Жиын теорияларында математикалық ұғымдарды іске асыру: ZFC және NFU салыстырмалы талдауы

Кіріспе

Бұл мақалада математикалық түсініктердің жиын теориясында іске асырылуы қарастырылады. Бірқатар негізгі математикалық түсініктерді іске асыру ZFC (басым жиын теориясы) және NFU-да бірдей жүргізіледі, Куиннің Жаңа Негіздерінің нұсқасы, 1969 жылы Р. Б. Дженсен тарапынан дәйекті екені дәлелденді (мұнда кемінде Шеңбер және Таңдау аксиомалары кіреді). Мұнда айтылғандар жиын теориясының екі отбасына да қатысты: бір жағынан, Зермело жиын теориясынан бастап, шкаланың төменгі жағында орналасқан және «өлшенетін кардинал бар» сияқты үлкен кардиналдық гипотезалармен кеңейтілген ZFC-ге дейінгі теориялардың кең ауқымы; екінші жағынан, Жаңа Негіздер мақаласында қарастырылған NFU кеңейтулерінің иерархиясы. Бұл жиын теориялық әлемнің қандай екендігіне қатысты әртүрлі жалпы көзқарастарға сәйкес келеді, және осы екі жалпы көзқарас бойынша математикалық түсініктерді іске асыру тәсілдері салыстырылып, қарама-қарсы қойылады. Бұл мақаланың басты мақсаты математиканың негізі ретінде осы теориялардың салыстырмалы артықшылықтары туралы айту емес. Екі түрлі жиын теориясын қолдану себебі – математиканы іске асырудың бірнеше тәсілі мүмкін екенін көрсету. Дәл осы себепті, бұл мақала кез келген математикалық түсініктің «ресми» анықтамасы болып табылмайды.

Алдын ала мәліметтер

Келесі бөлімдерде ZFC және NFU теориялары бойынша белгілі бір құрылымдар жасалады және белгілі бір математикалық құрылымдардың (мысалы, табиғи сандар) іске асырылуы салыстырылады. Математикалық теориялар теоремаларды дәлелдейді (басқа ештеңе емес). Сондықтан, теория белгілі бір объектінің құрылымын қадағалайды деу, бұл объектінің бар екендігі осы теорияның теоремасы дегенді білдіреді. Бұл "x сондай" түріндегі анықтама туралы мәлімдеме, онда біздің тіліміздің формуласы: теория "x сондай" бар екенін дәлелдейді, егер ол "бір және жалғыз x сондай бар" теоремасы болса. (Бертран Расселдің сипаттамалар теориясын қараңыз.) Бұл жағдайда теория бұл объектіні "анықтайды" немесе "құрастырады". Егер мәлімдеме теорема болмаса, теория объектінің бар екенін көрсетуге шамасы келмейді; егер мәлімдеме теорияда дәлелденген жалған болса, ол объектінің болуы мүмкін емес екенін дәлелдейді; шартты түрде, объект құрастырыла алмайды. ZFC және NFU жиындар теориясының тілін бөліседі, сондықтан екі теорияда да "x сондай" деген бірдей формалды анықтамалар қарастырылуы мүмкін. Жинақтар теориясы тіліндегі анықтаманың ерекше түрі – жинақ құраушы белгісі: "барлық x үшін, болатын A жинағы" (A еркін болмайды). Бұл белгі кейбір конвенциялық кеңейтулерді қабылдайды: -ға синоним; -деп анықталады, мұнда бұрыннан анықталған өрнек. Жинақ құраушы белгісінде анықталатын өрнектер ZFC және NFU-да да мағыналы: екі теория да берілген анықтаманың сәтті екенін дәлелдей алады, немесе екеуі де сәтті болмайды (классикалық логикамен кез келген жинақтар теориясындағы өрнек ештеңеге сілтеме жасамайды; NBG сияқты сыныптар теорияларында бұл белгі сыныпқа сілтеме жасайды, бірақ ол басқаша анықталады), немесе біреуі сәтті, ал екіншісі емес. Сонымен қатар, ZFC және NFU-да бірдей жолмен анықталған объекті екі теорияда әртүрлі қасиеттерге ие болуы мүмкін (немесе олардың қасиеттері арасында дәлелденген айырмашылық болмаған жағдайда дәлелденетін нәрселерде айырмашылық болуы мүмкін). Сонымен қатар, жинақтар теориясы математиканың басқа салаларынан (мақсат бойынша, математиканың барлық салаларынан) ұғымдарды импорттайды. Кейбір жағдайларда, ZFC және NFU-ға ұғымдарды импорттаудың әртүрлі жолдары бар. Мысалы, ZFC-дегі бірінші шексіз ординалдың әдеттегі анықтамасы NFU-ға жарамсыз, өйткені объект (таза жинақтар теориялық тілінде барлық шекті фон Нейман ординалдарының жиынтығы ретінде анықталған) NFU-да бар екені көрсетілмейді. NFU-дағы әдеттегі анықтама (таза жинақтар теориялық тілінде) барлық шексіз жақсы реттелгендердің жиынтығы, олардың барлық дұрыс бастапқы сегменттері шекті, бұл ZFC-де бар екені көрсетілмейтін объект. Мұндай импортталған объектілер үшін әртүрлі анықтамалар болуы мүмкін, біреуі ZFC және оған байланысты теориялар үшін, ал екіншісі NFU және оған байланысты теориялар үшін қолданылады. Импортталған математикалық ұғымдардың мұндай "іске асырылуына" көз жеткізу үшін екі параллель түсіндірудің күтілетін қасиеттері бар екенін көрсету қажет: мысалы, ZFC және NFU-дағы табиғи сандардың іске асырылуы әртүрлі, бірақ екеуі де бірдей математикалық құрылымның іске асырылуы, өйткені екеуі де Пеано арифметикасының барлық примитивтері үшін анықтамаларды қамтиды және Пеано аксиомаларын қанағаттандырады. Содан кейін екі теорияда тек жинақтар теориясы тілі қолданылған кезде не болатынын салыстыруға болады, егер ZFC-ге сәйкес келетін анықтамалар ZFC контекстінде қолданылатыны түсінілсе және NFU-ға сәйкес келетін анықтамалар NFU контекстінде қолданылатыны түсінілсе. Теорияда бар екені дәлелденген нәрсе, осы теорияның кез келген кеңейтуінде дәлелденеді; сонымен қатар, берілген теорияда объектінің бар екендігін дәлелдеу талдауы оның сол теорияның әлсіз нұсқаларында бар екенін көрсетуі мүмкін (мысалы, осы мақалада жасалған көптеген жағдайларда ZFC орнына Zermelo жинақтар теориясын қарастыруға болады).

