Кіріспе
Трансфинитті сандардың түрі – математикадағы ординалдың бір түрі.
a type of ordinal in mathematics
In mathematics, the epsilon numbers are a collection of transfinite numbers whose defining property is that they are fixed points of an exponential map. Consequently, they are not reachable from 0 via a finite series of applications of the chosen exponential map and of "weaker" operations like addition and multiplication. The original epsilon numbers were introduced by Georg Cantor in the context of ordinal arithmetic; they are the ordinal numbers ε that satisfy the equation
in which ω is the smallest infinite ordinal. The least such ordinal is ε0 (pronounced epsilon nought or epsilon zero), which can be viewed as the "limit" obtained by transfinite recursion from a sequence of smaller limit ordinals:
where sup is the supremum, which is equivalent to set union in the case of the von Neumann representation of ordinals. Larger ordinal fixed points of the exponential map are indexed by ordinal subscripts, resulting in The ordinal ε0 is still countable, as is any epsilon number whose index is countable. Uncountable ordinals also exist, along with uncountable epsilon numbers whose index is an uncountable ordinal. The smallest epsilon number ε0 appears in many induction proofs, because for many purposes transfinite induction is only required up to ε0 (as in Gentzen's consistency proof and the proof of Goodstein's theorem). Its use by Gentzen to prove the consistency of Peano arithmetic, along with Gödel's second incompleteness theorem, show that Peano arithmetic cannot prove the well foundedness of this ordering (it is in fact the least ordinal with this property, and as such, in proof theoretic ordinal analysis, is used as a measure of the strength of the theory of Peano arithmetic). Many larger epsilon numbers can be defined using the Veblen function. A more general class of epsilon numbers has been identified by John Horton Conway and Donald Knuth in the surreal number system, consisting of all surreals that are fixed points of the base ω exponential map x → ω^(x). defined gamma numbers (see additively indecomposable ordinal) to be numbers γ > 0 such that 1=α + γ = γ whenever α < γ, and delta numbers (see multiplicatively indecomposable ordinal) to be numbers δ > 1 such that 1=αδ = δ whenever 0 < α < δ, and epsilon numbers to be numbers ε > 2 such that 1=α^(ε) = ε whenever 1 < α < ε. His gamma numbers are those of the form ω^(β), and his delta numbers are those of the form ω^(ω^(β)).
Математикада эпсилон сандары – экспоненциалдық бейнелеудің тұрақты нүктелері болып табылатын және оларды анықтайтын қасиеттері бар трансфинитті сандардың жиынтығы. Осыған байланысты, олар таңдалған экспоненциалдық бейнелеудің және қосу, көбейту сияқты «әлсіз» операциялардың шекті сериясы арқылы 0-ден қол жеткізілмейді. Георг Кантор эпсилон сандарын ординарлық арифметика контекстінде енгізді; олар ω – ең кіші шексіз ординал болатын келесі теңдеуді қанағаттандыратын ε ординалдары. Ең кіші ординал ε0 (эпсилон ноль немесе эпсилон ноль деп айтылады), оны кіші ординалдар тізбегінен трансфинитті рекурсия арқылы алынған «шегі» ретінде қарастыруға болады:
a type of ordinal in mathematics
In mathematics, the epsilon numbers are a collection of transfinite numbers whose defining property is that they are fixed points of an exponential map. Consequently, they are not reachable from 0 via a finite series of applications of the chosen exponential map and of "weaker" operations like addition and multiplication. The original epsilon numbers were introduced by Georg Cantor in the context of ordinal arithmetic; they are the ordinal numbers ε that satisfy the equation
in which ω is the smallest infinite ordinal. The least such ordinal is ε0 (pronounced epsilon nought or epsilon zero), which can be viewed as the "limit" obtained by transfinite recursion from a sequence of smaller limit ordinals:
where sup is the supremum, which is equivalent to set union in the case of the von Neumann representation of ordinals. Larger ordinal fixed points of the exponential map are indexed by ordinal subscripts, resulting in The ordinal ε0 is still countable, as is any epsilon number whose index is countable. Uncountable ordinals also exist, along with uncountable epsilon numbers whose index is an uncountable ordinal. The smallest epsilon number ε0 appears in many induction proofs, because for many purposes transfinite induction is only required up to ε0 (as in Gentzen's consistency proof and the proof of Goodstein's theorem). Its use by Gentzen to prove the consistency of Peano arithmetic, along with Gödel's second incompleteness theorem, show that Peano arithmetic cannot prove the well foundedness of this ordering (it is in fact the least ordinal with this property, and as such, in proof theoretic ordinal analysis, is used as a measure of the strength of the theory of Peano arithmetic). Many larger epsilon numbers can be defined using the Veblen function. A more general class of epsilon numbers has been identified by John Horton Conway and Donald Knuth in the surreal number system, consisting of all surreals that are fixed points of the base ω exponential map x → ω^(x). defined gamma numbers (see additively indecomposable ordinal) to be numbers γ > 0 such that 1=α + γ = γ whenever α < γ, and delta numbers (see multiplicatively indecomposable ordinal) to be numbers δ > 1 such that 1=αδ = δ whenever 0 < α < δ, and epsilon numbers to be numbers ε > 2 such that 1=α^(ε) = ε whenever 1 < α < ε. His gamma numbers are those of the form ω^(β), and his delta numbers are those of the form ω^(ω^(β)).
