Кіріспе
Коммутативті топ (математика) – бұл байланысты терминнің ескі қолданылуымен сипатталатын "Абельдік сызықтық топ". Математикада абельдік топ, сондай-ақ коммутативті топ деп аталады, онда топ операциясын екі топ элементіне қолданған кезде нәтиже олардың ретіне тәуелді болмайды. Яғни, топ операциясы коммутативті болады. Қосу операциясы бойынша бүтін сандар мен нақты сандар абельдік топтарды құрайды, ал абельдік топтың түсінігі осы мысалдардың жалпыламасы ретінде қарастырылуы мүмкін. Абельдік топтар 19 ғасырдың басындағы математик Нильс Хенрик Абельдің құрметіне аталған. Абельдік топтың түсінігі өрістер, сақиналар, векторлық кеңістіктер және алгебралар сияқты көптеген негізгі алгебралық құрылымдардың негізінде жатыр. Абельдік топтардың теориясы әдетте олардың коммутативті емес аналогтарынан қарапайым, ал шекті абельдік топтар жақсы түсінілген және толық түрде жіктеледі.
the group described by the archaic use of the related term "Abelian linear group"
In mathematics, an abelian group, also called a commutative group, is a group in which the result of applying the group operation to two group elements does not depend on the order in which they are written. That is, the group operation is commutative. With addition as an operation, the integers and the real numbers form abelian groups, and the concept of an abelian group may be viewed as a generalization of these examples. Abelian groups are named after early 19th century mathematician Niels Henrik Abel. The concept of an abelian group underlies many fundamental algebraic structures, such as fields, rings, vector spaces, and algebras. The theory of abelian groups is generally simpler than that of their non abelian counterparts, and finite abelian groups are very well understood and fully classified.
Анықтама
Абельдік топ – элементтерінің кез келген екісін біріктіретін және олардан жаңа элемент құратын операциясы бар жиын. Операцияны * деп белгілейміз. * – нақты берілген операцияның жалпы белгісі. Жиын мен операцияның Абельдік топ аксиомалары деп аталатын төрт талапты қанағаттандыруы керек, осылайша ол Абельдік топ болады (кейбір авторлар операцияның анықтамасына жататын қасиеттерді аксиомаларға қосады: атап айтқанда, операция A жиынының кез келген элементтері жұбы үшін анықталған, нәтижесі дұрыс анықталған және нәтижесі A жиынына тиесілі):
Associativity For all , , and in , the equation holds. Identity element There exists an element in , such that for all elements in , the equation holds. Inverse element For each in there exists an element in such that , where is the identity element. Commutativity For all , in ,
A group in which the group operation is not commutative is called a "non abelian group" or "non commutative group".
Ассоциативтік: Кез келген a, b және c үшін , теңдік орындалады.
Тұлғалық элемент: A жиынындағы барлық a элементтері үшін , теңдік орындалатын e элементі бар.
Кері элемент: A жиынындағы кез келген a үшін , теңдік орындалатын e элементі бар, мұндағы e – тұлғалық элемент.
Коммутативтік: Кез келген a және b үшін , .
Associativity For all , , and in , the equation holds. Identity element There exists an element in , such that for all elements in , the equation holds. Inverse element For each in there exists an element in such that , where is the identity element. Commutativity For all , in ,
A group in which the group operation is not commutative is called a "non abelian group" or "non commutative group".
Операциясы коммутативті емес топ "абельдік емес топ" немесе "коммутативті емес топ" деп аталады.
Associativity For all , , and in , the equation holds. Identity element There exists an element in , such that for all elements in , the equation holds. Inverse element For each in there exists an element in such that , where is the identity element. Commutativity For all , in ,
A group in which the group operation is not commutative is called a "non abelian group" or "non commutative group".
Көбейту кестесі
Шекті топтың абельдік екенін тексеру үшін, көбейту кестесіне ұқсас түрде Кэйли кестесі деп аталатын кесте (матрица) құрастыруға болады. Егер топ операция бойынша жабық болса, онда осы кестедегі *i*-інші жазбада осы операцияның нәтижесі болады. Топ абельдік болады, егер және тек егер бұл кесте бас диагоналға қатысты симметриялы болса. Бұл дұрыс, себебі топ абельдік екені барлық *a*, *b* үшін *ab* = *ba* шартымен тең, яғни кестедегі *i*-інші жазба барлық *a*, *b* үшін *j*-інші жазбаға тең болады, демек кесте бас диагоналға қатысты симметриялы.