The following sections carry out certain constructions in the two theories ZFC and NFU and compare the resulting implementations of certain mathematical structures (such as the natural numbers). Mathematical theories prove theorems (and nothing else). So saying that a theory allows the construction of a certain object means that it is a theorem of that theory that that object exists. This is a statement about a definition of the form "the x such that exists", where is a formula of our language: the theory proves the existence of "the x such that " just in case it is a theorem that "there is one and only one x such that ". (See Bertrand Russell's theory of descriptions.) Loosely, the theory "defines" or "constructs" this object in this case. If the statement is not a theorem, the theory cannot show that the object exists; if the statement is provably false in the theory, it proves that the object cannot exist; loosely, the object cannot be constructed. ZFC and NFU share the language of set theory, so the same formal definitions "the x such that " can be contemplated in the two theories. A specific form of definition in the language of set theory is set builder notation: means "the set A such that for all x, " (A cannot be free in ). This notation admits certain conventional extensions: is synonymous with ; is defined as , where is an expression already defined. Expressions definable in set builder notation make sense in both ZFC and NFU: it may be that both theories prove that a given definition succeeds, or that neither do (the expression fails to refer to anything in any set theory with classical logic; in class theories like NBG this notation does refer to a class, but it is defined differently), or that one does and the other doesn't. Further, an object defined in the same way in ZFC and NFU may turn out to have different properties in the two theories (or there may be a difference in what can be proved where there is no provable difference between their properties). Further, set theory imports concepts from other branches of mathematics (in intention, all branches of mathematics). In some cases, there are different ways to import the concepts into ZFC and NFU. For example, the usual definition of the first infinite ordinal in ZFC is not suitable for NFU because the object (defined in purely set theoretical language as the set of all finite von Neumann ordinals) cannot be shown to exist in NFU. The usual definition of in NFU is (in purely set theoretical language) the set of all infinite well orderings all of whose proper initial segments are finite, an object which can be shown not to exist in ZFC. In the case of such imported objects, there may be different definitions, one for use in ZFC and related theories, and one for use in NFU and related theories. For such "implementations" of imported mathematical concepts to make sense, it is necessary to be able to show that the two parallel interpretations have the expected properties: for example, the implementations of the natural numbers in ZFC and NFU are different, but both are implementations of the same mathematical structure, because both include definitions for all the primitives of Peano arithmetic and satisfy (the translations of) the Peano axioms. It is then possible to compare what happens in the two theories as when only set theoretical language is in use, as long as the definitions appropriate to ZFC are understood to be used in the ZFC context and the definitions appropriate to NFU are understood to be used in the NFU context. Whatever is proven to exist in a theory clearly provably exists in any extension of that theory; moreover, analysis of the proof that an object exists in a given theory may show that it exists in weaker versions of that theory (one may consider Zermelo set theory instead of ZFC for much of what is done in this article, for example).

Бұйрықты жұп

Алдымен, реттелген жұпты қарастырыңыз. Бұл бірінші болып келуінің себебі техникалық: реттелген жұптар қатынастар мен функцияларды іске асыру үшін қажет, ал олар өз кезегінде басқа да ұғымдарды іске асыру үшін қажет, олар көбінесе алдыңғы деп есептеледі. Реттелген жұптың алғашқы анықтамасы 1914 жылы Норберт Винердің Principia Mathematica-ның типтік теориясы аясында ұсынған анықтамасы болды. Винер бұл, сол еңбектің жүйесінен n > 1 үшін n-арлық қатынастардың типтерін жоюға мүмкіндік беретінін байқады. Қазіргі кезде Куратовскийдің анықтамасын қолдану көбірек таралған. Бұл анықтамалардың екеуі де ZFC немесе NFU жүйелерінде қолданылады. NFU жүйесінде бұл екі анықтаманың техникалық кемшілігі бар: Куратовскийдің реттелген жұбы оның проекцияларынан екі тип жоғары, ал Винердің реттелген жұбы үш тип жоғары. NFU жүйесінде типтік деңгейдегі реттелген жұптың (өзінің проекцияларымен бірдей типтегі жұп) бар екендігін постулаттау қалыпты жағдай. Типтік деңгейдегі жұптарды пайдалану ресми түрде негіздемеленгенге дейін екі жүйеде де Куратовский жұбын пайдалану ыңғайлы. Бұл анықтамалардың ішкі егжей-тегжейлері олардың нақты математикалық функциясына ешқандай қатысы жоқ. Реттелген жұп туралы кез келген ұғым үшін маңыздысы – ол анықтамалық шартты қанағаттандыруы және реттелген жұптарды жиынға біріктірудің оңай болуы.

