thompson show that all finite simple CN groups of odd order are cyclic.1960Suzuki introduces the Suzuki groups, with types 2B2.1961Ree introduces the Ree groups, with types 2F4 and 2G2. 1963 Feit and Thompson prove the odd order theorem.1964Tits introduces BN pairs for groups of Lie type and finds the Tits group1965The Gorenstein–Walter theorem classifies groups with a dihedral Sylow 2 subgroup.1966Glauberman proves the Z* theorem1966Janko introduces the Janko group J1, the first new sporadic group for about a century.1968Glauberman proves the ZJ theorem1968Higman and Sims introduce the Higman–Sims group1968Conway introduces the Conway groups1969Walter's theorem classifies groups with abelian Sylow 2 subgroups1969Introduction of the Suzuki sporadic group, the Janko group J2, the Janko group J3, the McLaughlin group, and the Held group.1969Gorenstein introduces signalizer functors based on Thompson's ideas.1970MacWilliams shows that the 2 groups with no normal abelian subgroup of rank 3 have sectional 2 rank at most 4. (The simple groups with Sylow subgroups satisfying the latter condition were later classified by Gorenstein and Harada. )1970Bender introduced the generalized Fitting subgroup1970The Alperin–Brauer–Gorenstein theorem classifies groups with quasi dihedral or wreathed Sylow 2 subgroups, completing the classification of the simple groups of 2 rank at most 21971Fischer introduces the three Fischer groups1971Thompson classifies quadratic pairs1971Bender classifies group with a strongly embedded subgroup1972Gorenstein proposes a 16 step program for classifying finite simple groups; the final classification follows his outline quite closely.1972Lyons introduces the Lyons group1973Rudvalis introduces the Rudvalis group1973Fischer discovers the baby monster group (unpublished), which Fischer and Griess use to discover the monster group, which in turn leads Thompson to the Thompson sporadic group and Norton to the Harada–Norton group (also found in a different way by Harada).1974Thompson classifies N groups, groups all of whose local subgroups are solvable.1974The Gorenstein–Harada theorem classifies the simple groups of sectional 2 rank at most 4, dividing the remaining finite simple groups into those of component type and those of characteristic 2 type.1974Tits shows that groups with BN pairs of rank at least 3 are groups of Lie type1974Aschbacher classifies the groups with a proper 2 generated core1975Gorenstein and Walter prove the L balance theorem1976Glauberman proves the solvable signalizer functor theorem1976Aschbacher proves the component theorem, showing roughly that groups of odd type satisfying some conditions have a component in standard form. The groups with a component of standard form were classified in a large collection of papers by many authors.1976O'Nan introduces the O'Nan group1976Janko introduces the Janko group J4, the last sporadic group to be discovered1977Aschbacher characterizes the groups of Lie type of odd characteristic in his classical involution theorem. After this theorem, which in some sense deals with "most" of the simple groups, it was generally felt that the end of the classification was in sight.1978Timmesfeld proves the O2 extraspecial theorem, breaking the classification of groups of GF(2) type into several smaller problems.1978Aschbacher classifies the thin finite groups, which are mostly rank 1 groups of Lie type over fields of even characteristic.1981Bombieri uses elimination theory to complete Thompson's work on the characterization of Ree groups, one of the hardest steps of the classification.1982McBride proves the signalizer functor theorem for all finite groups.1982Griess constructs the monster group by hand1983 The Gilman–Griess theorem classifies groups of characteristic 2 type and rank at least 4 with standard components, one of the three cases of the trichotomy theorem.1983Aschbacher proves that no finite group satisfies the hypothesis of the uniqueness case, one of the three cases given by the trichotomy theorem for groups of characteristic 2 type.1983Gorenstein and Lyons prove the trichotomy theorem for groups of characteristic 2 type and rank at least 4, while Aschbacher does the case of rank 3. This divides these groups into 3 subcases: the uniqueness case, groups of GF(2) type, and groups with a standard component. 1983 Gorenstein announces the proof of the classification is complete, somewhat prematurely as the proof of the quasithin case was incomplete. 1985 Conway, Curtis, Norton, Parker, Wilson and Thackray publish the Atlas of Finite Groups with basic information about 93 finite simple groups. 1994 Gorenstein, Lyons, and Solomon begin publication of the revised classification2004Aschbacher and Smith publish their work on quasithin groups (which are mostly groups of Lie type of rank at most 2 over fields of even characteristic), filling the last gap in the classification known at that time.2008Harada and Solomon fill a minor gap in the classification by describing groups with a standard component that is a cover of the Mathieu group M22, a case that was accidentally omitted from the proof of the classification due to an error in the calculation of the Schur multiplier of M22.2012Gonthier and collaborators announce a computer checked version of the Feit–Thompson theorem using the Coq proof assistant.

