Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Фуко маятнигінің физикасын көрсету үшін бірнеше векторлық диаграммалар жиі қолданылады. Диаграммалар Солтүстік полюсте, экваторда және 45 градус солтүстік ендікте орналасқан маятникті көрсету үшін ұсынылған. Бұл жерлерде Жердің маятникке қатысты айналуы қалай байқалатынын немесе байқалмайтынын көрсету мақсатында жасалған. Бұл қатаң бағалау емес, екі қозғалатын объектінің – тербелістегі маятник пен айналатын Жердің – өзара әрекеттесуі туралы ақпарат беруға бағытталған. Леон Фуконың маңызды түсініктерінің бірі – Жердің толық айналымын бақылау уақыты ендіктің синусына кері пропорционалды түрде ұзарады. Мысалдарда маятниктердің өлшемдері үлкендеу келтірілген, бұл Жерге қатысты маятник қозғалысын көруге көмектеседі (көк түмен белгіленген). Маятник сондай етіп салынған, 90 градус доғалы қозғалыс Жер бетіндегі 90 градус доғаға сәйкес келеді. Диаграммаларды түсінуге көмектесу үшін жақтан, алдан және жоғарыдан (оң, орта, сол) көріністер ұсынылған, ал жебелер Жердің айналу бағытын көрсетеді. Әр суреттің төменгі жағындағы сызба маятник қозғалысының диапазонын жоғарыдан қарап, стандартты бағытқа сәйкестендірілген күйде көрсетеді. Кіші жебелер Жердің ортасына проекцияланған маятник салмағының орнындағы Жер бетінің нүктесі үшін салыстырмалы жылдамдық векторының шамасын көрсетеді (схема екі өлшемді болғандықтан, үш өлшемді емес, шамасы көрсетілген). Маятник салмағына әрқашан Жердің орталығына бағытталған гравитация күші әсер етеді. Маятник тірегіне байланысты күш маятник салмағын доға бойымен қозғалысқа бағыттайды. Тірек құрылымы орналасқан Жер бетінің жылдамдығына байланысты. Маятник қосылған нүкте сол ендіктегі Жер бетінің жылдамдық векторларымен бірге қозғалады. Экваторда тірек нүктесі Жердің экваторлық айналымымен бірге қозғалады және осы айналыммен бірге маятник қозғалысын итереді. Полюстерде тірек нүктесі Жер осінде орналасқан, сондықтан тірек нүктесі айналады, бірақ экватордағыдай көлденең жылдамдық компоненті жоқ (және ендік артқан сайын көлденең жылдамдық компоненті азаяды). Дегенмен, маятник қозғалысының жазықтығы төмендегі Жер бетінің жылдамдық векторларына тәуелді емес, себебі жалғыз байланыс нүктесі бар. Қосылу нүктесі маятник қозғалысының жазықтығын тірек нүктесінің құрылымына қатысты кез келген бағытта еркін қозғалуға мүмкіндік беретіндей етіп жасалған. Полюстерде маятник қозғалысы, тірекпен айналуға мәжбүр етілмесе, жұлдызға қарай бағытталған күйде қалады. Осының нәтижесінде, Жер маятник қозғалысының жазықтығының астынан айналып өтетіні байқалады.
