Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Несколько векторных диаграмм часто используются для демонстрации физики, лежащей в основе маятника Фуко. Приведены диаграммы, иллюстрирующие маятник, расположенный на Северном полюсе, экваторе и на 45-й параллели северной широты, чтобы показать, как вращение Земли относительно маятника наблюдается или не наблюдается в этих точках. Это не строгий анализ, а скорее способ передачи информации о взаимодействии двух движущихся объектов – качающегося маятника и вращающейся Земли. Одним из важных открытий Леона Фуко стало то, что время, необходимое для наблюдения полного оборота Земли, увеличивается обратно пропорционально синусу широты. На примерах маятники изображены увеличенными, чтобы облегчить визуализацию колебаний маятника относительно Земли (обозначены синими кругами). Маятник изображен таким образом, что дуга в 90 градусов, описываемая маятником, соответствует дуге в 90 градусов на поверхности Земли. Для облегчения интерпретации диаграмм представлены виды сбоку, спереди и сверху (справа, в центре и слева), а также стрелки, указывающие направление вращения Земли. Схема в нижней части каждой фигуры отображает диапазон колебаний маятника, видимый сверху, и нормализован к стандартной ориентации. Меньшие стрелки показывают величину вектора относительной скорости точки на поверхности Земли, лежащей на одной линии с грузом маятника и спроецированной в центр Земли (величина показана, поскольку схема двухмерная, а не трехмерная). На груз маятника всегда действует сила тяжести, направленная к центру Земли. Сила, связанная с креплением маятника к опорной конструкции, направляет груз маятника вдоль дуги колебаний. Опорная конструкция зависит от скорости поверхности Земли в месте ее расположения. Точка крепления маятника движется вместе с векторами поверхностной скорости Земли на данной широте. На экваторе точка опоры движется вместе с экваториальным вращением Земли, увлекая за собой колебания маятника. На полюсах точка опоры находится на оси Земли, поэтому она вращается, но не имеет горизонтальной составляющей скорости, как на экваторе (и горизонтальная составляющая скорости уменьшается с увеличением широты). Однако плоскость колебаний маятника не зависит от векторов поверхностной скорости под ним, поскольку существует только одна точка крепления. Эта точка крепления сконфигурирована таким образом, чтобы плоскость колебаний маятника могла свободно колебаться в любом направлении относительно структуры точки крепления. Колебания маятника на полюсах остаются направленными на звезду, если его не заставляют вращаться вместе с опорой. В результате можно наблюдать, что Земля вращается под плоскостью колебаний маятника.
Several vector diagrams are often used to demonstrate the physics underlying the Foucault pendulum. Diagrams are provided to illustrate a pendulum located at the North Pole, equator, and 45 degrees N to show how the rotation of Earth in relation to the pendulum is observed, or not, at these locations. This is not a rigorous evaluation but is intended to convey information regarding the interaction of the two moving objects, the swinging pendulum and the rotating Earth. One of the great insights by Léon Foucault is that the time to observe a full rotation of the Earth increased by the inverse of the sine of the latitude. In the examples, the pendulums are of great size to aid in the visualization of the pendulum swing in relation to the Earth (shown as blue circles). The pendulum is drawn so that 90 degrees of pendulum arc sweeps out 90 degrees of arc on the surface of the Earth. Views from the side, the front, and above (right, center, left) are provided to aid in the interpretation of the diagrams and arrows are provided to show the direction of the Earth's rotation. The schematic at the bottom of the each figure represents the range of swing of the pendulum as viewed from above and normalized to a standard orientation. The smaller arrows depict the magnitude of the relative velocity vector for the point on the Earth's surface in line with the pendulum bob projected to the center of the Earth (the magnitude is shown since the schematic is two dimensional, not three dimensional). The pendulum bob is always affected by the force of gravity directed towards the center of the Earth. The force associated with the connection of the pendulum to a support structure directs the pendulum bob along the swing of the arc. The support structure is dependent on the velocity of the surface of the Earth where it is located. The point of connection of the pendulum moves with the surface velocity vectors of the Earth at that latitude. At the equator the support point moves with the equatorial rotation of the Earth and moves the pendulum swing along with this rotation. At the poles the support point is located on the axis of the Earth so the support point rotates but does not have a horizontal velocity component as it does at the equator (and a progressively less horizontal velocity component with increasing latitude). The plane of the pendulum swing, however, is independent of the surface velocity vectors underneath the swing since there is only one point of connection. The point of connection is configured such that the plane of pendulum swing is free to swing in any direction in relation to the structure of the connection point. The pendulum swing at the poles remains aligned toward a star if not forced to rotate with the support. As a result, it is observable that the Earth turns underneath the plane of swing of the pendulum.
