Шексіз өлшемді векторлық кеңістіктерде үздісіз емес сызықтық бейнелеулердің болуы

Кіріспе

Математикада сызықтық түрлендірулер сызықтық кеңістіктердің алгебралық құрылымын сақтайтын "қарапайым" функциялардың маңызды класын құрайды және көбінесе жалпы функцияларға жуықтау ретінде қолданылады (сызықтық жуықтауды қараңыз). Егер қарастырылып отырған кеңістіктер топологиялық кеңістіктер болса (яғни, топологиялық векторлық кеңістіктер), онда барлық сызықтық түрлендірулер үздіксіз бола ма деген сұрақ туындайды. Шексіз өлшемді топологиялық векторлық кеңістіктерде анықталған түрлендірулер үшін (мысалы, шексіз өлшемді нормаланған кеңістіктерде) жауап көбінесе жоқ: үздіксіз емес сызықтық түрлендірулер бар. Егер анықталу облысы толық болса, мәселе күрделенеді; мұндай түрлендірулердің бар екенін дәлелдеуге болады, бірақ дәлел таңдау аксиомасына сүйенеді және нақты мысал келтірмейді.

Құрылыссыз мысал

Рационалдардағы векторлық кеңістік ретінде нақты сандардың алгебралық негізі Хамель негізі деп аталады (кейбір авторлар бұл терминді кең мағынада кез келген векторлық кеңістіктің алгебралық негізі деп қолданады). Кез келген екі салыстырылмайтын сан, мысалы, 1 және π, сызықтық тәуелсіз екеніне назар аударыңыз. Оларды қамтитын Хамель негізін табуға болады, сондай-шама f функциясын Хамель негізінің қалған бөлігінде сәйкестік ретінде анықтап, оны сызықтық принцип бойынша барлық ℝ-ға кеңейтуге болады. {rn}n рационалдардың кез келген тізбегі болсын, онда limn f(rn) = π, бірақ f(π) ≠ π. Құрылымы бойынша f, ℝ-да сызықтық (бірақ ℚ-да емес), бірақ үздіксіз емес. Сондай-ақ, f өлшенбейтін екеніне назар аударыңыз; аддитивті нақты функция сызықтық болу үшін өлшенуі керек, сондықтан мұндай әрбір функция үшін Vitali жиыны бар. f функциясының құрылысы таңдау аксиомасына сүйенеді. Бұл мысал кез келген шексіз өлшемді нормаланған кеңістікте үздіксіз емес сызықтық функциялардың болуы туралы жалпы теоремаға жалпылауға болады (кодомен тривиалды болмаса).

Жалпы теорема

Тәртіпсіз сызықтық бейнелеулердің жалпырақ жағдайда, тіпті кеңістік толық болған жағдайда да бар екенін дәлелдеуге болады. X және Y кеңістіктері K өрісінде нормаланған кеңістіктер болсын, мұнда немесе . X шексіз өлшемді және Y нөлдік кеңістік емес деп есептейік. Біз X-тен K-ға дейінгі үздіксіз емес сызықтық бейнелеу f-ті табамыз, бұл Y-дегі кез келген нөлден өзгеше вектор үшін формуламен берілген X-тен Y-ға дейінгі үздіксіз емес сызықтық бейнелеу g-нің бар екенін білдіреді. Егер X шексіз өлшемді болса, үздіксіз емес сызықтық функционалдың бар екенін көрсету үшін, шектелмеген f-ті құрастыру қажет. Ол үшін X-тегі сызықтық тәуелсіз векторлардың (en)n тізбесін қарастырайық және оларды нормалайық. Содан кейін, әр n үшін былай анықтаймыз: . Осы сызықтық тәуелсіз векторлардың тізбесін X кеңістігінің базасына толықтырамыз, базаның қалған векторлары үшін T-ні нөлге тең деп анықтаймыз. Осылай анықталған T, X кеңістігіндегі сызықтық бейнелеуге бірегей түрде кеңейтіледі, және ол шектелмеген болғандықтан, үздіксіз емес. Кез келген сызықтық тәуелсіз векторлар жиынын базаға толықтыруға болатындығын пайдаланғанда, біз таңдау аксиомасын жасыра қолдандық, ол алдыңғы бөлімдегі нақты мысал үшін қажет болмады.

