Кіріспе
Ең кіші нормальды кіші топ, оның арқылы алынған бөлінді коммутативті болады. Математикада, әсіресе абстрактілі алгебрада, топтың коммутаторлық кіші тобы немесе туынды кіші тобы — топтың барлық коммутаторларымен жасалған кіші топ. Коммутаторлық кіші топ маңызды, себебі ол ең кіші нормальды кіші топ болып табылады, сондықтан бастапқы топты осы кіші топқа бөлгенде алынған бөлінді абельдік болады. Яғни, егер және тек қана егер топтың коммутаторлық кіші тобын қамтыса, онда абельдік болады. Осылайша, белгілі бір мағынада, ол топтың абельдік болудан қаншалықты алшақтауын көрсетеді; коммутаторлық кіші топ неғұрлым үлкен болса, топты соғұрлым "абельдік емес" деп айтуға болады.
In mathematics, more specifically in abstract algebra, the commutator subgroup or derived subgroup of a group is the subgroup generated by all the commutators of the group. The commutator subgroup is important because it is the smallest normal subgroup such that the quotient group of the original group by this subgroup is abelian. In other words, is abelian if and only if contains the commutator subgroup of So in some sense it provides a measure of how far the group is from being abelian; the larger the commutator subgroup is, the "less abelian" the group is.
Абелиандастыру
Берілген топта, квозиенттік топ абельдік болып табылады, егер және тек қана егерде . Бұл квозиенттік топ абельдік топ болып табылады және топтың абельдікке келтірілуі (abelianization) деп аталады, оны немесе деп белгілейді. картаның пайдалы категориялық интерпретациясы бар. Атап айтқанда, ол абельдік топқа гомоморфизмдер үшін әмбебап болып табылады: кез келген абельдік топ пен топтардың гомоморфизмі үшін бірегей гомоморфизм бар, осындай . Әдеттегідей, әмбебап карталау қасиеттерімен анықталған объектілер үшін бұл абельдікке келтірілудің каноникалық изоморфизмге дейінгі бірегейлігін көрсетеді, ал нақты құрылысы оның бар екенін көрсетеді. Абельдікке келтіру функторы – абельдік топтар санатынан топтар санатына кіріктіру функторының сол жақ қосымшасы. Grp → Ab абельдікке келтіру функторының болуы Ab санатын топтар санатының рефлективті кіші санаты етеді, ол кіріктіру функторы сол жақ қосымшасы бар толық кіші санаты ретінде анықталады. -ның тағы бір маңызды интерпретациясы – бұл , топтың интегралдық коэффициенттері бар бірінші гомология тобы.
The quotient is an abelian group called the abelianization of or made abelian. It is usually denoted by or
There is a useful categorical interpretation of the map Namely is universal for homomorphisms from to an abelian group : for any abelian group and homomorphism of groups there exists a unique homomorphism such that As usual for objects defined by universal mapping properties, this shows the uniqueness of the abelianization up to canonical isomorphism, whereas the explicit construction shows existence. The abelianization functor is the left adjoint of the inclusion functor from the category of abelian groups to the category of groups. The existence of the abelianization functor Grp → Ab makes the category Ab a reflective subcategory of the category of groups, defined as a full subcategory whose inclusion functor has a left adjoint. Another important interpretation of is as , the first homology group of with integral coefficients.
Топтардың кластары
Топ, егер және тек егер туынды топ тривиалды болса, Абель тобы болып табылады: [G,G] = {e}. Балама түрінде, егер және тек егер топ өзінің абелиандалуына тең болса. Топтың абелиандалуының анықтамасы жоғарыда қараңыз. Топ, егер және тек егер туынды топ топтың өзіне тең болса, кемелді топ болып табылады: [G,G] = G. Балама түрінде, егер және тек егер топтың абелиандалуы тривиалды болса. Бұл Абельдікке "қарсы". N жиынындағы кейбір n үшін топ шешілмелі топ деп аталады; бұл Абельдікке қарағанда әлсіз, және n = 1 болған жағдайда орын алады. N жиынындағы барлық n үшін топ шешілмейтін топ деп аталады. Кейбір реттік сан үшін, мүмкін шексіз, топ гипоабелдік топ деп аталады; бұл шешілмеліге қарағанда әлсіз, және α шекті (натурал сан) болған жағдайда орын алады.
Керемет топ
Кез келген топтың өзіне тең туынды топ болған жағдайда, ол толық топ деп аталады. Бұған абельдік емес қарапайым топтар және белгілі бір өріс үшін арнайы сызықтық топтар кіреді.
Мысалдар
Кез келген абельдік топтың коммутаторлық кіші тобы тривиальды. К өрісінде немесе бөліну сақинасындағы жалпы сызықтық топтың коммутаторлық кіші тобы, егер k екі элементті өріс болмаса, арнайы сызықтық топқа тең. A4 ауыспалы тобының коммутаторлық кіші тобы – Клейн төрттік тобы. Sn симметриялық тобының коммутаторлық кіші тобы – An ауыспалы тобы. Квартернион тобының коммутаторлық кіші тобы Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} – [Q,Q] = {1, −1}.
Сыртқы карта
Алынған кіші топ ерекше болғандықтан, G-нің кез келген автоморфизмі абелиандық топқа автоморфизмді индукциялайды. Абелиандық топ абелиандық болғандықтан, ішкі автоморфизмдер тривиальды түрде әрекет етеді, демек, бұл бір бейнелеуді береді.