Екінші буынның жіктелуі

Теореманың дәлелін 1985 жыл шамасында бірінші буын деп атауға болады. Бірінші буын дәлелінің тым ұзақтығына байланысты, екінші буын жіктеу дәлелі деп аталатын қарапайым дәлел табуға көп күш жұмсалды. Бұл күш, «ревизионизм» деп аталатын, бастапқыда Дэниел Горенштейн басқарды. 2023 жылға қарай екінші буын дәлелінің он тому жарияланды (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; & Capdeboscq, 2021, 2023). 2012 жылы Соломон жобаға тағы 5 том қажет деп есептеді, бірақ олардың жұмысы баяу жүріп жатқанын айтты. Жаңа дәлелдеме шамамен 5000 беттен тұруы күтілуде. (Бұл ұзындық екінші буын дәлелінің жеңілдетілген стильде жазылуымен байланысты.) Алайда, GLS сериясының 9-томының жарық көргенімен және Ашбахер-Смит еңбегін қоса есептегенде, бұл бағалауға қол жеткізілді, ал бірнеше том әлі дайындалуда (алғашқыда 9-томға жоспарланған материалдың қалған бөлігі, сондай-ақ 10-шы және 11-ші томдардың жобасы). Ашбахер мен Смит квази-жұқа жағдайға арналған екі томдық еңбегін осы томдар екінші буын дәлелінің бөлігі болатындай етіп жазды. Горенштейн және оның серіктері қарапайым дәлелдің болуына бірнеше себеп келтірді. Ең маңыздысы – теореманың дұрыс, соңғы тұжырымы белгілі. Бізге белгілі топтардың түрлері үшін жеткілікті деп танылған қарапайым әдістерді қолдануға болады. Керісінше, бірінші буын дәлелімен жұмыс істегендер қанша спорадикалық топ бар екенін білмеді, тіпті кейбір спорадикалық топтар (мысалы, Янко топтары) классификация теоремасының басқа жағдайларын дәлелдеу кезінде ашылды. Осының салдарынан теореманың көп бөлігі тым жалпы әдістерді қолдана отырып дәлелденді. Қорытынды белгісіз болғандықтан, бірінші буын дәлелі маңызды ерекше жағдайларды қарастыратын көптеген жеке теоремалардан тұрады. Бұл теоремаларды дәлелдеу жұмысының көп бөлігі көптеген арнайы жағдайларды талдауға арналды. Үлкен, ұйымдастырылған дәлелдемелерді ескере отырып, осы ерекше жағдайлардың көпшілігімен жұмыс істеуді ең күшті болжамдар қолданылғанға дейін кейінге қалдыруға болады. Бұл түзетілген стратегия үшін төленген құн – бірінші буын теоремаларының салыстырмалы түрде қысқа дәлелдемелері жоқ, олар толық жіктемеге сүйенеді. Бірінші буын теоремаларының көпшілігі бір-бірімен байланысты, сондықтан мүмкін жағдайларды тиімсіз бөледі. Нәтижесінде шекті қарапайым топтардың отбасылары мен кіші отбасылары бірнеше рет анықталды. Түзетілген дәлелдеме осы артықшылықтарды жою үшін жағдайларды бөлудің басқа тәсілін қолданады. Шекті топтар теориясындағы мамандар осындай жаттығуларда көп тәжірибе жинақтады және олардың қолында жаңа әдістер бар. Ульрих Мейерфранкенфельд, Бернд Стеллмахер, Гернот Строт және басқалардың жіктеу мәселесі бойынша жұмысын үшінші буын бағдарламасы деп атады. Оның мақсатының бірі – 2-характердегі барлық топтарды амальгама әдісін қолдана отырып біркелкі қарастыру.

