Кіріспе

Теориялық физикаға қолданылуы бар сыныпталған векторлық кеңістік. Математикада, супер векторлық кеңістік – бұл сыныпталған векторлық кеңістік, яғни, белгілі бір дәрежелі және дәрежелі субкеңістіктерге ыдырауы бар өріс үстіндегі векторлық кеңістік. Супер векторлық кеңістіктерді және олардың жалпыламаларын зерттеу кейде супер сызықтық алгебра деп аталады. Бұл объектілер теориялық физикада негізгі қолданыс табады, онда олар суперсимметрияның әртүрлі алгебралық аспектілерін сипаттау үшін қолданылады.

Супер векторлық кеңістіктердегі операциялар

Кәдімгі векторлық кеңістіктердегі әдеттегі алгебралық құрылымдар супервекторлық кеңістіктерде де кездеседі.

Екілік кеңістік

Супер векторлық кеңістіктің қос кеңістігін, жұп функционалдарды - жоғалатындарға, ал тақ функционалдарды - жоғалатындарға теңестіру арқылы супер векторлық кеңістік ретінде қарастыруға болады. Балама ретінде, -ны -дан -ға (негізгі өріс, таза жұп супер векторлық кеңістік ретінде қарастырылатын) сызықтық бейнелеулер кеңістігі деп, алдындағы бөлімде берілген градация бойынша анықтауға болады.

Тензорлық көбейтінді

Сондай-ақ супер векторлық кеңістіктердің тензорлық көбейтінділерін құрастыруға болады. Мұнда қосымша құрылым рөлдік ойнайды. Негізгі кеңістік сыныпталмаған жағдайдағыдай, ал сыныпталуы мына формуламен беріледі:

мұндағы индекстер нақты сандар жиынында жатыр. Атап айтқанда, мына қатынас орындалады:

Супермодульдер

Векторлық кеңістіктерді өрісте коммутативті сақинадағы модульдерге жалпылау сияқты, супервекторлық кеңістіктерді өрісте суперкоммутативті алгебраға (немесе сақинаға) қарастырылатын супермодульдерге жалпылауға болады. Супервекторлық кеңістіктермен жұмыс істегенде кең таралған тәсіл – скалярлар өрісін суперкоммутативті Грассман алгебрасына кеңейту болып табылады. Берілген өріс үшін, антикоммутациялық тақ элементтермен туындайтын Грассман алгебрасы деп белгілейміз. Кез келген супервекторлық кеңістік, (градацияланған) тензорлық көбейтіндіні қарастыру арқылы модульге енгізілуі мүмкін.