Several vector diagrams are often used to demonstrate the physics underlying the Foucault pendulum. Diagrams are provided to illustrate a pendulum located at the North Pole, equator, and 45 degrees N to show how the rotation of Earth in relation to the pendulum is observed, or not, at these locations. This is not a rigorous evaluation but is intended to convey information regarding the interaction of the two moving objects, the swinging pendulum and the rotating Earth. One of the great insights by Léon Foucault is that the time to observe a full rotation of the Earth increased by the inverse of the sine of the latitude. In the examples, the pendulums are of great size to aid in the visualization of the pendulum swing in relation to the Earth (shown as blue circles). The pendulum is drawn so that 90 degrees of pendulum arc sweeps out 90 degrees of arc on the surface of the Earth. Views from the side, the front, and above (right, center, left) are provided to aid in the interpretation of the diagrams and arrows are provided to show the direction of the Earth's rotation. The schematic at the bottom of the each figure represents the range of swing of the pendulum as viewed from above and normalized to a standard orientation. The smaller arrows depict the magnitude of the relative velocity vector for the point on the Earth's surface in line with the pendulum bob projected to the center of the Earth (the magnitude is shown since the schematic is two dimensional, not three dimensional). The pendulum bob is always affected by the force of gravity directed towards the center of the Earth. The force associated with the connection of the pendulum to a support structure directs the pendulum bob along the swing of the arc. The support structure is dependent on the velocity of the surface of the Earth where it is located. The point of connection of the pendulum moves with the surface velocity vectors of the Earth at that latitude. At the equator the support point moves with the equatorial rotation of the Earth and moves the pendulum swing along with this rotation. At the poles the support point is located on the axis of the Earth so the support point rotates but does not have a horizontal velocity component as it does at the equator (and a progressively less horizontal velocity component with increasing latitude). The plane of the pendulum swing, however, is independent of the surface velocity vectors underneath the swing since there is only one point of connection. The point of connection is configured such that the plane of pendulum swing is free to swing in any direction in relation to the structure of the connection point. The pendulum swing at the poles remains aligned toward a star if not forced to rotate with the support. As a result, it is observable that the Earth turns underneath the plane of swing of the pendulum.
Кориолис эффектісі
Жердің маятниктің қозғалысына қатысты айналуының уақыт өте келе арту себебі (әсері азаяды) – ендік төмендеген сайын Кориолис эффектісімен байланысты. Кориолис эффектісі туралы мақалада айтылғандай, бұл эффект полярлық аймақтарда ең жоғары болады, мұнда Жер беті айналу осіне тік бұрышпен орналасқан (маятниктің орталық осі Жердің айналу осімен сәйкес келеді). Кориолис эффектісі экваторға жақындағанда азаяды, себебі Жер беті айналу осіне параллель (маятниктің орталық осі Жердің айналу осіне перпендикуляр). Толық ақпарат алу үшін Кориолис эффектісі туралы мақалаға жүгініңіз. Баллистиканың ендік бойынша өзгеруі маятниктің айналу уақытының ендікке қатысты өзгеруін түсінуге көмектеспейді. (Бұл мәселе анықтамалық кітапта келтірілгеннен өзгеше.) Маятник Жермен тек бір нүктеде байланысты, және бұл нүкте Жерге қатысты қозгалмайды. Маятник қозғалысының жазықтығы байланыс нүктесінің құрылымының айналуына еркін икемделетіндіктен, Жердің айналуы Кориолис эффектісінің шамасына тікелей байланысты байқалады. Мысалдар Жердің маятник қозғалысы жазықтығының астынан айналып өтетінін және осы қатынастың өзгеруін маятник астындағы жер бетінің жылдамдық компоненттерін бағалау арқылы әртүрлі ендіктерде қалай түсіндіруге болатынын көрсетеді.
The reason the rotation of the Earth in relation to the pendulum swing increases in time (decreases in effect) with decreasing latitude is related to the Coriolis Effect. As summarized in the Coriolis effect article, the effect is greatest in polar regions where the surface of the Earth is at right angles to the axis of rotation (the central axis of the pendulum aligns with the Earth's axis of rotation). The Coriolis effect decreases nearer the equator because the surface of the Earth is parallel to the axis of rotation (the central axis of the pendulum is perpendicular with the Earth's axis of rotation). Refer to the article discussing the Coriolis Effect for further details. The motion of ballistics with changing latitude is not helpful to understanding the change with latitude of the observed rotation time of the pendulum. (This discussion point is different from what is stated in the reference book.) There is only one point of connection to the Earth for the swinging pendulum and that point of connection doesn't move in relation to the Earth. Because the plane of the pendulum swing is free to swing in relation to the rotation of the structure of the connection point, the rotation of the Earth is observable as directly related to the magnitude of the Coriolis effect. The examples show that the Earth turns underneath the plane of the pendulum swing and how this change in relationship can be interpreted at different latitudes by evaluating the surface velocity components underneath the swing of the pendulum.