The group is abelian if and only if this table is symmetric about the main diagonal. This is true since the group is abelian iff for all , which is iff the entry of the table equals the entry for all , i. e. the table is symmetric about the main diagonal.
Мысалдар
Бүкіл сандар мен қосу операциясы үшін, операция + кез келген екі бүтін санды біріктіріп үшінші бүтін санды құрайды, қосу ассоциативті, нөл – қосу нейтраль элементі, әрбір бүтін санның қосуға қатысты кері саны бар, және қосу операциясы коммутативті, себебі кез келген екі бүтін сан үшін және . Әрбір циклдік топ – абельдік, өйткені егер , онда . Сондықтан бүкіл сандар, , қосу бойынша абельдік топты құрайды, сондай-ақ бүтін сандар модулі , де абельдік топты құрайды. Әрбір сақина өзінің қосу операциясына қатысты абельдік топ болып табылады. Коммутативті сақинада кері элементтер немесе бірліктер абельдік көбейту тобын құрайды. Атап айтқанда, нақты сандар қосу бойынша абельдік топ, ал нөлден өзге нақты сандар көбейту бойынша абельдік топ болып табылады. Абельдік топтың кез келген кіші тобы нормальды, сондықтан әрбір кіші топ үлестік топты тудырады. Абельдік топтардың кіші топтары, үлестік топтары және тікелей қосындылары да абельдік болып табылады. Шектеулі жай абельдік топтар – дәл бірінші реттік циклдік топтар. Абельдік топ және модуль ұғымдары сәйкес келеді. Нақтырақ айтқанда, әрбір модуль – қосу операциясы бар абельдік топ, ал әрбір абельдік топ – бүтін сандар сақинасы бойынша модуль болып табылады, бұл дамудың жалғыз жолы. Жалпы алғанда, матрицалар, тіпті кері матрицалар да көбейту бойынша абельдік топты құрамайды, себебі матрица көбейтуі көбінесе коммутативті емес. Дегенмен, кейбір матрицалар топтары матрица көбейтуі бойынша абельдік топтар болып табылады – мысалы, айналу матрицаларының тобы.
Тарихи ескертулер
Камиль Джордан абельдік топтарды норвегиялық математик Нильс Хенрик Абельдің құрметіне атады, себебі Абель көпмүшенің тобының коммутативтілігі, осы көпмүшенің түбірлерін радикалдар арқылы табуға болатынын анықтаған.
Қасиеттері
Егер – табиғи сан болса және – абельдік топтың элементі болса, онда оны (қосылғыштар) деп анықтауға болады, ал осылайша бүтін сандар сақинасының модуліне айналады. Шын мәнінде, модульдерді абельдік топтармен сәйкестендіруге болады. Абельдік топтар туралы теоремаларды (яғни, негізгі идеалдық домендегі модульдер) кез келген негізгі идеалдық домендегі модульдер туралы теоремаларға жалпылауға болады. Типик мысал – шекті жасалған абельдік топтардың жіктелуі, бұл негізгі идеалдық домендегі шекті жасалған модульдер үшін құрылым теоремасының ерекше жағдайы. Шекте жасалған абельдік топтар жағдайында, бұл теорема абельдік топтың торсиялық топ пен еркін абельдік топтың тікелей қосындысы ретінде бөлінетініне кепілдік береді. Алғашқысын жай сандар үшін топтардың тікелей қосындысы ретінде жазуға болады, ал соңғысы – жай сандар жиыны негіз болатын еркін абельдік топ. Егер – абельдік топтар арасындағы екі гомоморфизм болса, онда олардың қосындысы , анықтамасы бойынша , қайтадан гомоморфизм болады. (Бұл абельдік емес топ үшін дұрыс емес.) Сондықтан, –тан –ға барлық гомоморфизмдер жиыны өзінің абельдік тобы болып табылады. Векторлық кеңістіктердің өлшемдеріне ұқсас, әр абельдік топтың рангі бар. Ол топтың бүтін сандар бойынша сызықтық тәуелсіз элементтері жиынының максималды кардиналдығы ретінде анықталады. Абельдік және торсиялық топтардың рангі нөлге тең, ал нөлдік рангі бар әрбір абельдік топ – торсиялық топ. Бүтін сандар мен рационалды сандардың рангі бірге тең, сондай-ақ рационалдардың нөлден өзге әрбір қосымша кіші тобының рангі де бірге тең. Керісінше, нөлден өзге рационалдардың көбейту тобының рангі шексіз, өйткені ол жай сандар жиыны негіз болатын еркін абельдік топ (бұл арифметиканың негізгі теоремасынан туындайды). Топтың орталығы – бұл топтың кез келген элементімен коммутациялайтын элементтер жиыны. Топ абельдік болады, егер және тек қана оның орталығына тең болса. Топтың орталығы әрқашан абельдік топтың сипаттамалық кіші тобы болып табылады. Егер топтың орталығы бойынша үлестік топ циклдік болса, онда ол абельдік болады.