Эффект Кориолиса
Причина, по которой вращение Земли относительно колебаний маятника увеличивается со временем (уменьшается его влияние) при уменьшении широты, связана с эффектом Кориолиса. Как указано в статье об эффекте Кориолиса, этот эффект наиболее выражен в полярных регионах, где поверхность Земли расположена под прямым углом к оси вращения (центральная ось маятника совпадает с осью вращения Земли). Эффект Кориолиса ослабевает по мере приближения к экватору, поскольку поверхность Земли параллельна оси вращения (центральная ось маятника перпендикулярна оси вращения Земли). Более подробную информацию можно найти в статье, посвященной эффекту Кориолиса. Анализ движения баллистических объектов при изменении широты не способствует пониманию изменения наблюдаемого времени вращения маятника в зависимости от широты. (Этот вопрос отличается от того, что представлено в справочнике.) Маятник имеет лишь одну точку опоры с Землей, и эта точка не перемещается вместе с Землей. Поскольку плоскость колебаний маятника может свободно вращаться относительно вращения конструкции точки опоры, вращение Земли проявляется как прямое следствие величины эффекта Кориолиса. Примеры демонстрируют, как Земля вращается под плоскостью колебаний маятника, и как это изменение взаимосвязи можно интерпретировать на разных широтах, оценивая компоненты скорости поверхности под маятником.
The reason the rotation of the Earth in relation to the pendulum swing increases in time (decreases in effect) with decreasing latitude is related to the Coriolis Effect. As summarized in the Coriolis effect article, the effect is greatest in polar regions where the surface of the Earth is at right angles to the axis of rotation (the central axis of the pendulum aligns with the Earth's axis of rotation). The Coriolis effect decreases nearer the equator because the surface of the Earth is parallel to the axis of rotation (the central axis of the pendulum is perpendicular with the Earth's axis of rotation). Refer to the article discussing the Coriolis Effect for further details. The motion of ballistics with changing latitude is not helpful to understanding the change with latitude of the observed rotation time of the pendulum. (This discussion point is different from what is stated in the reference book.) There is only one point of connection to the Earth for the swinging pendulum and that point of connection doesn't move in relation to the Earth. Because the plane of the pendulum swing is free to swing in relation to the rotation of the structure of the connection point, the rotation of the Earth is observable as directly related to the magnitude of the Coriolis effect. The examples show that the Earth turns underneath the plane of the pendulum swing and how this change in relationship can be interpreted at different latitudes by evaluating the surface velocity components underneath the swing of the pendulum.
Полярный маятник
Для маятникового колебания на Северном полюсе показано, что векторы поверхностной скорости Земли под одной стороной колебания маятника направлены противоположно векторам скорости под другой стороной маятника (см. Рисунок 1). Вращение Земли можно наблюдать относительно колебания маятника. На Северном полюсе точка опоры маятника расположена на оси вращения Земли. Независимо от установленной вертикальной ориентации плоскости колебания, векторы относительной скорости поверхности Земли на противоположных сторонах, равноудаленных от центральной точки колебания, будут направлены в противоположные стороны. Земля вращается под плоскостью колебания маятника, которая была установлена. Точка опоры соединения вращается вместе с Землей и изображается свободно подвешенной над Землей. Плоскость колебания маятника не вращается вместе с точкой опоры и не подвергается влиянию ее вращения. Боб может свободно колебаться в любом направлении относительно опоры (см. патрон Шаррона). Для маятника на полюсе плоскость колебания остается ориентированной на звезду, к которой направлено колебание боба. Однако точка на бобе вращается вместе с опорой, поскольку боб не является независимым от точки опоры. Эта точка на бобе не остается ориентированной на звезду, к которой направлено колебание. Это происходит независимо от того, качается маятник или нет. Если не позволять бобу вращаться вместе с точкой опоры, соединительный провод совершит один полный поворот за один день на полюсе. Если бы устройство соединения маятника с бобом и опорой было зафиксировано (и соединению не позволялось бы скручиваться, например, с помощью жесткого стержня, закрепленного между двумя сторонами опоры), то после установления плоскости колебания маятника в одном направлении, эта плоскость была бы вынуждена вращаться вместе с опорой и соединением. Вращение Земли не было бы наблюдаемо относительно колебания маятника при таком типе соединения.
