Строковые диаграммы: от категорий до квантовой механики и логики
String diagram
Строковые диаграммы: графический язык категорийной теории для представления морфизмов. Применение в квантовой механике, тензорных сетях и схемотехнике.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Строковые диаграммы — это формальный графический язык для представления морфизмов в моноидальных категориях или, в более общем случае, 2-ячеек в 2-категориях. Они являются важным инструментом в прикладной теории категорий. При интерпретации в моноидальной категории векторных пространств и линейных отображений с тензорным произведением, строковые диаграммы называют тензорными сетями или графической нотацией Пенроуза. Это привело к развитию категориальной квантовой механики, где аксиомы квантовой теории выражаются на языке моноидальных категорий.
String diagrams are a formal graphical language for representing morphisms in monoidal categories, or more generally 2 cells in 2 categories. They are a prominent tool in applied category theory. When interpreted in the monoidal category of vector spaces and linear maps with the tensor product, string diagrams are called tensor networks or Penrose graphical notation. This has led to the development of categorical quantum mechanics where the axioms of quantum theory are expressed in the language of monoidal categories.
История
Гюнтер Хотц дал первое математическое определение диаграмм струн для формализации электронных схем. Однако изобретение диаграмм струн обычно приписывают Роджеру Пенроузу, а диаграммы Фейнмана также рассматриваются как предшественники. Позднее они были охарактеризованы как стрелки свободных моноидальных категорий в основополагающей статье Андре Джояля и Росса Стрита. Хотя диаграммы в этих первых статьях были нарисованы от руки, появление программ для набора текста, таких как LaTeX и PGF/TikZ, сделало публикацию диаграмм струн более распространенной. Экзистенциальные графы и диаграмматическое рассуждение Чарльза Сандерса Пирса, вероятно, являются самой ранней формой диаграмм струн; они интерпретируются в моноидальной категории конечных множеств и отношений с декартовым произведением. Линии тождества в экзистенциальных графах Пирса можно аксиоматизировать как алгебру Фробениуса, а разрезы – как унарные операторы на гомо-множествах, аксиоматизирующие логическое отрицание. Это делает диаграммы струн обоснованной и полной двумерной системой дедукции для логики первого порядка, изобретенной независимо от одномерного синтаксиса "Begriffsschrift" Готлоба Фреге.
Günter Hotz gave the first mathematical definition of string diagrams in order to formalise electronic circuits. However, the invention of string diagrams is usually credited to Roger Penrose, with Feynman diagrams also described as a precursor. They were later characterised as the arrows of free monoidal categories in a seminal article by André Joyal and Ross Street. While the diagrams in these first articles were hand drawn, the advent of typesetting software such as LaTeX and PGF/TikZ made the publication of string diagrams more wide spread. The existential graphs and diagrammatic reasoning of Charles Sanders Peirce are arguably the oldest form of string diagrams, they are interpreted in the monoidal category of finite sets and relations with the Cartesian product. The lines of identity of Peirce's existential graphs can be axiomatised as a Frobenius algebra, the cuts are unary operators on homsets that axiomatise logical negation. This makes string diagrams a sound and complete two dimensional deduction system for first order logic, invented independently from the one dimensional syntax of Gottlob Frege's Begriffsschrift.
Иерархия графических языков
Многие расширения струнных диаграмм были введены для представления стрелок в моноидальных категориях с дополнительной структурой, формируя иерархию графических языков, классифицированную в обзоре Селингера «Графические языки для моноидальных категорий». Плетевые моноидальные категории с трехмерными диаграммами, являющиеся обобщением групп кос. Симметричные моноидальные категории с четырехмерными диаграммами, где ребра могут пересекаться, являющиеся обобщением симметрической группы. Категории лент с трехмерными диаграммами, где ребра не ориентированы, являющиеся обобщением диаграмм узлов. Компактно замкнутые категории с четырехмерными диаграммами, где ребра не ориентированы, являющиеся обобщением графической нотации Пенроуза. Категории с кинжалом, где каждая диаграмма имеет горизонтальное отражение.
Many extensions of string diagrams have been introduced to represent arrows in monoidal categories with extra structure, forming a hierarchy of graphical languages which is classified in Selinger's Survey of graphical languages for monoidal categories. Braided monoidal categories with 3 dimensional diagrams, a generalisation of braid groups. Symmetric monoidal categories with 4 dimensional diagrams where edges can cross, a generalisation of the symmetric group. Ribbon categories with 3 dimensional diagrams where the edges are undirected, a generalisation of knot diagrams. Compact closed categories with 4 dimensional diagrams where the edges are undirected, a generalisation of Penrose graphical notation. Dagger categories where every diagram has a horizontal reflection.