If are two group homomorphisms between abelian groups, then their sum , defined by , is again a homomorphism. (This is not true if is a non abelian group.) The set of all group homomorphisms from to is therefore an abelian group in its own right. Somewhat akin to the dimension of vector spaces, every abelian group has a rank. It is defined as the maximal cardinality of a set of linearly independent (over the integers) elements of the group. Finite abelian groups and torsion groups have rank zero, and every abelian group of rank zero is a torsion group. The integers and the rational numbers have rank one, as well as every nonzero additive subgroup of the rationals. On the other hand, the multiplicative group of the nonzero rationals has an infinite rank, as it is a free abelian group with the set of the prime numbers as a basis (this results from the fundamental theorem of arithmetic). The center of a group is the set of elements that commute with every element of A group is abelian if and only if it is equal to its center The center of a group is always a characteristic abelian subgroup of If the quotient group of a group by its center is cyclic then is abelian.
Түпкіленген Абель топтары
Циклдік топтар модульдік бүтін сандар бойынша , , топтардың алғашқы мысалдарының бірі болды. Кез келген шекті абельдік топтың біріншілік қуат тәртібіндегі шекті циклдік топтардың тікелей қосындысына изоморфты екені анықталды, ал осы тәртіптер бірегей түрде анықталады, инварианттардың толық жүйесін құрайды. Шекті абельдік топтың автоморфизм тобы осы инварианттар тұрғысынан тікелей сипатталуы мүмкін. Теория алғаш рет 1879 жылы Георг Фробениус пен Людвиг Стикльбергердің еңбегінде жасалған, кейіннен ол қарапайымдастырылды және негізгі идеалдық домендегі шекті туынды модульдерге жалпыландырылды, бұл сызықтық алгебраның маңызды бөлімін құрайды. Біріншілік тәртібі бар кез келген топ циклдік топқа изоморфты, демек абельдік. Тәртібі бірінші санның квадратына тең кез келген топ та абельдік болып табылады. Шындығында, әрбір жай сан үшін (изоморфизмге дейін) дәл екі топ бар, атап айтқанда және .