мұнда sup – жоғарғы шек, ординалдардың фон Нейман бейнелеуі жағдайында жиындық біріккенге тең. Экспоненциалдық бейнелеудің үлкен ординалдық тұрақты нүктелері ординалдық индекстермен белгіленеді, нәтижесінде ординал ε0 әлі де саналатын болады, оның индексі саналатын кез келген эпсилон саны сияқты. Санауға келмейтін ординалдар да бар, сондай-ақ индексі санауға келмейтін ординал болатын санауға келмейтін эпсилон сандары да бар. Ең кіші эпсилон саны ε0 көптеген индукциялық дәлелдемелерде қолданылады, себебі көптеген жағдайларда трансфинитті индукция тек ε0-ға дейін ғана қажет (Гентценнің тұрақтылық дәлелі және Гудштейн теоремасының дәлелі сияқты). Гентценнің Пеано арифметикасының тұрақтылығын дәлелдеу үшін пайдаланғаны, Гёдельдің екінші толық емес теоремасымен бірге, Пеано арифметикасы осы реттің негізділігін дәлелдей алмайтынын көрсетеді (іс жүзінде, бұл қасиетке ие ең кіші ординал және осылайша, дәлелдемелік ординалдық талдауда Пеано арифметикасының теориясының күшін өлшеу үшін қолданылады). Көптеген үлкен эпсилон сандарын Веблен функциясы арқылы анықтауға болады. Джон Хортон Конвей және Дональд Кнут сюрреалистік сандар жүйесінде эпсилон сандарының жалпы класын анықтады, ол x → ω^(x) базалық ω экспоненциалдық бейнелеуінің тұрақты нүктелері болып табылатын барлық сюрреалистерден тұрады. гамма сандары (қосымша түрде ыдырамайтын ординалдарды қараңыз) γ > 0 және α < γ болғанда 1 = α + γ = γ, ал дельта сандары (көбейтілмейтін ординалдарды қараңыз) δ > 1 және 0 < α < δ болғанда 1 = αδ = δ, ал эпсилон сандары ε > 2 және 1 < α < ε болғанда 1 = α^(ε) = ε. Оның гамма сандары ω^(β) түріндегі сандар, ал оның дельта сандары ω^(ω^(β)) түріндегі сандар.
