Кіріспе

Бастауыш топтың кез келген автоморфизмі астында өзіне бейнеленетін кіші топ. Математикада, әсіресе абстрактілік алгебраның топ теориясы саласында, сипаттамалық кіші топ – бұл бастауыш топтың кез келген автоморфизмімен өзіне бейнеленетін кіші топ. Кез келген байланыстыру картасы ішкі автоморфизм болғандықтан, әрбір сипаттамалық кіші топ қалыпты болады; бірақ керісіне кепілдік жоқ. Сипаттамалық кіші топтардың мысалдарына коммутаторлық кіші топ және топтың центрі жатады.

Анықтама

G тобының H кіші тобы, егер G-дің кез келген φ автоморфизмі үшін φ(H) ≤ H орындалса, сипаттамалық кіші топ деп аталады; мұндай жағдайда H char G деп жазамыз.

Бұл, G-дің кез келген φ автоморфизмі үшін φ(H) = H деген күшті талапқа тең, себебі φ⁻¹(H) ≤ H болса, керісінше қосылу H ≤ φ(H) орындалады.

Негізгі қасиеттері

H char G берілгенде, G-дің кез келген автоморфизмі G/H фактор-тобының автоморфизмін тудырады, нәтижесінде Aut(G) → Aut(G/H) гомоморфизмі пайда болады. Егер G-де белгілі бір индекске ие бірегей H кіші тобы болса, онда H, G-ге ішкі тән.

Қатаң сипаттамалық кіші топ

А, немесе а, — сюръективті эндоморфизмдерге қатысты инвариант. Шектеулі топтар үшін эндоморфизмнің сюръективті болуы инъективтілікті білдіреді, сондықтан сюръективті эндоморфизм — автоморфизм. Осылайша, қатаң түрде ерекшелену, ерекшеленумен эквивалентті. Бұл шексіз топтар үшін енді дұрыс емес.

Толық сипаттамалық кіші топ

Тіпті, одан да күшті шектеу үшін, топтың толық сипаттамалық кіші тобы (сонымен қатар, толық инвариант кіші топ; инвариант кіші топпен салыстырыңыз), G тобының H кіші тобы, G-нің кез келген эндоморфизмі астында өзгермейтін топ болып табылады; яғни,
∀φ ∈ End(G): φ[H] ≤ H.

Кез келген топ өзінің (импропер кіші топ) және тривиальды кіші тобын екі толық сипаттамалық кіші тобы ретінде қамтиды. Топтың коммутаторлық кіші тобы әрқашан толық сипаттамалық кіші топ болып табылады. G-нің кез келген эндоморфизмі G/H эндоморфизмін тудырады, бұл End(G) → End(G/H) бейнелеуін береді.

Ауызша сөйлеудің кіші тобы

Тіпті одан да күшті шектеу – вербальды кіші топ, ол гомоморфизм астындағы еркін топтың толық инвариантты кіші тобының бейнесі. Көбінесе, кез келген вербальды кіші топ толық сипаттамалық болып табылады. Кез келген қысқартылған еркін топ үшін, және әсіресе, кез келген еркін топ үшін, керісі де дұрыс: әрбір толық сипаттамалық кіші топ – вербальды.

Шекті мысал

Топты қарастырайық (6-шы реттік симметриялық топ пен 2-ші реттік циклдік топтың тікелей көбейтіндісі болып табылатын 12-ші реттік топ). G тобының ортасы оның екінші факторына изоморфты. Атап айтқанда, тобында тобына изоморфты кіші топтар бар, мысалы {e, (12)}; болып табылатын морфизмді қарастырайық, ол көрсетілген кіші топқа бейнелейді. Содан кейін G-нің екінші факторына проекциясының, одан кейін f-тің, одан кейін тобын G-ге бірінші фактор ретінде енгізудің құрамы G-нің эндоморфизмін береді, онда орталықтың бейнесі , орталықта жатпайды, сондықтан бұл жағдайда орталық G-нің толық сипаттамалық кіші тобы емес.

Циклдік топтар

Кез келген циклдік топтың кез келген кіші тобы ерекшеленеді.

Ішкі топ функторлары

Топтың туынды кіші тобы (немесе коммутаторлық кіші тобы) — сөздік кіші топ. Абельдік топтың торсиялық кіші тобы — толық инвариант кіші топ.

Топологиялық топтар

Топологиялық топтың сәйкестік компоненті әрқашан ерекшеленетін кіші топ болып табылады.