Полярлық маятник
Солтүстік полюсте маятниктің тербелісі үшін, маятниктің бір жағындағы Жер бетінің жылдамдық векторлары, тербелістің екінші жағындағы жылдамдық векторларына қарама-қарсы бағытталғаны көрсетілген (1-суретті қараңыз). Осылайша, Жердің айналуын маятниктің тербелісімен салыстырып байқауға болады. Солтүстік полюсте маятниктің тіреу нүктесі, Жердің айналу осімен бірге орналасқан. Тербеліс жазықтығының қандай тік бұрышпен орнатылғанына қарамастан, тербеліс ортасынан тең қашықтықтағы және қарама-қарсы жатқан Жер бетінің салыстырмалы жылдамдық векторлары бір-біріне қарсы болады. Жер, орнатылған маятник тербелісінің жазықтығының астынан айналады. Қосылыстың тіреу нүктесі Жермен бірге айналады және Жер үстінде еркін ілінгендей бейнеленеді. Маятник тербелісінің жазықтығы тіреу нүктесімен бірге айналмайды және тіреу нүктесінің айналуына тәуелді емес. Маятник салмағы (боб), тіреуге қатысты кез келген бағытта еркін тербеле алады (Шарон муфтасына қараңыз). Полюстегі маятник үшін, тербеліс жазықтығы, салмақтың (бобтың) қарай тербеліп жатқан жұлдызымен бірге қалады. Дегенмен, салмақтағы (бобтағы) нүкте, тіреу нүктесімен бірге айналады, себебі салмақ (боб) тіреу нүктесінен тәуелді. Сондықтан, бұл нүкте салмақтың (бобтың) қарай тербеліп жатқан жұлдызымен бірге қалмайды. Бұл, маятник айналып тұрғанда да, айналмағанда да орын алады. Егер салмаққа (бобқа) тіреу нүктесімен бірге айналуға рұқсат берілмесе, жалғау сымы бір тәулік ішінде бір рет бұрылады. Егер маятник салмағын (бобты) тіреуге қосатын құрылым тұрақты болса (және жалғау бұрылуға мүмкіндік бермесе, мысалы, тіреудің екі жағында бекітілген қатты стерженьді пайдалану арқылы), онда маятник тербелісінің жазықтығы бір бағытта орнатылғаннан кейін, тіреу мен жалғаумен бірге айналуға мәжбүр болады. Осы типтегі жалғаумен Жердің айналуын маятник тербелісімен салыстырып байқау мүмкін болмайды.
For a pendulum swing at the North Pole it is shown that the surface velocity vectors of the Earth underneath one side of the pendulum swing are directed in opposition to the velocity vectors underneath the other side of the swing (see Figure 1). The Earth's rotation can then be observed in relation to the pendulum swing. At the North Pole the support point of the pendulum swing is located on the axis of rotation of the Earth. No matter what vertical orientation is established by the plane of the swing, the relative velocity vectors of the Earth's surface on opposite sides and equidistant from the center point of the swing will be in opposition. The Earth turns underneath the plane of the pendulum swing that is established. The support point of the connection turns with the Earth and is depicted as freely suspended above the Earth. The plane of the pendulum swing does not turn with the support point and is not affected by the turning of the support point. The bob is free to swing in any direction in relation to the support (refer to a Charron chuck). For a pendulum at the pole, the plane of swing remains aligned with a star that the bob is swinging toward. A spot on the bob, however, turns with the support since the bob is not independent of the support point. The spot on the bob does not remain aligned with a star that the bob is swinging toward. This occurs whether the pendulum is swinging or not. If the bob is not allowed to turn with the support point one twist of the connecting wire will occur in one day at the pole. If the connection apparatus of the pendulum to the bob and to the support were in a fixed relationship (and the connection not allowed to twist, for example, using a rigid rod pinned into place between two sides of the support), then once the plane of the pendulum swing is established in one direction, that plane would be forced to turn with the support and connection. The Earth's rotation would not be observable in relation to the pendulum swing with this type of connection.