Таңдау аксиомасының рөлі

Жоғарыда айтылғандай, таңдау аксиомасы (ТА) үздіксіз сызықтық бейнелеулердің жалпылама болу теоремасында қолданылады. Шындығында, толық домені бар үздіксіз сызықтық бейнелеулердің конструктивті мысалдары жоқ (мысалы, Банах кеңістіктері). Анализде, әдетте жұмыс істейтін математиктер қолданатындай, таңдау аксиомасы әрқашан қолданылады (бұл ZFC жиын теориясының аксиомасы); осылайша, аналитик үшін барлық шексіз өлшемді топологиялық векторлық кеңістіктер үздіксіз сызықтық бейнелеулерге ие. Екінші жағынан, 1970 жылы Роберт М. Соловэй нақты сандардың кез келген жиыны өлшенетін жиын теориясының моделін көрсетті. Бұл үздіксіз сызықтық нақты функциялардың жоқтығын білдіреді. Әрине, ТА бұл модельде орын алмайды. Соловэйдің нәтижесі барлық шексіз өлшемді векторлық кеңістіктер үздіксіз сызықтық бейнелеулерге ие болуын қабылдаудың қажеті жоқ екенін көрсетеді, және конструктивтік көзқарас ұстанатын талдау мектептері бар. Мысалы, Г.Г. Гарнер, әйгілі "арман кеңістіктерін" (нормаланған кеңістікке кез келген сызықтық бейнелеуі үздіксіз болатын топологиялық векторлық кеңістіктер) іздеу кезінде ZF + DC + BP (тәуелді таңдау – таңдау аксиомасының әлсіретілген түрі, ал Бейр қасиеті – күшті ТА-ның жоқтығы) аксиомаларын қабылдауға келді, Гарнир-Райттың жабық график теоремасын дәлелдеу үшін, ол басқа нәрселермен қатар, F кеңістігінен TVS-ке кез келген сызықтық бейнелеуінің үздіксіз екенін көрсетеді. Конструктивизмнің шегіне барып, Сейтин теоремасы бар, онда кез келген функция үздіксіз болады (бұл конструктивизмнің терминологиясында түсініледі, оған сәйкес тек бейнеленетін функциялар ғана функция деп есептеледі). Мұндай ұстанымдар жұмыс істейтін математиктердің шағын бөлігіне ғана тән. Қорытындысы, үздіксіз сызықтық бейнелеулердің болуы ТА-ға байланысты; ТА-сыз жиын теориясымен үйлесімді, толық кеңістіктерде үздіксіз сызықтық бейнелеулердің жоқтығы. Атап айтқанда, туынды сияқты нақты құрылым толық кеңістікте барлық жерде үздіксіз сызықтық бейнелеуді анықтауға сәттілікке жете алмайды.

As noted above, the axiom of choice (AC) is used in the general existence theorem of discontinuous linear maps. In fact, there are no constructive examples of discontinuous linear maps with complete domain (for example, Banach spaces). In analysis as it is usually practiced by working mathematicians, the axiom of choice is always employed (it is an axiom of ZFC set theory); thus, to the analyst, all infinite dimensional topological vector spaces admit discontinuous linear maps. On the other hand, in 1970 Robert M. Solovay exhibited a model of set theory in which every set of reals is measurable. This implies that there are no discontinuous linear real functions. Clearly AC does not hold in the model. Solovay's result shows that it is not necessary to assume that all infinite dimensional vector spaces admit discontinuous linear maps, and there are schools of analysis which adopt a more constructivist viewpoint. For example, H. G. Garnir, in searching for so called "dream spaces" (topological vector spaces on which every linear map into a normed space is continuous), was led to adopt ZF + DC + BP (dependent choice is a weakened form and the Baire property is a negation of strong AC) as his axioms to prove the Garnir–Wright closed graph theorem which states, among other things, that any linear map from an F space to a TVS is continuous. Going to the extreme of constructivism, there is Ceitin's theorem, which states that every function is continuous (this is to be understood in the terminology of constructivism, according to which only representable functions are considered to be functions). Such stances are held by only a small minority of working mathematicians. The upshot is that the existence of discontinuous linear maps depends on AC; it is consistent with set theory without AC that there are no discontinuous linear maps on complete spaces. In particular, no concrete construction such as the derivative can succeed in defining a discontinuous linear map everywhere on a complete space.

