Непрерывные и разрывные линейные отображения в бесконечномерных пространствах.

Введение

В математике линейные отображения образуют важный класс "простых" функций, сохраняющих алгебраическую структуру линейных пространств и часто используемых в качестве приближений к более общим функциям (см. линейное приближение). Если рассматриваемые пространства также являются топологическими пространствами (то есть топологическими векторными пространствами), то возникает вопрос, являются ли все линейные отображения непрерывными. Оказывается, что для отображений, определенных на бесконечномерных топологических векторных пространствах (например, бесконечномерных нормированных пространствах), ответ обычно отрицательный: существуют разрывные линейные отображения. Если область определения является полной, задача усложняется; существование таких отображений можно доказать, но доказательство опирается на аксиому выбора и не предоставляет явного примера.

Неконструктивный пример

Алгебраическая основа для действительных чисел как векторного пространства над рациональными числами называется основой Гамеля (примечание, что некоторые авторы используют этот термин в более широком смысле для обозначения алгебраической основы любого векторного пространства). Обратите внимание, что любые два несоизмеримые числа, скажем 1 и π, линейно независимы. Можно найти основу Гамеля, содержащую их, и определить отображение f так, чтобы f действовала как тождественное отображение на остальной части основы Гамеля, и затем распространить его на все ℝ линейностью. Пусть {rn}n – любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к π. Тогда limn f(rn) = π, но f(π) ≠ π. По построению, f является линейной (но не непрерывной). Обратите внимание, что f также не измерима; аддитивная вещественная функция является линейной тогда и только тогда, когда она измерима, поэтому для каждой такой функции существует множество Витали. Построение f опирается на аксиому выбора. Этот пример можно обобщить в общую теорему о существовании разрывных линейных отображений на любом бесконечномерном нормированном пространстве (при условии, что область значений нетривиальна).

Теорема об общей существовании

Можно доказать существование разрывных линейных отображений в более общем смысле, даже если пространство полно. Пусть X и Y – нормированные пространства над полем K, где или . Предположим, что X бесконечномерно, а Y не является нулевым пространством. Мы найдем разрывное линейное отображение f из X в K, что повлечет существование разрывного линейного отображения g из X в Y, заданного формулой , где – произвольный ненулевой вектор в Y. Если X бесконечномерно, то доказательство существования линейного функционала, не являющегося непрерывным, сводится к построению f, не являющегося ограниченным. Для этого рассмотрим последовательность (en)n линейно независимых векторов в X, которую мы нормализуем. Затем определим

для каждого . Дополним эту последовательность линейно независимых векторов до базиса векторного пространства X, определив T для остальных векторов в базисе равным нулю. Так определенное T единственным образом продолжим до линейного отображения на X, и поскольку оно явно не ограничено, то не является непрерывным. Обратите внимание, что, используя тот факт, что любое множество линейно независимых векторов можно дополнить до базиса, мы неявно использовали аксиому выбора, которая не требовалась для конкретного примера в предыдущем разделе.

Роль аксиомы выбора

Как отмечалось выше, аксиома выбора (AC) используется в теореме общего существования разрывных линейных отображений. Фактически, не существует конструктивных примеров разрывных линейных отображений с полным областью определения (например, пространства Банаха). В анализе, как он обычно практикуется работающими математиками, всегда используется аксиома выбора (это аксиома теории множеств ZFC); таким образом, для аналитика все бесконечномерные топологические векторные пространства допускают разрывные линейные отображения. С другой стороны, в 1970 году Роберт М. Соловай построил модель теории множеств, в которой каждое множество вещественных чисел измеримо. Это подразумевает, что не существует разрывных линейных вещественных функций. Очевидно, что аксиома выбора не выполняется в этой модели. Результат Соловая показывает, что не обязательно предполагать, что все бесконечномерные векторные пространства допускают разрывные линейные отображения, и существуют направления в анализе, которые придерживаются более конструктивистской точки зрения. Например, Г. Г. Гарнер, в поисках так называемых «пространств мечты» (топологических векторных пространств, на которых каждое линейное отображение в нормированное пространство непрерывно), пришел к принятию ZF + DC + BP (зависимый выбор является ослабленной формой, а свойство Байра является отрицанием сильной аксиомы выбора) в качестве своих аксиом для доказательства теоремы о замкнутом графике Гарнера — Райта, которая, среди прочего, утверждает, что любое линейное отображение из F-пространства в TVS непрерывно. Идя к крайностям конструктивизма, существует теорема Сейтина, которая утверждает, что каждая функция непрерывна (это следует понимать в терминологии конструктивизма, согласно которой только представимые функции считаются функциями). Такую позицию занимает лишь небольшое меньшинство работающих математиков. Суть в том, что существование разрывных линейных отображений зависит от AC; это согласуется с теорией множеств без AC, что не существует разрывных линейных отображений на полных пространствах. В частности, никакая конкретная конструкция, такая как производная, не может успешно определить разрывное линейное отображение повсюду на полном пространстве.