Экваторлық маятник
Экваторда Жердің айналуы маятниктің тербелісіне қатысты байқалмайды, себебі маятниктің тербеліс жазықтығы Жердің айналуымен бірге қозғалады және арақатынаста ешқандай өзгеріс болмайды. Диаграммалар көрсеткендей, маятниктің тербелісі астындағы Жердің беткі жылдамдық векторлары маятниктің тербелісімен бір бағытта теңдестірілген немесе сол жазықтықта орналасқан. Ұзындық (солтүстік-оңтүстік) бағытта тербелетін экваторлық маятник үшін, тербелістің екі жағындағы беткі жылдамдық векторлары бір бағытта теңдестіріледі және маятниктің тербелісінің орталық нүктесі айналу бағытымен бірге қозғалады (2А суретті қараңыз). Экватор бойымен (географиялық бағытта) тербелетін экваторлық маятник үшін, тербелістің екі жағындағы беткі жылдамдық векторлары бір бағытта теңгерімделмеген, бірақ маятник тербелісімен бірдей x y жазықтықта әрекет етеді (2B суретті қараңыз). Бұл векторлардың бәрі бірдей шамада, яғни экваторлық жылдамдыққа тең. Маятниктің бір жағындағы беткі жылдамдық векторлары жоғарыға қарай бұрышталған, ал қарсы жағындағы векторлар төмен қарай бұрышталған. Бұл векторлардың бәрі маятниктің тербеліс жазықтығында болғандықтан, маятниктің тербеліс жазықтығына қатысты беттің өзгеруі болмайды.
At the equator the rotation of the Earth is not observable in relation to the pendulum swing because the plane of the pendulum swing is moving along with the rotation of the Earth and no net change in relationship occurs. It is shown by the diagrams that the surface velocity vectors of the Earth underneath the swing of the pendulum are either balanced in the same direction or included within the same plane as the pendulum swing. For the equatorial pendulum with a swing in the longitudinal (north south) direction the surface velocity vectors on either side of the swing are balanced in the same direction and the center point of the pendulum swing is moving along with the direction of rotation (see Figure 2A). For the equatorial pendulum with a swing in the latitudinal direction (along the equator) the surface velocity vectors on either side of the swing are not balanced in the same direction but are acting within the same x y plane as the pendulum swing (see Figure 2B). These vectors are all of the same magnitude, that of the equatorial velocity. On one side of the pendulum swing the surface velocity vectors are angled upwards but on the opposite side the vectors are angled downwards. Since these vectors are all in the same plane as the pendulum swing there is no change of the surface in relationship to the plane of the pendulum swing.
45 градус солтүстік маятник
45° Солтүстік бойлық тербелісі бар маятник үшін (3А сурет) маятник тербелісінің тіреу нүктесі айналу бағытымен бірге қозғалады және тербелістің екі жағындағы жер бетінің жылдамдық векторлары теңгерілмейді. Жердің айналуы маятник тербелісіне қатысты байқалады, себебі жер бетіне қатысты өзгеріс орын алады. Маятник тербелісінің оңтүстік шегіндегі жер бетінің жылдамдық векторы (Жер орталығына проекцияланғанда) Экватордың 1 EVU-ға тең. Ал солтүстік шегіндегі жылдамдық (Жер орталығына проекцияланғанда) Солтүстік полюстің жылдамдығына тең, себебі айналатын Жерге қатысты қашықтық нөлдік болады. Жер бетіндегі жылдамдықтар әртүрлі болғанымен, маятник тербелісі астындағы бұрыштық жылдамдықтар осы бағдар бойынша бірдей. 45° Солтүстік ендік тербелісі бар маятник үшін (3B сурет) маятник тербелісінің тіреу нүктесі айналу бағытымен бірге қозғалады және тербелістің екі жағындағы жер бетінің жылдамдық векторлары теңгерімсіз. Жердің айналуы маятник тербелісіне қатысты байқалады, себебі жер бетіне қатысты өзгеріс орын алады. Маятник тербелісінің бір жағындағы жер бетінің жылдамдық векторлары жоғары және бір жаққа бұрышталған, ал екінші жағындағы векторлар төмен және қарама-қарсы жаққа бұрышталған. Бұл векторлардың барлығы маятник тербелісімен бір жазықтықта болмағандықтан және бір бағытта теңгерілмегендіктен, жер беті мен маятник тербелісінің жазықтығы арасындағы қатынас өзгереді. Ескерту: Маятник диаграммасының алдыңғы көрінісінің астындағы схема жылдамдық векторларын Жер орталығына қарай проекциялағанды көрсетеді, тікелей төмен емес. Векторлардың шамасын түсіну үшін диаграмманың оң жағында көрсетілген (жоғарыдан көрініс) тікелей төменгі проекцияны пайдалану әлдеқайда оңай.
