Кіріспе
Есептеу құралы
Математикада Шаудер негізі немесе саналатын негіз – векторлық кеңістіктің қалыпты (Гамель) негізіне ұқсас; айырмашылығы Гамель негіздері шекті қосындыларды қолданса, Шаудер негіздерінде шексіз қосындылар болуы мүмкін. Бұл Шаудер негіздерін шексіз өлшемді топологиялық векторлық кеңістіктерді, оның ішінде Банах кеңістігін талдауға ыңғайлырақ жасайды. Шаудер негіздерін 1927 жылы Юлиус Шаудер сипаттаған, бірақ мұндай негіздер бұрыннан талқыланған. Мысалы, 1909 жылы Haar негізі ұсынылған, ал Георг Фабер 1910 жылы аралықтағы үздіксіз функциялардың негізін талқылаған, оны кейде Фабер–Шаудер жүйесі деп атайды.
In mathematics, a Schauder basis or countable basis is similar to the usual (Hamel) basis of a vector space; the difference is that Hamel bases use linear combinations that are finite sums, while for Schauder bases they may be infinite sums. This makes Schauder bases more suitable for the analysis of infinite dimensional topological vector spaces including Banach spaces. Schauder bases were described by Juliusz Schauder in 1927, although such bases were discussed earlier. For example, the Haar basis was given in 1909, and Georg Faber discussed in 1910 a basis for continuous functions on an interval, sometimes called a Faber–Schauder system.
Қасиеттері
{bn} – F = R немесе C үстіндегі V Банах кеңістігінің Шаудер негізі болсын. Ашық бейнелеу теоремасының нәзік салдары ретінде, {Pn} сызықтық бейнелеулері қандай да бір C тұрақтысымен біркелкі шектелген. {Pn} бейнелеулері – негіздік проекциялар. {b*n} координаталық функционалдарды белгілейік, мұнда b*n V-дегі әрбір v векторына жоғарыда көрсетілген жіктемедегі v-нің αn координатасын сәйкес келтіреді. Әрбір b*n – V кеңістігіндегі шектелген сызықтық функционал. Шындығында, V-дегі әрбір v векторы үшін бұл функционалдар {b*n} – {bn} негізіне қатысты биортогональдық функционалдар деп аталады. Егер {bn} негізі нормаланған болса, координаттық функционалдар {b*n} V-нің үздіксіз дуалындағы нормасы ≤ 2C тең болады. Шаудер негізі бар Банах кеңістігі міндетті түрде ажыратылатын болады, бірақ керісі дұрыс емес. Банах кеңістігінде V-нің Шаудер негізі бар әрбір v векторы Pn(v)-нің лиміті болғандықтан, Pn шекті дәрежелі және біркелкі шектелген, мұндай V кеңістігі шектелген жуықтау қасиетін қанағаттандырады. Мазурға жатқызылатын теорема бойынша, әрбір шексіз өлшемді Банах кеңістігі V негізгі тізбекке ие, яғни V-нің Шаудер негізі бар шексіз өлшемді кіші кеңістігі бар. Негіздік мәселе – Банахтың қойған сұрағы, әрбір ажыратылатын Банах кеңістігінің Шаудер негізі бар ма? Пер Энфло бұл сұраққа жоқ деп жауап берді, ол жуықтау қасиетін қанағаттандырмайтын, яғни Шаудер негізі жоқ Банах кеңістігін құрды.
are uniformly bounded by some constant C. When , the basis is called a monotone basis. The maps {Pn} are the basis projections. Let {b*n} denote the coordinate functionals, where b*n assigns to every vector v in V the coordinate αn of v in the above expansion. Each b*n is a bounded linear functional on V. Indeed, for every vector v in V,
These functionals {b*n} are called biorthogonal functionals associated to the basis {bn}. When the basis {bn} is normalized, the coordinate functionals {b*n} have norm ≤ 2C in the continuous dual of V.
