Введение

Тип трансфинитных чисел – тип ординального числа в математике.

В математике эпсилонные числа — это совокупность трансфинитных чисел, определяющим свойством которых является то, что они представляют собой фиксированные точки экспоненциального отображения. Следовательно, они недостижимы из 0 посредством конечной последовательности применений выбранного экспоненциального отображения и «более слабых» операций, таких как сложение и умножение. Первоначальные эпсилонные числа были введены Георгом Кантором в контексте ординальной арифметики; это ординальные числа ε, удовлетворяющие уравнению

в котором ω — наименьшее бесконечное ординальное число. Наименьшее такое ординальное число — ε0 (произносится как эпсилон ноль или эпсилон ноль), которое можно рассматривать как «предел», полученный трансфинитной рекурсией из последовательности меньших предельных ординальных чисел:

где sup — это супремум, который эквивалентен объединению множеств в случае представления ординальных чисел фон Неймана. Более крупные ординальные фиксированные точки экспоненциального отображения индексируются ординальными индексами, в результате чего получается. Ординал ε0 все еще счетен, как и любое эпсилонное число, индекс которого счетен. Существуют также несчетные ординальные числа, а также несчетные эпсилонные числа, индекс которых является несчетным ординальным числом. Наименьшее эпсилонное число ε0 появляется во многих доказательствах индукции, поскольку для многих целей требуется только трансфинитная индукция до ε0 (как в доказательстве непротиворечивости Гентцена и доказательстве теоремы Гудштейна). Его использование Гентценом для доказательства непротиворечивости арифметики Пеано, наряду со второй теоремой о неполноте Гёделя, показывает, что арифметика Пеано не может доказать обоснованность этого упорядочения (фактически, это наименьшее ординальное число с этим свойством, и как таковое, в теоретико-доказательном ординальном анализе используется в качестве меры силы теории арифметики Пеано). Многие большие эпсилонные числа можно определить с помощью функции Веблена. Более общий класс эпсилонных чисел был идентифицирован Джоном Хортоном Конвеем и Дональдом Кнутом в системе сюрреальных чисел, состоящей из всех сюрреальных чисел, которые являются фиксированными точками базового ω-экспоненциального отображения x → ω^(x). Они определили гамма-числа (см. аддитивно неразложимые ординалы) как числа γ > 0, такие что 1 = α + γ = γ всякий раз, когда α < γ, и дельта-числа (см. мультипликативно неразложимые ординалы) как числа δ > 1, такие что 1 = αδ = δ всякий раз, когда 0 < α < δ, и эпсилонные числа как числа ε > 2, такие что 1 = α^(ε) = ε всякий раз, когда 1 < α < ε. Его гамма-числа имеют вид ω^(β), а его дельта-числа — вид ω^(ω^(β)).

Представление ε0 корневыми деревьями

Любое эпсилонное число ε имеет нормальную форму Кантора, что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для эпсилонных чисел. Однако порядковые числа, меньшие ε₀, могут быть полезно описаны их нормальными формами Кантора, что приводит к представлению ε₀ как упорядоченного множества всех конечных корневых деревьев следующим образом. Любое порядковое число α имеет нормальную форму Кантора α = k₁ω₁ + k₂ω₂ + … + kₙωₙ, где kᵢ – натуральное число, а ωᵢ – порядковые числа с ωᵢ₊₁ < ωᵢ, однозначно определяемые для α. Каждое из порядковых чисел ωᵢ, в свою очередь, имеет аналогичную нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, присоединяя корни деревьев, представляющих ωᵢ, к новому корню. (Это влечет за собой, что число 0 представлено одним корнем, а число ω₁ представлено деревом, содержащим корень и один лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья, присоединенные к корню, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок на этих упорядоченных последовательностях поддеревьев. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится вполне упорядоченным множеством, которое является порядково изоморфным ε₀. Это представление связано с доказательством теоремы о гидре, которая представляет убывающие последовательности порядковых чисел в виде теоретико-графовой игры.

Иерархия Веблена

Фиксированные точки "эпсилонного отображения" образуют нормальную функцию, фиксированные точки которой образуют нормальную функцию; это известно как иерархия Веблена (функции Веблена с основанием 1 = φ₀(α) = ω<sup>α</sup>). В обозначениях иерархии Веблена, эпсилонное отображение – это φ₁, а его фиксированные точки перечисляются φ₂. Продолжая в том же духе, можно определить отображения φα для последовательно возрастающих ординалов α (включая, посредством этой редкой формы трансфинитной рекурсии, предельные ординалы), с последовательно возрастающими наименьшими фиксированными точками φα+₁(0). Наименьший ординал, недостижимый из 0 посредством этой процедуры, то есть наименьший ординал α, для которого 1 = φα(0) = α, или, эквивалентно, первая фиксированная точка отображения, является ординалом Фефермана — Шютте Γ₀. В теории множеств, где существование такого ординала может быть доказано, существует отображение Γ, которое перечисляет фиксированные точки Γ₀, Γ₁, Γ₂; все они по-прежнему являются эпсилон-числами, поскольку они лежат в образе φβ для любого β ≤ Γ₀, включая отображение φ₁, которое перечисляет эпсилон-числа.