For the 45° North pendulum with longitudinal swing (Figure 3A) the support point of the pendulum swing is moving along with the direction of rotation and the surface velocity vectors on either side of the swing are not balanced. The rotation of the Earth is observable in relation to the pendulum swing because a change in relationship to the surface occurs. At the south end of the pendulum swing the surface velocity vector (as projected to the center of the Earth) is that of the Equator, equal to 1 EVU. At the north end of the swing the velocity (as projected to the center of the Earth is that of the North Pole, equal to zero since zero distance is traveled in relation to the spinning Earth. Even though the surface velocities are different the angular velocities underneath the pendulum swing are all the same for this orientation. For the 45° North pendulum with latitudinal swing (Figure 3B) the support point of the pendulum swing is moving along with the direction of rotation and the surface velocity vectors on either side of the swing are not balanced. The rotation of the Earth is observable in relation to the pendulum swing because a change in relationship to the surface occurs. On one side of the pendulum swing the surface velocity vectors are angled upwards and to the side but on the other side the vectors are angled downwards and to the opposite side. Since these vectors are not all in the same plane as the pendulum swing and are not balanced in the same direction there is a change in relationship between the surface and the plane of the pendulum swing. Note: The schematic directly underneath the front view of the pendulum diagram is for velocity vectors projected towards the center of the Earth rather than straight down. It is much easier to interpret the magnitude of the vectors using the straight down projection that is shown on the right side of the diagram (the view from the top).
Жер бетіндегі жылдамдық векторларын бағалау
Үш өлшемді жүйе үшін маятниктің қозғалысы астындағы беткі жылдамдық векторларын маятниктің қарама-қарсы жақтарындағы векторларды бағалау үшін үш компонентке (x, y және z) бөлуге болады. Бағалау маятниктің қозғалысының әр жағындағы векторлардың 1) бірдей бағытта теңгерімделгенін, 2) бір жазықтықта әрекет ететінін немесе 3) теңгерімсіз немесе қарама-қарсы бағытта екенін анықтауға арналған. Егер маятниктің қозғалысының қарама-қарсы жақтарындағы вектор компоненттері бірдей бағытта теңгерімде болса немесе маятниктің бір жазықтығында әрекет етсе, онда Жердің айналысы маятниктің қозғалысына қатысты байқалмайды. Егер маятниктің қозғалысының жазықтығы x y жазықтығын белгілесе, онда z компоненті Жердің айналысының қай кезде байқалатынын және тек z компоненті екі жағында бірдей бағытта теңгерімде болмаса ғана анықтайды. Қарсы компоненттің шамасы Жердің бір толық айналысын маятник жазықтығына қатысты байқау үшін қажетті уақытқа пропорционалды. Уақыттың ұзақтығы полюстерде кемінде бір күн, полюстен экваторға қарай ұзарады және экваторда көрінбейді (шексіз ұзақ). Маятниктің қозғалысындағы ортасынан бірдей қашықтықта орналасқан кез келген екі нүкте үшін Жер бетіне проекцияланған екі байланысты