Қатынасты анықтамалар

Let және екілік қатынастар болсын. Онда келесі ұғымдар пайдалы:

- қатынасының керісі - қатынас
- қатынасының домені - жиын
- қатынасының диапазоны - қатынасының керісінің домені, яғни жиын
- қатынасының өрісі - қатынасының домені мен диапазонының біріндісі
- қатынасының өрісінің мүшесінің кері бейнесі - жиын (төмендегі «жақсы негізделген» анықтамасында қолданылады.)
- қатынасының өрісінің мүшесінің төменге қарай жабылуы - кіші жиын, құрамында және оның әрбір элементіне қатысты оның барлық кері бейнесін қамтитын ең кіші жиын.
- қатынастардың салыстырмалы көбейтіндісі - қатынас

Біздің екілік қатынастың ресми анықтамамызда қатынастың диапазоны мен кодомены ажыратылмайтынын ескеріңіз. Бұл кодоменді қатынас ретінде көрсету арқылы жасалуы мүмкін, бірақ біздің дамуымызға бұл қажет емес. ZFC-де домені жиынның ішкі жиыны және диапазоны жиынның ішкі жиыны болатын кез келген қатынас жиын болады, өйткені Декарт көбейтіндісі жиын (оның ішкі класы) болып табылады, ал Ажырату принципі оның бар екенін қамтамасыз етеді. NFU-да, кейбір жаһандық ауқымы бар қатынастар (мысалы, теңдік және ішкі жиын) жиын ретінде жүзеге асырылуы мүмкін. NFU-да екенін есте сақтаңыз, және -дан үш тип төмен (тип деңгейіндегі реттелген жұп қолданылса, бір тип төмен).

Функциялар

Функционалдық қатынас – бұл бінарлық предикат, мұндай қатынас (предикат) бұрынғы бөлімде сипатталғандай қатынас (жиын) ретінде іске асырылады. Демек, предикат жиын ретінде іске асырылады, егер және тек қана егер А қатынасы функция болса. Мәндік функцияны бірегей нысан ретінде анықтауға болады, яғни: және арасындағы қатынас бар, немесе бірегей нысан ретінде байланысты болады. Екі теорияда да жиындық емес функционалдық предикаттардың болуы жиындықтарға да, маңызды функционалдық предикаттарға да белгіленуге мүмкіндік береді. Егер соңғы мағынадағы функциялардың үстінен сандық есептеу жасалмаса, барлық мұндай қолданылулар қағидатта жойылады. Формалды жиынтық теориясынан тыс, біз әдетте функцияны оның домені мен кодомені арқылы анықтаймыз, мысалы, "функция болсын" деген сөз тіркесінде. Функцияның домені – оның қатынас ретіндегі домені, бірақ біз әлі функцияның кодоменін анықтаған жоқпыз. Бұл үшін функцияның домені тең болса және оның диапазоны кіріктірілген болса, функцияны функция деп атаймыз. Осылайша, әр функция өз доменінен өз диапазонына дейінгі функция болып табылады, ал функция -дан дейінгі функция, кез келген жиыны үшін -дан дейінгі функция болып табылады. Шын мәнінде, функцияның кодоменасы ретінде қандай жиынды қарастырсақ та, функция жиын ретінде өзгермейді, өйткені ол анықтамасы бойынша реттелген жұптар жиыны. Яғни, функция біздің анықтамамыз бойынша өзінің кодоменін анықтамайды. Егер бұл сізге ұнамаса, функцияны реттелген жұп ретінде анықтауға болады, мұнда функционалдық қатынас және оның кодоменасы болады, бірақ біз осы мақалада бұл тәсілді қолданбаймыз (әлдеқайда әдемірек, егер біреу бірінші реттелген үштіктерді анықтаса, мысалы, онда функцияны реттелген үштік ретінде анықтауға болады, сонымен қатар доменді қосады). Анықтаңыз, қатынастар үшін де осындай мәселе бар: формалды жиынтық теориясынан тыс біз әдетте "Біржақты қатынас болсын" дейміз, бірақ формалды түрде ол реттелген жұптар жиыны болып табылады. NFU-да , және үш түрге жоғары (бір түрге жоғары, егер типтік деңгейдегі реттелген жұп қолданылса). Бұл мәселені шешу үшін, кез келген жиын үшін деп анықтауға болады, бірақ бұл ыңғайлырақ жазылады. Содан кейін, егер жиын болса және кез келген функционалдық қатынас болса, ауыстыру аксиомасы ZFC-де жиын екендігін қамтамасыз етеді. NFU-да , және қазір бірдей типте, және екі түрге жоғары (бірдей тип, егер типтік деңгейдегі реттелген жұп қолданылса). Функциясы ZFC-де жиындық емес, өйткені ол "өте үлкен". Дегенмен, NFU-да жиындық болып табылады. Функция (предикат) ешқандай теорияда функция да, жиын да емес; ZFC-де бұл дұрыс, өйткені мұндай жиын тым үлкен болады, ал NFU-де бұл дұрыс, өйткені оның анықтамасы қабаттаспайды. Сонымен қатар, NFU-да ол жоқ екені дәлелденуі мүмкін (Кантор парадоксының Жаңа Негіздердегі шешімін қараңыз).