For a pendulum swing at the North Pole it is shown that the surface velocity vectors of the Earth underneath one side of the pendulum swing are directed in opposition to the velocity vectors underneath the other side of the swing (see Figure 1). The Earth's rotation can then be observed in relation to the pendulum swing. At the North Pole the support point of the pendulum swing is located on the axis of rotation of the Earth. No matter what vertical orientation is established by the plane of the swing, the relative velocity vectors of the Earth's surface on opposite sides and equidistant from the center point of the swing will be in opposition. The Earth turns underneath the plane of the pendulum swing that is established. The support point of the connection turns with the Earth and is depicted as freely suspended above the Earth. The plane of the pendulum swing does not turn with the support point and is not affected by the turning of the support point. The bob is free to swing in any direction in relation to the support (refer to a Charron chuck). For a pendulum at the pole, the plane of swing remains aligned with a star that the bob is swinging toward. A spot on the bob, however, turns with the support since the bob is not independent of the support point. The spot on the bob does not remain aligned with a star that the bob is swinging toward. This occurs whether the pendulum is swinging or not. If the bob is not allowed to turn with the support point one twist of the connecting wire will occur in one day at the pole. If the connection apparatus of the pendulum to the bob and to the support were in a fixed relationship (and the connection not allowed to twist, for example, using a rigid rod pinned into place between two sides of the support), then once the plane of the pendulum swing is established in one direction, that plane would be forced to turn with the support and connection. The Earth's rotation would not be observable in relation to the pendulum swing with this type of connection.
Экваториальный маятник
На экваторе вращение Земли не проявляется в отношении колебания маятника, поскольку плоскость колебания маятника движется вместе с вращением Земли, и относительное положение не изменяется. Диаграммы показывают, что векторы поверхностной скорости Земли под траекторией маятника либо сбалансированы в одном направлении, либо лежат в той же плоскости, что и траектория маятника. Для экваториального маятника с колебаниями в меридиональном (север-юг) направлении векторы поверхностной скорости с обеих сторон траектории маятника сбалансированы в одном направлении, а центральная точка траектории маятника движется в направлении вращения Земли (см. рисунок 2А). Для экваториального маятника с колебаниями в широтном направлении (вдоль экватора) векторы поверхностной скорости с обеих сторон траектории маятника не сбалансированы в одном направлении, но действуют в той же плоскости x-y, что и траектория маятника (см. рисунок 2B). Все эти векторы имеют одинаковую величину – экваториальную скорость. С одной стороны траектории маятника векторы поверхностной скорости направлены вверх, а с противоположной – вниз. Поскольку все эти векторы лежат в одной плоскости с траекторией маятника, поверхность не изменяет своего положения относительно плоскости колебания маятника.
At the equator the rotation of the Earth is not observable in relation to the pendulum swing because the plane of the pendulum swing is moving along with the rotation of the Earth and no net change in relationship occurs. It is shown by the diagrams that the surface velocity vectors of the Earth underneath the swing of the pendulum are either balanced in the same direction or included within the same plane as the pendulum swing. For the equatorial pendulum with a swing in the longitudinal (north south) direction the surface velocity vectors on either side of the swing are balanced in the same direction and the center point of the pendulum swing is moving along with the direction of rotation (see Figure 2A). For the equatorial pendulum with a swing in the latitudinal direction (along the equator) the surface velocity vectors on either side of the swing are not balanced in the same direction but are acting within the same x y plane as the pendulum swing (see Figure 2B). These vectors are all of the same magnitude, that of the equatorial velocity. On one side of the pendulum swing the surface velocity vectors are angled upwards but on the opposite side the vectors are angled downwards. Since these vectors are all in the same plane as the pendulum swing there is no change of the surface in relationship to the plane of the pendulum swing.