As noted above, the axiom of choice (AC) is used in the general existence theorem of discontinuous linear maps. In fact, there are no constructive examples of discontinuous linear maps with complete domain (for example, Banach spaces). In analysis as it is usually practiced by working mathematicians, the axiom of choice is always employed (it is an axiom of ZFC set theory); thus, to the analyst, all infinite dimensional topological vector spaces admit discontinuous linear maps. On the other hand, in 1970 Robert M. Solovay exhibited a model of set theory in which every set of reals is measurable. This implies that there are no discontinuous linear real functions. Clearly AC does not hold in the model. Solovay's result shows that it is not necessary to assume that all infinite dimensional vector spaces admit discontinuous linear maps, and there are schools of analysis which adopt a more constructivist viewpoint. For example, H. G. Garnir, in searching for so called "dream spaces" (topological vector spaces on which every linear map into a normed space is continuous), was led to adopt ZF + DC + BP (dependent choice is a weakened form and the Baire property is a negation of strong AC) as his axioms to prove the Garnir–Wright closed graph theorem which states, among other things, that any linear map from an F space to a TVS is continuous. Going to the extreme of constructivism, there is Ceitin's theorem, which states that every function is continuous (this is to be understood in the terminology of constructivism, according to which only representable functions are considered to be functions). Such stances are held by only a small minority of working mathematicians. The upshot is that the existence of discontinuous linear maps depends on AC; it is consistent with set theory without AC that there are no discontinuous linear maps on complete spaces. In particular, no concrete construction such as the derivative can succeed in defining a discontinuous linear map everywhere on a complete space.

Закрытые операторы

Многие естественные линейные разрывные операторы являются замкнутыми, что представляет собой класс операторов, обладающих некоторыми свойствами непрерывных операторов. Имеет смысл задаться вопросом, какие линейные операторы в заданном пространстве являются замкнутыми. Теорема о замкнутом графе утверждает, что повсеместно определенный замкнутый оператор на полном пространстве является непрерывным, поэтому для получения разрывного замкнутого оператора необходимо допустить операторы, не определенные повсеместно. Чтобы быть более конкретным, пусть – отображение из в с областью определения, обозначенной . Мы не теряем много, если заменим X на замыкание . То есть, при изучении операторов, не определенных повсеместно, можно без потери общности ограничить свое внимание плотно определенными операторами. Если граф оператора замкнут в , то мы называем T замкнутым. В противном случае рассмотрим его замыкание в . Если само является графом некоторого оператора , то называется замыкаемым, а – замыканием .

Таким образом, естественный вопрос, который следует задать относительно линейных операторов, не определенных повсеместно, заключается в том, являются ли они замыкаемыми. Ответ: "не обязательно"; действительно, каждое бесконечномерное нормированное пространство допускает линейные операторы, которые не являются замыкаемыми. Как и в случае с рассмотренными выше разрывными операторами, доказательство требует аксиомы выбора и, следовательно, в целом неконструктивно, хотя, опять же, если X не является полным, существуют конструктивные примеры. Фактически, существует даже пример линейного оператора, граф которого имеет замыканием все пространство . Такой оператор не является замыкаемым. Пусть X – пространство полиномиальных функций от [0,1] в и Y – пространство полиномиальных функций от [2,3] в . Они являются подпространствами C([0,1]) и C([2,3]) соответственно и, следовательно, нормированными пространствами. Определим оператор T, который отображает полиномиальную функцию x ↦ p(x) на [0,1] в ту же функцию на [2,3]. Как следствие теоремы Стоуна — Вейерштрасса, граф этого оператора плотен в , что обеспечивает своего рода максимально разрывное линейное отображение (ср. функция, нигде не являющаяся непрерывной). Обратите внимание, что X здесь не является полным, что необходимо, когда существует такое конструктивное отображение.

Влияние на двойные пространства

Двойственное пространство топологического векторного пространства — это множество всех непрерывных линейных функционалов из этого пространства в базовое поле. Таким образом, то, что некоторые линейные функционалы не являются непрерывными в бесконечномерных нормированных пространствах, означает, что для таких пространств необходимо различать алгебраическое двойственное пространство и непрерывное двойственное пространство, которое является его собственным подмножеством. Это показывает, что при анализе бесконечномерных пространств требуется большая осторожность, чем при работе с конечномерными пространствами.