Введение
Градированное векторное пространство с приложениями к теоретической физике. В математике супервекторное пространство — это градированное векторное пространство, то есть векторное пространство над полем с заданным разложением на подпространства четной и нечетной градуировки. Изучение супервекторных пространств и их обобщений иногда называют суперлинейной алгеброй. Эти объекты находят основное применение в теоретической физике, где они используются для описания различных алгебраических аспектов суперсимметрии.
In mathematics, a super vector space is a graded vector space, that is, a vector space over a field with a given decomposition of subspaces of grade and grade The study of super vector spaces and their generalizations is sometimes called super linear algebra. These objects find their principal application in theoretical physics where they are used to describe the various algebraic aspects of supersymmetry.
Операции на супервекторных пространствах
Обычные алгебраические построения для обычных векторных пространств находят соответствие в случае супервекторных пространств.
Двойное пространство
Двойственное пространство супервекторного пространства можно рассматривать как супервекторное пространство, принимая четные функционалы за те, которые обращаются в нуль на 𝒦, а нечетные функционалы – за те, которые обращаются в нуль на 𝒪. Эквивалентно, можно определить 𝒳* как пространство линейных отображений из 𝒳 в 𝕂 (базовое поле, рассматриваемое как чисто четное супервекторное пространство) с градацией, заданной в предыдущем разделе.
Произведение тензора
Можно также построить тензорные произведения супервекторных пространств. Здесь вступает в игру аддитивная структура. Базовое пространство определяется так же, как и в случае без градуировки, а градуировка задается выражением
где индексы принимают значения в. В частности, имеем
Супермодули
Точно так же, как можно обобщить векторные пространства над полем до модулей над коммутативным кольцом, можно обобщить супервекторные пространства над полем до супермодулей над суперкоммутативной алгеброй (или кольцом). Распространенным приемом при работе с супервекторными пространствами является расширение поля скаляров до суперкоммутативной алгебры Грассмана. Для заданного поля обозначим через
алгебру Грассмана, порожденную антикоммутирующими нечетными элементами. Любое супервекторное пространство над можно вложить в модуль над , рассматривая (градуированный) тензорный продукт.