Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сызық диаграммалары — моноидті категориялардағы морфизмдерді немесе, жалпы алғанда, 2-категориядағы 2-ұяшықтарды бейнелеуге арналған формалды графикалық тіл. Олар қолданбалы категориялар теориясының маңызды құралы болып табылады. Егер олар векторлық кеңістіктер мен сызықтық түрлендірулердің тензорлық көбейтіндісі бар моноидті категориясында қарастырылса, онда сызық диаграммалары тензорлық желілер немесе Пенроуздың графикалық жазбасы деп аталады. Бұл, категориалды кванттық механиканың дамуына әкелді, онда кванттық теорияның аксиомалары моноидті категориялар тілінде тұжырымдалады.
String diagrams are a formal graphical language for representing morphisms in monoidal categories, or more generally 2 cells in 2 categories. They are a prominent tool in applied category theory. When interpreted in the monoidal category of vector spaces and linear maps with the tensor product, string diagrams are called tensor networks or Penrose graphical notation. This has led to the development of categorical quantum mechanics where the axioms of quantum theory are expressed in the language of monoidal categories.
Тарих
Гюнтер Хоц электрондық схемаларды формалдау үшін тізбек диаграммаларының алғашқы математикалық анықтамасын берді. Дегенмен, тізбек диаграммаларын ойлап табу әдетте Роджер Пенроузға жатқызылады, ал Фейнман диаграммалары да оның алдын бағыштары ретінде қарастырылады. Кейіннен Андре Джоял мен Росс Стриттің маңызды мақаласында олар еркін моноиділік санаттардың жебелері ретінде сипатталды. Алғашқы мақалалардағы диаграммалар қолмен салынған болса, LaTeX және PGF/TikZ сияқты жинақтау бағдарламаларының пайда болуы тізбек диаграммаларын жариялауды кеңінен таратуға мүмкіндік берді. Чарльз Сандерс Пирстің экзистенциалдық графтары мен диаграммалық ойлауы, әрине, тізбек диаграммаларының ең ерте түрі болып табылады, олар шекті жиындар мен қатынастардың моноиділік санатында және Декарт көбейтіндісінде түсіндіріледі. Пирстің экзистенциалдық графтарының сәйкестік сызықтары Фробен алгебрасы түрінде аксиоматизациялануы мүмкін, ал кесулер – логикалық жоқтықты аксиоматизациялайтын гоможинақтардағы унар операторлар болып табылады. Бұл тізбек диаграммаларын Готтлоб Фрегенің "Begriffsschrift" бір өлшемді синтаксисінен тәуелсіз ойлап тапқан бірінші реттік логика үшін сау және толық екі өлшемді дедукция жүйесіне айналдырады.
Günter Hotz gave the first mathematical definition of string diagrams in order to formalise electronic circuits. However, the invention of string diagrams is usually credited to Roger Penrose, with Feynman diagrams also described as a precursor. They were later characterised as the arrows of free monoidal categories in a seminal article by André Joyal and Ross Street. While the diagrams in these first articles were hand drawn, the advent of typesetting software such as LaTeX and PGF/TikZ made the publication of string diagrams more wide spread. The existential graphs and diagrammatic reasoning of Charles Sanders Peirce are arguably the oldest form of string diagrams, they are interpreted in the monoidal category of finite sets and relations with the Cartesian product. The lines of identity of Peirce's existential graphs can be axiomatised as a Frobenius algebra, the cuts are unary operators on homsets that axiomatise logical negation. This makes string diagrams a sound and complete two dimensional deduction system for first order logic, invented independently from the one dimensional syntax of Gottlob Frege's Begriffsschrift.
Графикалық тілдердің иерархиясы
Сызықтық диаграммалардың көптеген кеңейтулері қосымша құрылыммен моноиділ категориялардағы жебелерді бейнелеу үшін енгізілген, бұл графикалық тілдердің иерархиясын құрайды, ол моноиділ категориялар үшін графикалық тілдердің Селингер шолуында жіктеледі. Тоқыма топтарының жалпылануы болып табылатын үш өлшемді диаграммалары бар тоқыма моноиділ категориялары. Симметриялық топтың жалпылануы болып табылатын, қабырғалары қиылысатын төрт өлшемді диаграммалары бар симметриялық моноиділдік категориялар. Шымыр диаграммаларының жалпылануы, жиектері бағытталмаған үш өлшемді диаграммалары бар ленталық категориялар. Пенроуз графикалық белгілеуінің жалпылануы, қабырғалары бағытталмаған төрт өлшемді диаграммалары бар тұйық жабық категориялар. Көлденең көрінісі бар диаграммалардың барлығын қамтитын қамыс категориялары.
Many extensions of string diagrams have been introduced to represent arrows in monoidal categories with extra structure, forming a hierarchy of graphical languages which is classified in Selinger's Survey of graphical languages for monoidal categories. Braided monoidal categories with 3 dimensional diagrams, a generalisation of braid groups. Symmetric monoidal categories with 4 dimensional diagrams where edges can cross, a generalisation of the symmetric group. Ribbon categories with 3 dimensional diagrams where the edges are undirected, a generalisation of knot diagrams. Compact closed categories with 4 dimensional diagrams where the edges are undirected, a generalisation of Penrose graphical notation. Dagger categories where every diagram has a horizontal reflection.