A functional relation is a binary predicate such that Such a relation (predicate) is implemented as a relation (set) exactly as described in the previous section. So the predicate is implemented by the set A relation is a function if and only if It is therefore possible to define the value function as the unique object such that – i. e.: is related to such that the relation holds between and – or as the unique object such that The presence in both theories of functional predicates which are not sets makes it useful to allow the notation both for sets and for important functional predicates. As long as one does not quantify over functions in the latter sense, all such uses are in principle eliminable. Outside of formal set theory, we usually specify a function in terms of its domain and codomain, as in the phrase "Let be a function". The domain of a function is just its domain as a relation, but we have not yet defined the codomain of a function. To do this we introduce the terminology that a function is from to if its domain equals and its range is contained in In this way, every function is a function from its domain to its range, and a function from to is also a function from to for any set containing
Indeed, no matter which set we consider to be the codomain of a function, the function does not change as a set since by definition it is just a set of ordered pairs. That is, a function does not determine its codomain by our definition. If one finds this unappealing then one can instead define a function as the ordered pair , where is a functional relation and is its codomain, but we do not take this approach in this article (more elegantly, if one first defines ordered triples for example as then one could define a function as the ordered triple so as to also include the domain). Note that the same issue exists for relations: outside of formal set theory we usually say "Let be a binary relation", but formally is a set of ordered pairs such that and
In NFU, has the same type as , and is three types higher than (one type higher, if a type level ordered pair is used). To solve this problem, one could define as for any set , but this is more conveniently written as Then, if is a set and is any functional relation, the Axiom of Replacement assures that is a set in ZFC. In NFU, and now have the same type, and is two types higher than (the same type, if a type level ordered pair is used). The function such that is not a set in ZFC because it is "too large". is however a set in NFU. The function (predicate) such that is neither a function nor a set in either theory; in ZFC, this is true because such a set would be too large, and, in NFU, this is true because its definition would not be stratified. Moreover, can be proved not to exist in NFU (see the resolution of Cantor's paradox in New Foundations.)

Функцияларға операциялар

Кез келген және функциялар болсын. және функцияларының композициясы , , салыстырмалы көбейтінді ретінде анықталады, бірақ бұл одан функция шығарса ғана, яғни , егер -ның мәндер жиыны , -ның анықталу облысының ішкі жиыны болса. -ның кері функциясы , , егер бұл функция болса, -ның кері байланысы ретінде анықталады. Кез келген жиын үшін, сәйкестік функциясы жиын болып табылады, және бұл ZFC және NFU-да әртүрлі себептермен жиын болып саналады.