Жабық операторлар

Көптеген табиғи түрде кездесетін сызықтық үздіксіз операторлар жабық, бұл үздіксіз операторлардың кейбір қасиеттерін бөлісетін операторлар класы. Берілген кеңістіктегі қай сызықтық операторлардың жабық екенін сұраған жөн. Жабық граф теоремасы толық домендегі әр жерде анықталған жабық оператордың үздіксіз екенін көрсетеді, сондықтан үздіксіз жабық оператор алу үшін әр жерде анықталмаған операторларға рұқсат ету керек. Нақтырақ айтсақ, X кеңістігін X кеңістігінің жабылуымен алмастырсақ, көп нәрсе жоғалмайды. Яғни, әр жерде анықталмаған операторларды зерттегенде, жалпылықты жоғалтпай, тығыздықпен анықталған операторларға назар аударуға болады. Егер T операторының графигі жабық болса, онда T операторы жабық деп аталады. Әйтпесе, оның жабылуын қарастырайық. Егер кейбір оператордың графигі жабылатын болса, онда ол жабылатын оператор деп аталады, ал жабылуы – жабылу операторы деп аталады.

Сондықтан, әр жерде анықталмаған сызықтық операторлар туралы туындайтын табиғи сұрақ – олардың жабылатындығы. Жауап: «қажет емес»; шындығында, кез келген шексіз өлшемді нормаланған кеңістік жабылатын емес сызықтық операторларды қабылдайды. Жоғарыда қарастырылған үздіксіз операторлардың жағдайындағыдай, дәлелдеу таңдау аксиомасын қажет етеді және сондықтан әдетте конструктивті емес, бірақ егер X кеңістігі толық болмаса, конструктивті мысалдар бар. Шындығында, графигінің жабылуы бүкіл кеңістік болатын сызықтық оператордың мысалы бар. Мұндай оператор жабылатын емес. X кеңістігін [0,1] аралығынан [2,3] аралығына дейінгі көпмүшелік функциялар кеңістігі, ал Y кеңістігін [2,3] аралығынан [2,3] аралығына дейінгі көпмүшелік функциялар кеңістігі деп алғанда, олар C([0,1]) және C([2,3]) кеңістіктерінің ішкі кеңістіктері болып табылады, сондықтан нормаланған кеңістіктер. T операторын [0,1] аралығындағы x → p(x) көпмүшелік функциясын [2,3] аралығындағы сол функцияға бейнелейтін оператор ретінде анықтайық. Stone–Weierstrass теоремасының салдары ретінде, бұл оператордың графигі тығыз, сондықтан бұл максималды түрде үздіксіз емес сызықтық бейнелеуді ұсынады (бірде-бір жерде үздіксіз функцияға ұқсас). X кеңістігінің мұнда толық емес екеніне назар аударыңыз, өйткені мұндай конструктивті бейнелеу болған кезде осылай болуы керек.

Екі қабатты бөлмелерге әсері

Топологиялық векторлық кеңістіктің қос кеңістігі – кеңістіктен негізгі өріске дейінгі үздіксіз сызықтық бейнелеулердің жиыны. Сондықтан, шексіз өлшемді нормаланған кеңістіктер үшін кейбір сызықтық бейнелеулердің үздіксіз болмауы, осы кеңістіктер үшін алгебралық қос кеңістікті үздіксіз қос кеңістіктен ажырату қажеттігін көрсетеді, ол тиісті кіші жиын болып табылады. Бұл, шекті өлшемді кеңістіктерге қарағанда шексіз өлшемді кеңістіктерде талдау жүргізу кезінде үлкен сақтықтық қажет екенін көрсетеді.