Введение
Вычислительный инструмент
В математике, основа Шойдера, или счетное базисное множество, аналогично обычному (Хамелеву) базису векторного пространства; различие заключается в том, что в хамелевых базисах используются линейные комбинации, являющиеся конечными суммами, а для базисов Шойдера они могут быть бесконечными суммами. Это делает базисы Шойдера более подходящими для анализа бесконечномерных топологических векторных пространств, включая пространства Банаха. Базисы Шойдера были описаны Юлиушем Шойдером в 1927 году, хотя подобные базисы обсуждались и ранее. Например, базис Хаара был представлен в 1909 году, а Георг Фабер в 1910 году исследовал базис для непрерывных функций на интервале, иногда называемый системой Фабера — Шойдера.
In mathematics, a Schauder basis or countable basis is similar to the usual (Hamel) basis of a vector space; the difference is that Hamel bases use linear combinations that are finite sums, while for Schauder bases they may be infinite sums. This makes Schauder bases more suitable for the analysis of infinite dimensional topological vector spaces including Banach spaces. Schauder bases were described by Juliusz Schauder in 1927, although such bases were discussed earlier. For example, the Haar basis was given in 1909, and Georg Faber discussed in 1910 a basis for continuous functions on an interval, sometimes called a Faber–Schauder system.
Свойства
Пусть {bn} является основой Шаудера пространства Банаха V над F = R или C. Это тонкое следствие теоремы об открытом отображении, что линейные отображения {Pn}, определенные как , равномерно ограничены некоторой константой C. Когда , основа называется монотонной основой. Отображения {Pn} являются базисными проекциями. Пусть {b*n} обозначает координатные функционалы, где b*n сопоставляет каждому вектору v в V координату αn в вышеуказанном разложении. Каждый b*n является ограниченным линейным функционалом на V. Действительно, для каждого вектора v в V, эти функционалы {b*n} называются биортогональными функционалами, связанными с основой {bn}. Когда основа {bn} нормализована, координатные функционалы {b*n} имеют норму ≤ 2C в непрерывном дуале V. Пространство Банаха с основой Шаудера обязательно является сепарабельным, но обратное неверно. Поскольку каждый вектор v в пространстве Банаха V с основой Шаудера является пределом Pn(v), где Pn имеет конечный ранг и равномерно ограничен, такое пространство V удовлетворяет свойству ограниченного приближения. Теорема, приписываемая Мазуру, утверждает, что каждое бесконечномерное пространство Банаха V содержит базисную последовательность, то есть существует бесконечномерное подпространство V, которое имеет основу Шаудера. Проблема основания – это вопрос, заданный Банахом, имеет ли каждое сепарабельное пространство Банаха основу Шаудера. На этот вопрос отрицательно ответил Пер Энфло, построив сепарабельное пространство Банаха, не удовлетворяющее свойству приближения, и, следовательно, не имеющее основы Шаудера.
are uniformly bounded by some constant C. When , the basis is called a monotone basis. The maps {Pn} are the basis projections. Let {b*n} denote the coordinate functionals, where b*n assigns to every vector v in V the coordinate αn of v in the above expansion. Each b*n is a bounded linear functional on V. Indeed, for every vector v in V,
These functionals {b*n} are called biorthogonal functionals associated to the basis {bn}. When the basis {bn} is normalized, the coordinate functionals {b*n} have norm ≤ 2C in the continuous dual of V.
A Banach space with a Schauder basis is necessarily separable, but the converse is false. Since every vector v in a Banach space V with a Schauder basis is the limit of Pn(v), with Pn of finite rank and uniformly bounded, such a space V satisfies the bounded approximation property. A theorem attributed to Mazur asserts that every infinite dimensional Banach space V contains a basic sequence, i. e., there is an infinite dimensional subspace of V that has a Schauder basis. The basis problem is the question asked by Banach, whether every separable Banach space has a Schauder basis. This was negatively answered by Per Enflo who constructed a separable Banach space failing the approximation property, thus a space without a Schauder basis.
Примеры
Стандартные единичные векторные базисы c₀ и ℓₚ для 1 ≤ p < ∞ являются монотонными базисами Шаудера. В этом единичном векторном базисе {bₙ} вектор bₙ в c₀ или в ℓₚ является скалярной последовательностью [bₙ,ⱼ]ⱼ, где все координаты bₙ,ⱼ равны 0, за исключением n-й координаты:
где δₙ,ⱼ – дельта Кронекера. Пространство ℓ∞ не является сепарабельным и, следовательно, не имеет базиса Шаудера. Любой ортонормальный базис в сепарабельном гильбертовом пространстве является базисом Шаудера. Любой счетный ортонормальный базис эквивалентен стандартному единичному векторному базису в ℓ₂. Система Хаара является примером базиса для Lp([0, 1]), когда 1 ≤ p < ∞. Несколько базисов для классических пространств были обнаружены до появления книги Банаха, но некоторые другие случаи оставались открытыми в течение долгого времени. Например, вопрос о том, имеет ли дисковая алгебра A(D) базис Шаудера, оставался открытым более сорока лет, пока Бочкарев в 1974 году не показал, что базис, построенный из системы Франклина, существует в A(D). Можно также доказать, что периодическая система Франклина является базисом для банахова пространства Ar, изоморфного A(D). Это пространство Ar состоит из всех комплексных непрерывных функций на единичной окружности T, сопряженная функция которых также непрерывна. Система Франклина является еще одним базисом Шаудера для C([0, 1]), и это базис Шаудера в Lp([0, 1]) при 1 ≤ p < ∞. Системы, полученные из системы Франклина, дают базисы в пространстве C¹([0, 1]²) дифференцируемых функций на единичном квадрате. Вопрос о существовании базиса Шаудера в C¹([0, 1]²) был поставлен в книге Банаха.
and it is a Schauder basis in Lp([0, 1]) when 1 ≤ p < ∞. Systems derived from the Franklin system give bases in the space C1([0, 1]2) of differentiable functions on the unit square. The existence of a Schauder basis in C1([0, 1]2) was a question from Banach's book.