Түпкіленген жиынтықтар мен натуральды сандар

Натурал сандар шекті ординалдар немесе шекті кардиналдар ретінде қарастырылуы мүмкін. Мұнда оларды шекті кардинал сандар деп қарастырайық. Бұл ZFC және NFU-дағы іске асырулар арасындағы маңызды айырмашылықтың бірінші көрінісі. ZFC шексіздік аксиомасы бізге A жиынтығы бар екенін айтады, ол кіші элементті қамтиды және әрбір үшін қамтиды. Бұл A жиынтығы бірегей анықталмайды (оны осы жабылу қасиетін сақтай отырып, кеңейтуге болады): табиғи сандардың N жиынтығы бос жиынтықты қамтитын және "кейінгі" операция бойынша жабылатын барлық жиынтықтардың қиылысы болып табылады. ZFC-де жиынтық шекті болып табылады, егер және тек қана егер оған сәйкес келетін n болса: одан әрі, шекті A үшін осы n деп анықтаңыз. (Екі түрлі табиғи санның бірдей өлшемі жоқ екені дәлелденуі мүмкін). Арифметиканың әдеттегі операциялары рекурсивті түрде және табиғи сандар жиынының өзі анықталатын стильге өте ұқсас түрде анықталуы мүмкін. Мысалы, + (натурал сандардағы қосу операциясы) әр табиғи сан үшін кіші элементті қамтитын және егер ол қамтитын болса, қамтитын ең кіші жиын ретінде анықталуы мүмкін. NFU-де бұл тәсілді қолдануға болатыны анық емес, өйткені кейінгі операция қабатталмаған, сондықтан жоғарыда анықталған N жиынтығының NFU-да бар екенін көрсету мүмкін емес (NFU-да шекті фон Нейман ординалдар жиынтығының болуы мүмкін, бірақ бұл теорияны күшейтеді, өйткені бұл жиынтықтың болуы Санау аксиомасын білдіреді (толығырақ төмендегі немесе Жаңа негіздер мақаласын қараңыз)). Натурал сандардың стандартты анықтамасы, шын мәнінде ең көне жиынтық теориялық анықтамасы, эквиваленттік сыныптар ретінде шекті жиынтықтар бойынша эквинумерность. NFU-ға дайын анықтама сәйкес келеді (бұл әдеттегі анықтама емес, бірақ нәтижелер бірдей): Fin-ді, шекті жиынтықтарды, кез келген жиын үшін , N-ді жиынтық ретінде анықтаңыз. NFU-ның шексіздік аксиомасы: бұл әр табиғи санның бос емес кейінгісі бар екенін анықтауға жеткілікті (әрбір үшін кейінгісі болып табылады), бұл арифметиканың Пеано аксиомаларының орындалуын көрсетудің қиын бөлігі. Арифметика операцияларын жоғарыда берілген стильмен анықтауға болады (кейінгінің жаңа анықтамасын пайдаланып). Оларды табиғи жиынтық теориялық жолмен да анықтауға болады: егер A және B - жиынтықтар болса, онда |A|+|B| деп анықтаңыз. Формальдырақ айтқанда, m+n үшін m және n N-де деп анықтаңыз. (Бірақ бұл анықтама стилі ZFC сандары үшін де қолданылуы мүмкін, бірақ бұдан да күрделі: NFU анықтамасының түрі жиынтық манипуляцияларын жеңілдетеді, ал ZFC анықтамасының түрі рекурсивті анықтамаларды жеңілдетеді, бірақ теорияның әрқайсысы екі анықтама стилін де қолдайды). Бұл екі іске асыру өте әртүрлі. ZFC-де әр шекті кардиналдықтың өкілін таңдаңыз (эквиваленттік сыныптардың өзі жиынтықтар болу үшін тым үлкен); NFU-де эквиваленттік сыныптардың өзі жиынтықтар болып табылады, сондықтан кардиналдықтарды білдіретін объектілерді таңдау оңай. Алайда, екі теорияның арифметикасы бірдей: осы екі сырттай әртүрлі тәсілдермен бірдей абстракция жүзеге асырылады.

Natural numbers can be considered either as finite ordinals or finite cardinals. Here consider them as finite cardinal numbers. This is the first place where a major difference between the implementations in ZFC and NFU becomes evident. The Axiom of Infinity of ZFC tells us that there is a set A which contains and contains for each This set A is not uniquely determined (it can be made larger while preserving this closure property): the set N of natural numbers is

which is the intersection of all sets which contain the empty set and are closed under the "successor" operation
In ZFC, a set is finite if and only if there is such that : further, define as this n for finite A. (It can be proved that no two distinct natural numbers are the same size). The usual operations of arithmetic can be defined recursively and in a style very similar to that in which the set of natural numbers itself is defined. For example, + (the addition operation on natural numbers) can be defined as the smallest set which contains for each natural number and contains whenever it contains
In NFU, it is not obvious that this approach can be used, since the successor operation is unstratified and so the set N as defined above cannot be shown to exist in NFU (it is consistent for the set of finite von Neumann ordinals to exist in NFU, but this strengthens the theory, as the existence of this set implies the Axiom of Counting (for which see below or the New Foundations article)). The standard definition of the natural numbers, which is actually the oldest set theoretic definition of natural numbers, is as equivalence classes of finite sets under equinumerousness. Essentially the same definition is appropriate to NFU (this is not the usual definition, but the results are the same): define Fin, the set of finite sets, as

For any set , define as Define N as the set
The Axiom of Infinity of NFU can be expressed as : this is enough to establish that each natural number has a nonempty successor (the successor of being for any ) which is the hard part of showing that the Peano axioms of arithmetic are satisfied. The operations of arithmetic can be defined in a style similar to the style given above (using the definition of successor just given). They can also be defined in a natural set theoretical way: if A and B are disjoint finite sets, define |A|+|B| as More formally, define m+n for m and n in N as

(But note that this style of definition is feasible for the ZFC numerals as well, but more circuitous: the form of the NFU definition facilitates set manipulations while the form of the ZFC definition facilitates recursive definitions, but either theory supports either style of definition). The two implementations are quite different. In ZFC, choose a representative of each finite cardinality (the equivalence classes themselves are too large to be sets); in NFU the equivalence classes themselves are sets, and are thus an obvious choice for objects to stand in for the cardinalities. However, the arithmetic of the two theories is identical: the same abstraction is implemented by these two superficially different approaches.