The proof of the theorem, as it stood around 1985 or so, can be called first generation. Because of the extreme length of the first generation proof, much effort has been devoted to finding a simpler proof, called a second generation classification proof. This effort, called "revisionism", was originally led by Daniel Gorenstein. as of 2023, ten volumes of the second generation proof have been published (Gorenstein, Lyons & Solomon 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; & Capdeboscq, 2021, 2023). In 2012 Solomon estimated that the project would need another 5 volumes, but said that progress on them was slow. It is estimated that the new proof will eventually fill approximately 5,000 pages. (This length stems in part from the second generation proof being written in a more relaxed style.) However, with the publication of volume 9 of the GLS series, and including the Aschbacher–Smith contribution, this estimate was already reached, with several more volumes still in preparation (the rest of what was originally intended for volume 9, plus projected volumes 10 and 11). Aschbacher and Smith wrote their two volumes devoted to the quasithin case in such a way that those volumes can be part of the second generation proof. Gorenstein and his collaborators have given several reasons why a simpler proof is possible. The most important thing is that the correct, final statement of the theorem is now known. Simpler techniques can be applied that are known to be adequate for the types of groups we know to be finite simple. In contrast, those who worked on the first generation proof did not know how many sporadic groups there were, and in fact some of the sporadic groups (e. g., the Janko groups) were discovered while proving other cases of the classification theorem. As a result, many of the pieces of the theorem were proved using techniques that were overly general. Because the conclusion was unknown, the first generation proof consists of many stand alone theorems, dealing with important special cases. Much of the work of proving these theorems was devoted to the analysis of numerous special cases. Given a larger, orchestrated proof, dealing with many of these special cases can be postponed until the most powerful assumptions can be applied. The price paid under this revised strategy is that these first generation theorems no longer have comparatively short proofs, but instead rely on the complete classification. Many first generation theorems overlap, and so divide the possible cases in inefficient ways. As a result, families and subfamilies of finite simple groups were identified multiple times. The revised proof eliminates these redundancies by relying on a different subdivision of cases. Finite group theorists have more experience at this sort of exercise, and have new techniques at their disposal. has called the work on the classification problem by Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth, and a few others, a third generation program. One goal of this is to treat all groups in characteristic 2 uniformly using the amalgam method.

Дәлелдің ұзақтығы

Горенштейн компактты Лай топтарының жіктеліміне ұқсас жіктелімнің қысқаша дәлелі болуы мүмкін емес себептердің кейбірін талқылады. Ең айқын себебі – қарапайым топтардың тізімі өте күрделі: 26 спорадикалық топпен, кез келген дәлелдемеде қарастырылуы тиіс көптеген ерекше жағдайлар болуы мүмкін. Қазірге дейін ешкім шекті қарапайым топтардың Динкин диаграммалары арқылы компактты Лай топтарының параметрленуіне ұқсас, таза және біркелкі сипаттамасын тапқан жоқ. Атия және басқалар топтардың әрекет ететін геометриялық объектілерді құрастыру арқылы жіктелімді жеңілдетуге, содан кейін осы геометриялық құрылымдарды жіктеуге болатынын ұсынды. Бірақ мәселе, ешкім қарапайым топқа байланысты осындай геометриялық құрылымды табудың оңай жолын ұсына алмады. Бір жағынан, жіктелім BN жұптары сияқты геометриялық құрылымдарды табу арқылы жұмыс істейді, бірақ бұл тек шекті қарапайым топтың құрылымын өте ұзақ және қиын талдаудан кейін қол жеткізіледі. Дәлелді жеңілдетудің тағы бір ұсынысы – бейнелеу теориясын көбірек пайдалану. Мұндағы мәселе, бейнелеу теориясы жақсы жұмыс істеуі үшін топтың кіші топтарын өте қатаң бақылауды қажет етеді. Төменгі дәрежелі топтар үшін мұндай бақылау бар және бейнелеу теориясы жақсы жұмыс істейді, бірақ жоғары дәрежелі топтар үшін оны жіктелімді жеңілдету үшін ешкім қолдана алмады. Жіктелімнің алғашқы кезеңдерінде бейнелеу теориясын қолдануға көп күш жұмсалды, бірақ бұл жоғары дәрежелі жағдайларда көп табысқа жетпеді.