A Banach space with a Schauder basis is necessarily separable, but the converse is false. Since every vector v in a Banach space V with a Schauder basis is the limit of Pn(v), with Pn of finite rank and uniformly bounded, such a space V satisfies the bounded approximation property. A theorem attributed to Mazur asserts that every infinite dimensional Banach space V contains a basic sequence, i. e., there is an infinite dimensional subspace of V that has a Schauder basis. The basis problem is the question asked by Banach, whether every separable Banach space has a Schauder basis. This was negatively answered by Per Enflo who constructed a separable Banach space failing the approximation property, thus a space without a Schauder basis.
Мысалдар
c₀ және lp стандартты бірлік векторлық негіздері 1 ≤ p < ∞ үшін монотонды Шаудер негіздері болып табылады. Осы бірлік векторлық негізде {bn}, bn векторы немесе векторы – бұл скалярлық тізбек [bn, j]j, мұндағы барлық координаттар bn, j нөлге тең, тек n-ші координатадан басқа: мұнда δn, j – Кронекер дельтасы. l∞ кеңістігі бөлінбейтін, сондықтан оның Шаудер негізі жоқ. Бөлінетін Гильберт кеңістігіндегі әрбір ортонормальдық негіз Шаудер негізі болып табылады. Әрбір саналатын ортонормальдық негіз l2 стандартты бірлік векторлық негізімен эквивалентті. Haar жүйесі 1 ≤ p < ∞ болғанда Lp([0, 1]) үшін негіздің мысалы болып табылады. Банахтың кітабы жарық көргенге дейін классикалық кеңістіктерге арналған бірнеше негіздер ашылған, бірақ кейбір басқа мәселелер ұзақ уақыт бойы шешілмей келді. Мысалы, диск алгебрасы A(D)-ның Шаудер негізі бар ма деген сұрақ қырық жылдан астам уақыт бойы ашық күйде қалды, 1974 жылы Бочкарев Франклин жүйесінен құрылған негіз A(D)-де бар екенін көрсеткенге дейін. Франклиннің периодты жүйесі A(D)-ге изоморфты Банах кеңістігі Ar үшін де негіз екенін дәлелдеуге болады. Бұл Ar кеңістігі бірлік шеңберіндегі барлық күрделі үздіксіз функциялардан тұрады, олардың қосымша функциясы да үздіксіз. Франклин жүйесі C([0, 1]) үшін тағы бір Шаудер негізі болып табылады және ол 1 ≤ p < ∞ болғанда Lp([0, 1]) бойынша Шаудер негізі болып табылады. Франклин жүйесінен туындаған жүйелер бірлік шаршыдағы дифференциалданатын функциялардың C1([0, 1]²) кеңістігінде негіздерді береді. C1([0, 1]²) кеңістігінде Шаудер негізінің болуы Банахтың кітабындағы мәселе болды.
where δn, j is the Kronecker delta. The space ℓ∞ is not separable, and therefore has no Schauder basis. Every orthonormal basis in a separable Hilbert space is a Schauder basis. Every countable orthonormal basis is equivalent to the standard unit vector basis in ℓ2. The Haar system is an example of a basis for Lp([0, 1]), when 1 ≤ p < ∞. Several bases for classical spaces were discovered before Banach's book appeared , but some other cases remained open for a long time. For example, the question of whether the disk algebra A(D) has a Schauder basis remained open for more than forty years, until Bočkarev showed in 1974 that a basis constructed from the Franklin system exists in A(D). One can also prove that the periodic Franklin system is a basis for a Banach space Ar isomorphic to A(D). This space Ar consists of all complex continuous functions on the unit circle T whose conjugate function is also continuous. The Franklin system is another Schauder basis for C([0, 1]),
and it is a Schauder basis in Lp([0, 1]) when 1 ≤ p < ∞. Systems derived from the Franklin system give bases in the space C1([0, 1]2) of differentiable functions on the unit square. The existence of a Schauder basis in C1([0, 1]2) was a question from Banach's book.