Теңдестік қатынастар мен бөліктер

Жинақтар теориясында абстракцияларды іске асырудың жалпы әдісі эквиваленттік сыныптарды пайдалану болып табылады. Егер R теңдестік қатынасы оның A өрісінің элементтерінің белгілі бір жағынан ұқсас екенін көрSetсе, онда кез келген x жиыны үшін, сол жиынды x жиынынан тек сол ерекшеліктерді сақтайтын абстракция ретінде қарастырыңыз (A элементтерін R-ге дейін анықтаңыз). Кез келген A жиыны үшін, P жиыны A-ның бөлінісі болып табылады, егер P-нің барлық элементтері бос емес болса, P-нің кез келген екі түрлі элементі қиылыспаса және әрбір R теңдестік қатынасы үшін A өрісімен P жиыны A-ның бөлінісі болып табылады. Сонымен қатар, A-ның әрбір P бөлінісі эквиваленттік қатынасты анықтайды. Бұл әдістің ZFC және NFU-да шектеулері бар. ZFC-де, ғалам жиынтығы жиын болмағандықтан, тек кіші домендердің элементтерінен ғана ерекшеліктерді абстракттау мүмкін көрінеді. Бұл Дана Скотттың хитролығын қолдану арқылы айналып өтуге болады: егер R ғаламдағы эквиваленттік қатынас болса, онда y-нің барлық жиыны ретінде анықтаңыз, мұнда y-нің рангісі кез келгеннің рангісінен кем немесе тең болады. Бұл рангістер жиынтар болғандықтан жұмыс істейді. Әрине, әлі де 's-тың дұрыс класы болуы мүмкін. NFU-да негізгі қиындық x-тен бір тип жоғары, сондықтан мысалы, "карта" жалпы (жиын) функциясы емес (дегенмен ол жиын болып табылады). Мұны таңдау аксиомасын қолдану арқылы, x-пен бірдей типте болатын, әрбір эквиваленттік сыныптан өкілді таңдау арқылы немесе егер таңдауды шақырмай-ақ оны жасаудың жолы болса, канондық өкілді таңдау арқылы айналып өтуге болады (өкілдерді қолдану ZFC-де де жиі кездеседі). NFU-да жалпы жиынтардың абстрактілік қасиеттерін абстракттау үшін эквиваленттік сынып құрылыстарын қолдану жиірек кездеседі, мысалы, төмендегі кардиналдық және реттік санның анықтамаларында.

Реттік сандар

Екі жақсы реттелген және ұқсас, және егер барлық x және y үшін өріс f-тен өріс f-ке биекция болса ғана жазылады. Ұқсастық, жоғарыда эквиваленттік қатынас ретінде көрсетілгендей, эквиваленттік қатынас екені көрсетілді. Жаңа негіздерде (NFU), W жақсы реттелгеннің рет түрі – W-ге ұқсас барлық жақсы реттелгендердің жиыны. Реттік сандар жиыны – жақсы реттелгендердің барлық рет түрлерінің жиыны. Бұл ZFC-де жұмыс істемейді, себебі эквиваленттік кластар тым үлкен. Ординалдарды дәл осылай анықтау үшін Скотттың амалдық әдісін формальды түрде қолдануға болар еді, бірақ фон Нейманның құрылғысы көбірек қолданылады. Кез келген ішінара тәртіп үшін, сәйкес келетін қатаң ішінара тәртіп < қатаң сызықтық тәртіптер және қатаң жақсы реттелгендер сияқты анықталады. A жиыны транзитивті деп аталады, егер: A элементінің әрбір элементі де A элементі болып табылады. (Фон Нейман) ординалы – мүшелігі қатаң жақсы реттелген транзитивті жиын. ZFC-де W жақсы реттелгеннің рет түрі – W өрісімен тең және оның мүшелігі W-мен байланысты қатаң жақсы ретке изоморфты болатын бірегей фон Нейман ординалы ретінде анықталады. (эквинумерлік шарты 0 және 1 өлшемді өрістермен жақсы ретке келтіруді ажыратады, олардың қатаң жақсы ретке келтірулері ажыратылмайды). ZFC-де барлық ординалдар жиыны болуы мүмкін емес. Шын мәнінде, фон Нейман ординалдары кез келген жиынтық теориясында тұтас сәйкес келмейтін жиынтық болып табылады: фон Нейман ординалдарының әрбір элементі фон Нейман ординалы және фон Нейман ординалдары мүшелік бойынша қатаң түрде жақсы реттелгенін қарапайым жиынтық теориялық болжамдармен көрсетуге болады. Одан кейін фон Нейман ординалдарының класы фон Нейман ординалдары жиыны болса, фон Нейман ординалы болар еді: бірақ ол өз-өзіне элемент болар еді, бұл мүшелік фон Нейман ординалдарының қатаң реттелгендігіне қайшы келеді. Барлық жақсы реттелгендер үшін реттік типтердің болуы Зермелоның жиынтық теориясының теоремасы емес: ол алмастыру аксиомасын қажет етеді. Тіпті Скотттың амалдық әдісін де Зермелоның жиынтық теориясында қосымша болжамсыз қолдануға болмайды (мысалы, әрбір жиынтық жиынтық болып табылатын санатқа жатады деген болжам, бұл Зермелоның жиынтық теориясын нығайта алмайды, бірақ бұл теорияның теоремасы емес). NFU-да барлық ординалдар жиыны қабатталған түсінік бойынша жиынтық болып табылады. Бурали Форти парадоксы күтпеген түрде еңсеріледі. Егер және тек егер кейбір (және кез келген) кейбір (және кез келген) бастапқы сегментке ұқсас болса, онда ординалдарда табиғи тәртіп бар. Бұдан әрі, бұл табиғи тәртіп ординалдардың жақсы реттелгендігі және сондықтан рет түрі болуы керек. Табиғи тәртіптен гөрі ординалдардың рет түрі аз болады, бұл ординалдардағы бүкіл табиғи тәртіптің (және оның кез келген бастапқы сегменттерінің емес) рет түрі екендігіне қайшы келеді. Бірақ бұл адамның интуициясына негізделеді (ZFC-де дұрыс), бұл ординалдардағы табиғи реттің реттік түрі кез келген ординал үшін кем. Бұл мәлімдеме қабатталмаған, өйткені екіншісінің түрі біріншісінің түрінен төрт есе жоғары (егер типтік деңгейлі жұп қолданылса, екі есе жоғары). NFU-да дұрыс және дәлелденетін мәлімдеме – кез келген ординал үшін кез келген ординал үшін кем емес табиғи реттік реттіктің реттік түрі (бұл W-нің таңдалуына байланысты емес екенін көрсету оңай; T түрін бірге көтереді). Сонымен, ординалдардың рет түрі табиғи реттен кем, және барлық пайдаланулар, егер типтік деңгейлі жұп қолданылса, осымен ауыстырылуы мүмкін. Бұл T операциясының маңызды екенін көрсетеді, оның бірқатар салдары бар. Одан бірден мынаны байқауға болады: синглтон картасы жиынтық емес, әйтпесе бұл картаның шектеулері W-нің ұқсастығын және кез келген жақсы реттелген W. T-нің (сыртқы жағынан) биективті және тәртіпті сақтауын орнатады. Осыған байланысты, бұл факт ординалдардағы "түсіп келе жатқан тізбек" екенін анықтайды, ол жиынтық бола алмайды. T арқылы бекітілген ординалдар Кантория ординалдары деп аталады, ал тек қана кантория ординалдарына үстемдік ететін (олар өздері кантория болып көрінеді) ординалдар қатты канториялық деп аталады. Канториялық ординалдар немесе күшті канториялық ординалдар жиынтығы бола алмайды.