Абельдік шексіз топтар
Ең қарапайым шексіз абель тобы – шексіз циклдік топ. Кез келген шекті туынды абель тобы – абель тобының және шекті абель тобының көшірмелерінің тікелей қосындысына изоморф, ал ол өз кезегінде шекті көптеген циклдік топтардың тікелей қосындысына жіктеледі. Бұл жіктелу бірегей болмаса да, саны – топтың ранкі деп аталады, ал шекті циклдік қосылғыштардың ретін анықтайтын жай санның дәрежелері бірегей түрде анықталады. Керісінше, жалпы шексіз туынды абель топтарын жіктеу толық емес. Бөлінетін топтар, яғни кез келген натурал сан және топтың елемі үшін теңдеуге шешім болатын абельдік топтар, шексіз абельдік топтардың маңызды класын құрайды және толық сипатталуы мүмкін. Кез келген бөлінетін топ – әр түрлі жай сандар үшін изоморфты және Пруфер топтары бар тікелей қосындыға изоморфты, сондай-ақ әр типтегі қосылғыштар жиынының кардиналдығы бірегей түрде анықталады. Сонымен қатар, егер бөлінетін топ – абельдік топтың кіші тобы болса, онда ол тікелей толықтыруға ие болады: осындай кіші топтар абельдік топтар санатындағы инъективті модульдер болып табылады, және керісінше, кез келген инъективті абельдік топ бөлінеді (Баердің критерийі). Нөлдік емес бөлінетін кіші топтары жоқ абельдік топ – қысқартылған деп аталады. Диаметралық қарама-қарсы қасиеттері бар шексіз абель топтарының екі маңызды арнайы класы – бұрылу топтары және бұрылусыз топтар, мысалы, (периодтық) және (бұрылусыз) топтары.
Торсиялық топтар
Абельдік топ, егер әрбір элементінің шекті реті болса, периодты немесе бұрылысты деп аталады. Түпкілікті циклдік топтардың тікелей қосындысы периодты болады. Керісінше, жалпы жағдайда бұл тұжырым дұрыс болмаса да, кейбір ерекше жағдайлар белгілі. Бірінші және екінші Пруфер теоремаларында егер топ периодты болса, онда оның шектелген экспонентасы бар, яғни, қандай да бір натурал сан үшін немесе саналатын және топтың элементтерінің биіктіктері әрқайсысы үшін шекті болса, онда ол түпкілікті циклдік топтардың тікелей қосындысына изоморфты екендігі айтылады. Мұндай жіктемедегі тікелей қосылғыштар жиынының кардиналдығы – Kulikov критерийі бойынша инвариант болып табылады. Басқа бағытта, Гельмут Ульм шексіз биіктіктегі элементтері бар саналатын абельдік топтарға екінші Пруфер теоремасын кеңейтті: осы топтар өздерінің Ульм инварианттары арқылы толық жіктеледі.
Өзгермейтіндер және жіктеу
Шексіз абель тобының ең негізгі инварианттарының бірі – оның рангысы: 0 рангысы бар абель топтарының ең үлкен сызықтық тәуелсіз жиынының кардиналдығы дәл мерзімді топтарды құрайды, ал 1 рангысы бар бұрылыссыз абель топтары міндетті түрде кіші топтар болып табылады және толық сипатталуы мүмкін. Жалпы алғанда, шекті рангысы бар бұрылыссыз абель тобы – бұл тобының кіші тобы. Екінші жағынан, p-адик бүтін сандар тобы – шексіз рангысы бар бұрылыссыз абель тобы және әртүрлі рангылары бар топтар изоморфты емес, сондықтан бұл инвариант кейбір таныс топтардың қасиеттерін толыққанды қамтымайды. Жоғарыда түсіндірілген, шекті жасалған, бөлінетін, саналатын мерзімді және 1-рангты бұрылыссыз абель топтарына қатысты жіктеу теоремаларының барлығы 1950 жылға дейін алынған және олар жалпы шексіз абель топтарын жіктеудің негізін құрайды. Шексіз абель топтарын жіктеуде қолданылатын маңызды техникалық құралдар – таза және негізгі кіші топтар. Бұрылыссыз абель топтарының әртүрлі инварианттарын енгізу – одан әрі прогрестің бір жолы болды. Ирвинг Капланский, Ласло Фукс, Филипп Гриффит және Дэвид Арнольдтың кітаптарын, сондай-ақ Абельдік топтар теориясы бойынша конференциялар материалдарын қараңыз.
Типографияға қатысты ескерту
Математиктердің жеке есімдерінен туындаған математикалық сипаттағыштардың арасында "абелдік" сөзі ерекше, себебі ол көбінесе үлкен әріппен емес, кіші әріппен жазылады. Бас әріптің болмауы Абельдің есімінің қаншалықты қалыптасқандығын ғана емес, сонымен қатар оның енгізген ұғымдарының қазіргі математикада қаншалықты кең таралғандығын ишаралайды.