45 градусов северный маятник
Для маятника 45° северной широты с продольным колебанием (рисунок 3А) точка опоры маятника движется в направлении вращения, а векторы скорости поверхности по обе стороны от колебания не сбалансированы. Вращение Земли наблюдается относительно колебания маятника, поскольку происходит изменение его взаимосвязи с поверхностью. На южном конце колебания вектор скорости поверхности (проецированный на центр Земли) соответствует экватору и равен 1 EVU. На северном конце колебания скорость (проецированная на центр Земли) соответствует Северному полюсу и равна нулю, так как расстояние, пройденное относительно вращающейся Земли, равно нулю. Несмотря на разницу в поверхностных скоростях, угловые скорости под маятником одинаковы для данной ориентации. Для маятника 45° северной широты с меридиональным колебанием (рисунок 3B) точка опоры маятника движется в направлении вращения, а векторы скорости поверхности по обе стороны от колебания не сбалансированы. Вращение Земли наблюдается относительно колебания маятника, поскольку происходит изменение его взаимосвязи с поверхностью. С одной стороны от колебания маятника векторы скорости поверхности направлены вверх и в сторону, а с другой – вниз и в противоположную сторону. Поскольку эти векторы не лежат в одной плоскости с колебанием маятника и не сбалансированы в одном направлении, происходит изменение взаимосвязи между поверхностью и плоскостью колебания маятника. Примечание: схема непосредственно под фронтальным видом диаграммы маятника отображает векторы скорости, проецируемые к центру Земли, а не вертикально вниз. Интерпретировать величину векторов гораздо проще, используя прямолинейную проекцию вниз, показанную справа на диаграмме (вид сверху).
For the 45° North pendulum with longitudinal swing (Figure 3A) the support point of the pendulum swing is moving along with the direction of rotation and the surface velocity vectors on either side of the swing are not balanced. The rotation of the Earth is observable in relation to the pendulum swing because a change in relationship to the surface occurs. At the south end of the pendulum swing the surface velocity vector (as projected to the center of the Earth) is that of the Equator, equal to 1 EVU. At the north end of the swing the velocity (as projected to the center of the Earth is that of the North Pole, equal to zero since zero distance is traveled in relation to the spinning Earth. Even though the surface velocities are different the angular velocities underneath the pendulum swing are all the same for this orientation. For the 45° North pendulum with latitudinal swing (Figure 3B) the support point of the pendulum swing is moving along with the direction of rotation and the surface velocity vectors on either side of the swing are not balanced. The rotation of the Earth is observable in relation to the pendulum swing because a change in relationship to the surface occurs. On one side of the pendulum swing the surface velocity vectors are angled upwards and to the side but on the other side the vectors are angled downwards and to the opposite side. Since these vectors are not all in the same plane as the pendulum swing and are not balanced in the same direction there is a change in relationship between the surface and the plane of the pendulum swing. Note: The schematic directly underneath the front view of the pendulum diagram is for velocity vectors projected towards the center of the Earth rather than straight down. It is much easier to interpret the magnitude of the vectors using the straight down projection that is shown on the right side of the diagram (the view from the top).