Two well orderings and are similar and write just in case there is a bijection f from the field of to the field of such that for all x and y.

Similarity is shown to be an equivalence relation in much the same way that equinumerousness was shown to be an equivalence relation above. In New Foundations (NFU), the order type of a well ordering W is the set of all well orderings which are similar to W. The set of ordinal numbers is the set of all order types of well orderings. This does not work in ZFC, because the equivalence classes are too large. It would be formally possible to use Scott's trick to define the ordinals in essentially the same way, but a device of von Neumann is more commonly used. For any partial order , the corresponding strict partial order < is defined as Strict linear orders and strict well orderings are defined similarly. A set A is said to be transitive if : each element of an element of A is also an element of A. A (von Neumann) ordinal is a transitive set on which membership is a strict well ordering. In ZFC, the order type of a well ordering W is then defined as the unique von Neumann ordinal which is equinumerous with the field of W and membership on which is isomorphic to the strict well ordering associated with W. (the equinumerousness condition distinguishes between well orderings with fields of size 0 and 1, whose associated strict well orderings are indistinguishable). In ZFC there cannot be a set of all ordinals. In fact, the von Neumann ordinals are an inconsistent totality in any set theory: it can be shown with modest set theoretical assumptions that every element of a von Neumann ordinal is a von Neumann ordinal and the von Neumann ordinals are strictly well ordered by membership. It follows that the class of von Neumann ordinals would be a von Neumann ordinal if it were a set: but it would then be an element of itself, which contradicts the fact that membership is a strict well ordering of the von Neumann ordinals. The existence of order types for all well orderings is not a theorem of Zermelo set theory: it requires the Axiom of replacement. Even Scott's trick cannot be used in Zermelo set theory without an additional assumption (such as the assumption that every set belongs to a rank which is a set, which does not essentially
strengthen Zermelo set theory but is not a theorem of that theory). In NFU, the collection of all ordinals is a set by stratified comprehension. The Burali Forti paradox is evaded in an unexpected way. There is a natural order on the ordinals defined by if and only if some (and so any) is similar to an initial segment of some (and so any) Further, it can be shown that this natural order is a well ordering of the ordinals and so must have an order type It would seem that the order type of the ordinals less than
with the natural order would be , contradicting the fact that is the order type of the entire natural order on the ordinals (and so not of any of its proper initial segments). But this relies on one's intuition (correct in ZFC) that the order type of the natural order on the ordinals less than is for any ordinal This assertion is unstratified, because the type of the second is four higher than the type of the first (two higher if a type level pair is used). The assertion which is true and provable in NFU is that the order type of the natural order on the ordinals less than is for any ordinal , where is the order type of for any (it is easy to show that this does not depend on the choice of W; note that T raises type by one). Thus the order type of the ordinals less than with the natural order is , and All uses of here can be replaced with if a type level pair is used. This shows that the T operation is nontrivial, which has a number of consequences. It follows immediately that the singleton map is not a set, as otherwise restrictions of this map would establish the similarity of W and for any well ordering W. T is (externally) bijective and order preserving. Because of this, the fact establishes that is a "descending sequence" in the ordinals which cannot be a set. Ordinals fixed by T are called Cantorian ordinals, and ordinals which dominate only cantorian ordinals (which are easily shown to be cantorian themselves) are said to be strongly cantorian. There can be no set of cantorian ordinals or set of strongly cantorian ordinals.