нүкте бар. Бұл нүктелерді қарсы және маятник қозғалысының жазықтығында әрекет етпейтін тиісті беткі жылдамдық компоненттерін анықтау үшін пайдалануға болады. Бұл екі нүкте арасындағы айырмашылықтың шамасы (орталық нүктеге берілген ендік үшін) бір толық айналысты байқауға арналған уақытқа қатысты өлшем болып табылады. Содан кейін жылдамдық векторының айырмашылығының солтүстік полюстегі сәйкес нүктелерге, маятник ортасынан бірдей қашықтықта және бетке бірдей проекциямен қатынасын анықтауға болады. Кері қатынас маятник қозғалысының бір толық айналысы үшін байқалатын уақытты, бір күндік полюспен салыстырғанда анықтайды. Диаграммалардан маятник қозғалысының екі нүктесін таңдап, Жердің қарама-қарсы жақтарындағы екі нүктеге (180° аралықта) тікелей төмен проекциялауға болады. Бұл жылдамдық векторының айырмашылығын және кері қатынастан толық айналу үшін байқалатын уақытты оңай анықтауға мүмкіндік береді. Мысалдар Жердің маятник қозғалысы жазықтығының астында айналып жатқанын және қатынастағы бұл өзгерісті әр түрлі ендіктерде қалай түсіндіруге болатынын көрсетеді. Солтүстік полюс маятнигі үшін (1-сурет) жылдамдық векторы тексеру арқылы қозғалыстың бір жағында 1 EVU (экваторға проекцияланған) және қозғалыстың екінші жағында қарама-қарсы бағытта 1 EVU. Бұл екі нүкте арасындағы айырмашылық Солтүстік полюс маятнигі үшін 2 EVU құрайды. Ұзындықтық қозғалысы бар экваторлық маятник үшін бірдей проекцияны қолдану (2А сурет) жылдамдық векторы қозғалыстың бір жағында (Солтүстік полюс үшін) 0 EVU және қозғалыстың екінші жағында (Оңтүстік полюс үшін) 0 EVU. Осы екі нүкте арасындағы айырмашылық 0 EVU құрайды. Толық айналысты байқау уақыты шексіз ұзақ, өйткені қатынас нөлге бөлінеді. Кез келген екі тең қашықтықтағы нүкте үшін екі вектордың арасындағы айырмашылық нөлге тең, яғни векторлар маятник қозғалысының әр жағында бірдей бағытта теңгерімделген. Ендік қозғалысы бар экваторлық маятник үшін бірдей проекцияны қолдану (2B сурет) жылдамдық векторы қозғалыстың әр жағында 1 EVU және қарама-қарсы бағытта. Тіпті жылдамдық векторларының айырмашылығы 2 EVU болса да, бұл векторлар маятникпен бірдей жазықтықта әрекет етеді, сондықтан маятник қозғалысымен байқауға болмайды. z компоненті Жердің айналысының қай кезде байқалатынын анықтайды және екеуі де нөлге тең. Ұзындықтық қозғалысы бар 45° Солтүстік маятник үшін бірдей проекцияны (3А сурет) пайдаланғанда жылдамдық векторы 0,707 EVU бір жағында (орталық нүктеден әлемнің қарама-қарсы жағында 45° Солтүстікке сәйкес) және 0,707 EVU қарсы бағытта қозғалыстың екінші жағында (Оңтүстікке сәйкес). Бұл екі вектордың айырмашылығы 1,414 EVU құрайды. Ұзындықтық қозғалысы бар 45° Солтүстік маятник үшін бірдей проекцияны қолдану (3B сурет) жылдамдық векторы 1 EVU, бірақ z компоненті 0,707 EVU ғана, өйткені x y жазықтығы қозғалыстың бір жағында 45°-да (экваторға сәйкес). Қозғалыстың екінші жағында жылдамдық векторы қарсы бағытта 0,707 EVU (экваторға сәйкес 45° x y жазықтығына қарай еңісі бар). Бұл екі вектордың айырмашылығы 1,414 EVU құрайды. 45° жылдамдық векторларының полюске қатынасы 1,414 ÷ 2,0 тең, бұл 0,707-ге тең. Толық айналысты байқау уақыты керісінше, немесе Жердегі 45°-дағы маятник үшін 1,414 күн.