Оценка векторов поверхностной скорости
Векторы поверхностной скорости под колебанием маятника могут быть разделены на три компоненты (x, y и z) для трехмерной системы с целью оценки векторов на противоположных сторонах маятника. Оценка необходима для определения того, являются ли векторы с каждой стороны маятника 1) сбалансированными в одном направлении, 2) действующими в одной плоскости или 3) несбалансированными или направленными в противоположные стороны. Если векторные компоненты на противоположных сторонах маятника сбалансированы в одном направлении или действуют в одной плоскости маятника, то вращение Земли не будет наблюдаться относительно маятника. Если плоскость колебания маятника определяет плоскость x y, то компонент z определяет, когда вращение Земли станет наблюдаемым, и только в том случае, если компонент z не сбалансирован в одном направлении с каждой стороны. Величина противоположной составляющей пропорциональна времени, необходимому для наблюдения одного полного оборота Земли относительно плоскости колебания маятника. Продолжительность времени составляет минимум один день на полюсах, увеличивается от полюса к экватору и становится бесконечно большой на экваторе (не наблюдается). Для любых двух точек в колебании маятника, равноудаленных от центра колебания, существуют две связанные точки, спроецированные на поверхность Земли. Эти точки могут быть использованы для определения соответствующих компонентов поверхностной скорости, которые направлены в противоположные стороны и не действуют в одной плоскости колебания. Величина разницы между этими двумя точками (для заданной широты центральной точки) является относительной мерой времени, необходимого для наблюдения одного полного оборота. Затем можно определить отношение разности векторов скорости к соответствующим точкам на Северном полюсе, находящимся на том же расстоянии от центра колебания и имеющим ту же проекцию на поверхность. Обратное отношение определяет время, наблюдаемое для одного полного оборота маятника, по сравнению с продолжительностью в один день на полюсе. На диаграммах можно выбрать две точки колебания маятника и спроецировать их вертикально вниз на две точки на противоположных сторонах Земли (на расстоянии 180° друг от друга). Это позволяет легко получить разницу в векторе скорости, а затем и время, наблюдаемое для полного оборота, используя обратное отношение. Примеры показывают, что Земля вращается под плоскостью колебания маятника и как это изменение взаимосвязи может быть интерпретировано на разных широтах. Для маятника Северного полюса (рисунок 1) вектор скорости, при проверке, равен 1 ЕЕВ с одной стороны колебания (при проецировании на экватор) и 1 ЕЕВ в противоположном направлении с другой стороны колебания. Разница между этими двумя точками составляет 2 ЕЕВ для маятника Северного полюса. Используя ту же проекцию для экваториального маятника с продольным колебанием (рисунок 2А), вектор скорости равен 0 ЕЕВ с одной стороны колебания (для Северного полюса) и 0 ЕЕВ с другой стороны колебания (для Южного полюса). Разница между этими двумя точками составляет 0 ЕЕВ для данной конфигурации. Время наблюдения полного оборота бесконечно велико, поскольку отношение делится на ноль. Для любых двух равноудаленных точек разница между двумя векторами равна нулю, что означает, что векторы сбалансированы в одном направлении с каждой стороны колебания маятника. Используя ту же проекцию для экваториального маятника с широтным колебанием (рисунок 2B), вектор скорости равен 1 ЕЕВ с каждой стороны колебания и направлен в противоположные стороны. Несмотря на то, что разница в векторах скорости составляет 2 ЕЕВ, эти векторы действуют в той же плоскости, что и маятник, поэтому их нельзя наблюдать при колебании маятника. Компонент z определяет, когда вращение Земли станет наблюдаемым, и в обоих случаях он равен нулю. Используя ту же проекцию для маятника 45° северной широты с продольным колебанием (рисунок 3А), вектор скорости составляет 0,707 ЕЕВ с одной стороны (соответствующей 45° северной широте на противоположной стороне мира от центральной точки) и 0,707 ЕЕВ в противоположном направлении с другой стороны колебания (соответствующей 45° южной широте). Разница между этими двумя векторами составляет 1,414 ЕЕВ. Используя ту же проекцию для маятника 45° северной широты с продольным колебанием (рисунок 3B), вектор скорости равен 1 ЕЕВ, но компонент z составляет только 0,707 ЕЕВ, поскольку плоскость x y находится под углом 45° с одной стороны колебания (соответствующей экватору). На другой стороне колебания вектор скорости равен 0,707 ЕЕВ в противоположном направлении (соответствующей экватору с наклоном 45° к плоскости x y). Разница между этими двумя векторами составляет 1,414 ЕЕВ. Отношение векторов скорости для 45° к вектору на полюсе равно 1,414 ÷ 2,0, что равно 0,707. Время наблюдения полного оборота, следовательно, является обратным, то есть 1,414 дня для маятника на 45° широте на Земле.