Дигресия: НФУ-дағы фон Нойман ординалдары

НФУ-да фон Нейман ординалдары туралы ойлау мүмкін. Еске түсірейік, фон Нейман ординалы А – транзитивті жиын, онда А-ға қатысты мүшелік шектеуі қатаң жақсы реттелген. Бұл НФУ контекстінде өте күшті шарт, себебі мүшелік қатынасы түрдің айырмашылығын қамтиды. Фон Нейман ординалы А – НФУ мағынасында ординал емес, бірақ ол (мүшелік бойынша) А-ның рет типі деп аталатын ординалға жатады. Фон Нейман ординалы А-ның рет типі канториялық екенін көрсету оңай: кез келген рет типі W жақсы реттелген үшін, W-ның бастапқы сегменттерінің индукциялық жақсы реттелгені рет типіне ие (бұл бір түрге жоғары, демек T қолданылады): бірақ фон Нейман ординалы А-ның мүшелік бойынша жақсы реттелгенінің және оның бастапқы сегменттерінің жақсы реттелгенінің рет типі бірдей, себебі екі жақсы реттелген шын мәнінде бірдей қатынас, сондықтан А-ның рет типі T-де бекітіледі. Сонымен қатар, дәл сол аргумент кез келген кіші ординалға да (ол А-ның бастапқы сегментінің, сонымен қатар фон Нейман ординалының рет типі болады) қолданылады, сондықтан кез келген фон Нейман ординалының рет типі күшті канториялық. Қосымша шарттарсыз НФУ-да бар екені дәлелденетін жалғыз фон Нейман ординалдары – нақты шектілер. Дегенмен, пермутация әдісін қолдану кез келген НФУ моделін әрбір күшті канториялық ординал фон Нейман ординалының рет типі болатын модельге түрлендіре алады. Бұл "НФУ-ның күшті канториялық ординалы" ұғымы "ZFC-нің ординалына" қарағанда "НФУ-ның ординалына" қарағанда жақсы аналог болуы мүмкін дегенді көрсетеді.

Қатты канториялық жиынтықтардың қасиеттері

Кез келген айнымалының, қатаң канториялық жиынға А шектелген түрін, қалауынша көтеруге немесе төмендетуге болады, оны сілтемелерді (көтерілген түрі; бұл a жиын екені белгілі; әйтпесе, осы эффект алу үшін "элементі" деп айту керек) немесе (төмендетілген түрі) арқылы алмастыру арқылы, барлық үшін , сондықтан мұндай айнымалыларға қабаттасу мақсатында типтерді тағайындаудың қажеті жоқ. Қатаң канториялық жиынның кез келген ішкі жиыны қатаң канториялық болып табылады. Қатаң канториялық жиынның қуат жиыны қатаң канториялық. Екі қатаң канториялық жиынның декарт көбейтіндісі қатаң канториялық. Санау аксиомасын енгізу, N немесе P(N), R (нақты сандар жиыны) немесе тіпті жинақтар теориясынан тыс классикалық математикада қарастырылған кез келген жиынға шектелген айнымалыларға типтерді тағайындаудың қажеті жоқ дегенді білдіреді. ZFC-де осындай құбылыстар жоқ. NFU-ға таныс математикалық объектілердің "стандартты" мінез-құлқына қолдануға болатын күшті аксиомалар туралы толық ақпаратты Жаңа Негіздер мақаласынан табуға болады.

Таныс сандық жүйелер: оң рационалдар, шамалар және нақты сандар

Оң бөлшектерді оң сандар жұптары түрінде бейнелеу (0 қоспағанда): -мен бейнеленеді. -ны жасау үшін, мына қатынасты енгізелік: . Бұл қатынастың эквиваленттік қатынас екені дәлелденеді: оң рационалды сандарды осы қатынас бойынша оң сандар жұптарының эквиваленттік кластары ретінде анықтаңыз. Оң рационалды сандардағы арифметикалық амалдар мен оң рационалдардағы реттік қатынастар бастауыш мектептегідей анықталады және күтілетін қасиеттеріне ие екені дәлелденді (кейбір күш-жігер жұмсалып). Шамаларды (оң нақты сандарды) ең үлкен элементі жоқ, оң рационалдардың бос емес бастапқы кесінділері ретінде бейнелеу. Шамалардың оң рационалды элементтерін мүшелеп қосу арқылы шамалардағы қосу және көбейту амалдары іске асырылады. Реттілік жиынтық кірігу арқылы іске асырылады. Нақты сандарды шамалардың айырымы ретінде бейнелеу: формальды түрде айтқанда, нақты сан – шамалар жұбының эквиваленттік класы, ол мына эквиваленттік қатынас бойынша анықталады. Нақты сандарға қосу және көбейту амалдары айырымдарды қосу және көбейтудің алгебралық ережелеріне сәйкес күтілетіндей анықталады. Ретті қарастыру да элементар алгебрадағыдай. Бұл құрылымдардың ең қысқа сипаттамасы. Құрылымдар ZFC және NFU-да бірдей, тек табиғи сандардың құрылысында ғана айырмашылық бар: барлық айнымалылар қатаң канторлық жиынтармен шектелгендіктен, стратификация шектеулері туралы алаңдаудың қажеті жоқ. Санау аксиомасы болмаса, осы құрылымдарды толық талқылау үшін Т-ның кейбір қолданыстарын енгізу қажет болуы мүмкін.