a type of ordinal in mathematics
In mathematics, the epsilon numbers are a collection of transfinite numbers whose defining property is that they are fixed points of an exponential map. Consequently, they are not reachable from 0 via a finite series of applications of the chosen exponential map and of "weaker" operations like addition and multiplication. The original epsilon numbers were introduced by Georg Cantor in the context of ordinal arithmetic; they are the ordinal numbers ε that satisfy the equation
in which ω is the smallest infinite ordinal. The least such ordinal is ε0 (pronounced epsilon nought or epsilon zero), which can be viewed as the "limit" obtained by transfinite recursion from a sequence of smaller limit ordinals:
where sup is the supremum, which is equivalent to set union in the case of the von Neumann representation of ordinals. Larger ordinal fixed points of the exponential map are indexed by ordinal subscripts, resulting in The ordinal ε0 is still countable, as is any epsilon number whose index is countable. Uncountable ordinals also exist, along with uncountable epsilon numbers whose index is an uncountable ordinal. The smallest epsilon number ε0 appears in many induction proofs, because for many purposes transfinite induction is only required up to ε0 (as in Gentzen's consistency proof and the proof of Goodstein's theorem). Its use by Gentzen to prove the consistency of Peano arithmetic, along with Gödel's second incompleteness theorem, show that Peano arithmetic cannot prove the well foundedness of this ordering (it is in fact the least ordinal with this property, and as such, in proof theoretic ordinal analysis, is used as a measure of the strength of the theory of Peano arithmetic). Many larger epsilon numbers can be defined using the Veblen function. A more general class of epsilon numbers has been identified by John Horton Conway and Donald Knuth in the surreal number system, consisting of all surreals that are fixed points of the base ω exponential map x → ω^(x). defined gamma numbers (see additively indecomposable ordinal) to be numbers γ > 0 such that 1=α + γ = γ whenever α < γ, and delta numbers (see multiplicatively indecomposable ordinal) to be numbers δ > 1 such that 1=αδ = δ whenever 0 < α < δ, and epsilon numbers to be numbers ε > 2 such that 1=α^(ε) = ε whenever 1 < α < ε. His gamma numbers are those of the form ω^(β), and his delta numbers are those of the form ω^(ω^(β)).
ε0-ды тамырланған ағаштармен бейнелеу
Кез келген ε эпсилон санының Кантор қалыпты формасы бар, бірақ Кантор қалыпты формасы эпсилон сандары үшін аса пайдалы емес. Дегенмен, ε0-дан кіші ординалдарды олардың Кантор қалыпты формалары арқылы сипаттауға болады, бұл ε0-ді барлық шекті тамырлы ағаштардың реттелген жиыны ретінде көрсетуге мүмкіндік береді, мынадай түрде: Кез келген ординалдың Кантор қалыпты формасы бар, мұнда k – табиғи сан, ал ωk және α1, α2, ..., αn – ωk-дан кіші ординалдар, және олар α арқылы бірегей түрде анықталады. Әрбір αi ординалының өзіне ұқсас Кантор қалыпты формасы бар. α-ны көрсететін шекті тамырлы ағашты алу үшін α1, α2, ..., αn ординалдарын көрсететін ағаштардың тамырларын жаңа тамырға қосамыз. (Бұл 0 саны бір тамырмен, ал 1 саны тамыр мен бір жапырақтан тұратын ағашпен бейнеленетінін білдіреді.) Шекті тамырлы ағаштар жиынындағы реттілік рекурсивті түрде анықталады: біріншіден, тамырға қосылған кіші ағаштарды кему тәртібімен реттейміз, содан кейін осы реттелген кіші ағаштар тізбегінде лексикографиялық реттілікті қолданамыз. Осылайша, барлық шекті тамырлы ағаштар жиыны жақсы реттелген жиынға айналады, ол ε0-ға рет изоморфты болады. Бұл бейнелеу гидра теоремасын дәлелдеумен байланысты, ол ординалдардың кему тізбектерін графиктік теориялық ойын ретінде көрсетеді.
Веблен иерархиясы
"Эпсилон картасының" тұрақты нүктелері қалыпты функция құрайды, оның тұрақты нүктелері де қалыпты функция құрайды; бұл Веблен иерархиясы деп аталады (Veblen функцияларының базасы 1=φ0(α) = ω^(α)). Веблен иерархиясының белгілеуінде эпсилон карталауы φ1 болып табылады, ал оның тұрақты нүктелері φ2 арқылы саналады. Осылай жалғастыра отырып, α ординалдарының прогрессивті түрде үлкендеуімен (оның ішінде трансфиниттік рекурсияның осы сирек түрі арқылы лимит ординалдары да) φα карталарын анықтауға болады, олардың прогрессивті түрде үлкен ең кіші тұрақты нүктелері φα+1(0) болады. 0-дан осы процедура арқылы қол жеткізе алмайтын ең кіші ординал, яғни 1=φα(0) = α болатын ең кіші α ординалы, немесе картаның бірінші тұрақты нүктесі – Феферман–Шютте ординалы Γ0. Мұндай ординалдың бар екені дәлелденген теорияда, Γ картасы Γ0, Γ1, Γ2, тұрақты нүктелерін санайды; бұлардың барлығы да эпсилондық сандар болып табылады, себебі олар кез келген β ≤ Γ0 үшін φβ кескінінде жатыр, соның ішінде эпсилондық сандарды санайтын φ1 картасының кескінінде де.