The surface velocity vectors underneath the swing of the pendulum can be separated into three components (x, y, and z) for the 3 dimensional system in order to evaluate the vectors on opposite sides of the pendulum. The evaluation is to identify whether the vectors on each side of the pendulum swing are 1) balanced in the same direction, 2) acting in the same plane, or 3) unbalanced or in opposing directions. If the vector components on opposite sides of the pendulum swing are balanced in the same direction or act in the same plane of the pendulum then the rotation of the Earth will not be observable in relation to the swing of the pendulum. If the plane of the pendulum swing establishes the x y plane then the z component determines when the Earth's rotation will be observable and only if the z component is not balanced in the same direction on each side. The magnitude of the opposing component is proportional to how long it takes for one full turn of the Earth to be observed in relation to the plane of the pendulum. The length of time is a minimum of one day at the poles, increases from the pole to the equator, and is not visible at the equator (infinitely long). For any two points in the pendulum swing that are equidistant from the center of the swing there are two related points projected onto the surface of the Earth. These points can be used to determine the corresponding surface velocity components that are in opposition and not acting in the same plane of the swing. The magnitude of the difference between these two points (for a given latitude of the center point) is a relative measure of the time to observe one full rotation. The ratio of the velocity vector difference to the corresponding points at the North Pole with the same equidistance from the center of the swing and the same projection to the surface can then be determined. The inverse ratio will determine the time observed for one full rotation of the pendulum swing in comparison to the duration at the pole of one day. From the diagrams two points of the pendulum swing can be chosen to project straight down to two points on opposite sides of the Earth (180° apart). This makes it easy to obtain the velocity vector difference and then the time observed for a full rotation from the inverse ratio. The examples show that the Earth turns underneath the plane of the pendulum swing and how this change in relationship can be interpreted at different latitudes. For the North Pole pendulum (Figure 1) the velocity vector by inspection is 1 EVU on one side of the swing (as projected to the equator) and 1 EVU in the opposite direction on the other side of the swing. The difference between these two points is 2 EVU for the North Pole pendulum. Using the same projection for the equatorial pendulum with longitudinal swing (Figure 2A) the velocity vector is 0 EVU on one side of the swing (for the North Pole) and 0 EVU on the other side of the swing (for the South Pole). The difference between these two points is 0 EVU for this arrangement. The time to observe a full rotation is infinitely long since the ratio divides by zero. For any two equidistant points the difference between the two vectors is zero, meaning the vectors are balanced in the same direction on each side of the pendulum swing. Using the same projection for the equatorial pendulum with latitudinal swing (Figure 2B) the velocity vector is 1 EVU on each side of the swing and are in opposite directions. Even though the difference in the velocity vectors is 2 EVU, these vectors are acting in the same plane as the pendulum, therefore, cannot be observed by the pendulum swing. The z component determines when the Earth's rotation will be observable and these are both zero. Using the same projection for the 45° North pendulum with longitudinal swing (Figure 3A) the velocity vector is 0.707 EVU on one side of the (corresponding to 45° North on the opposite side of the world from the center point) and 0.707 EVU in the opposite direction on the other side of the swing (corresponding to 45° South). The difference between these two vectors is 1.414 EVU. Using the same projection for the 45° North pendulum with longitudinal swing (Figure 3B) the velocity vector is 1 EVU but the z component is only 0.707 EVU since the x y plane is at 45°on one side of the swing (corresponding to the equator). On the other side of the swing the velocity vector is 0.707 EVU in the opposite direction (corresponding to the equator with a tilt of 45° to the x y plane). The difference between these two vectors is 1.414 EVU. The ratio of the velocity vectors for 45° to that of the pole is 1.414 ÷ 2.0 which equals 0.707. The time to observe the full rotation is then the inverse, or 1.414 days for a pendulum at 45° on the Earth.