The surface velocity vectors underneath the swing of the pendulum can be separated into three components (x, y, and z) for the 3 dimensional system in order to evaluate the vectors on opposite sides of the pendulum. The evaluation is to identify whether the vectors on each side of the pendulum swing are 1) balanced in the same direction, 2) acting in the same plane, or 3) unbalanced or in opposing directions. If the vector components on opposite sides of the pendulum swing are balanced in the same direction or act in the same plane of the pendulum then the rotation of the Earth will not be observable in relation to the swing of the pendulum. If the plane of the pendulum swing establishes the x y plane then the z component determines when the Earth's rotation will be observable and only if the z component is not balanced in the same direction on each side. The magnitude of the opposing component is proportional to how long it takes for one full turn of the Earth to be observed in relation to the plane of the pendulum. The length of time is a minimum of one day at the poles, increases from the pole to the equator, and is not visible at the equator (infinitely long). For any two points in the pendulum swing that are equidistant from the center of the swing there are two related points projected onto the surface of the Earth. These points can be used to determine the corresponding surface velocity components that are in opposition and not acting in the same plane of the swing. The magnitude of the difference between these two points (for a given latitude of the center point) is a relative measure of the time to observe one full rotation. The ratio of the velocity vector difference to the corresponding points at the North Pole with the same equidistance from the center of the swing and the same projection to the surface can then be determined. The inverse ratio will determine the time observed for one full rotation of the pendulum swing in comparison to the duration at the pole of one day. From the diagrams two points of the pendulum swing can be chosen to project straight down to two points on opposite sides of the Earth (180° apart). This makes it easy to obtain the velocity vector difference and then the time observed for a full rotation from the inverse ratio. The examples show that the Earth turns underneath the plane of the pendulum swing and how this change in relationship can be interpreted at different latitudes. For the North Pole pendulum (Figure 1) the velocity vector by inspection is 1 EVU on one side of the swing (as projected to the equator) and 1 EVU in the opposite direction on the other side of the swing. The difference between these two points is 2 EVU for the North Pole pendulum. Using the same projection for the equatorial pendulum with longitudinal swing (Figure 2A) the velocity vector is 0 EVU on one side of the swing (for the North Pole) and 0 EVU on the other side of the swing (for the South Pole). The difference between these two points is 0 EVU for this arrangement. The time to observe a full rotation is infinitely long since the ratio divides by zero. For any two equidistant points the difference between the two vectors is zero, meaning the vectors are balanced in the same direction on each side of the pendulum swing. Using the same projection for the equatorial pendulum with latitudinal swing (Figure 2B) the velocity vector is 1 EVU on each side of the swing and are in opposite directions. Even though the difference in the velocity vectors is 2 EVU, these vectors are acting in the same plane as the pendulum, therefore, cannot be observed by the pendulum swing. The z component determines when the Earth's rotation will be observable and these are both zero. Using the same projection for the 45° North pendulum with longitudinal swing (Figure 3A) the velocity vector is 0.707 EVU on one side of the (corresponding to 45° North on the opposite side of the world from the center point) and 0.707 EVU in the opposite direction on the other side of the swing (corresponding to 45° South). The difference between these two vectors is 1.414 EVU. Using the same projection for the 45° North pendulum with longitudinal swing (Figure 3B) the velocity vector is 1 EVU but the z component is only 0.707 EVU since the x y plane is at 45°on one side of the swing (corresponding to the equator). On the other side of the swing the velocity vector is 0.707 EVU in the opposite direction (corresponding to the equator with a tilt of 45° to the x y plane). The difference between these two vectors is 1.414 EVU. The ratio of the velocity vectors for 45° to that of the pole is 1.414 ÷ 2.0 which equals 0.707. The time to observe the full rotation is then the inverse, or 1.414 days for a pendulum at 45° on the Earth.