Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Математикада Эли Картан мен Жан Диодонне атындағы Картан-Диодонне теоремасы n өлшемді симметриялық билинейрлік кеңістіктегі кез келген ортогональды түрлендіруді ең көп дегенде n көріністің (шағылыстың) құрамы ретінде сипаттайды. Симметриялық билинейрлік кеңістік ұғымы – бұл Евклид кеңістігінің жалпыламасы, оның құрылымы симметриялық билинейрлік формамен анықталады (бұл оң анықталған болуы міндетті емес, сондықтан қажетті түрде ішкі көбейтілім емес – мысалы, псевдо-Евклид кеңістігі де симметриялық билинейрлік кеңістік болып табылады). Кеңістіктегі ортогональды түрлендірулер – бұл векторлардың кез келген жұбы арасындағы билинейрлік форманың мәнін сақтайтын өзгешеленулер; Евклид кеңістігінде бұл қашықтықтар мен бұрыштардың сақталуына сәйкес келеді. Бұл ортогональды түрлендірулер құрамы бойынша ортогональды топ деп аталатын топты құрайды. Мысалы, екі өлшемді Евклид жазықтығында кез келген ортогональды түрлендіру – бұл координаталар басынан өтетін түзуге қатысты көрініс немесе координаталар басының айналуы (бұл екі көріністің құрамы ретінде жазылуы мүмкін). Мұндай айналу мен көріністің кез келген кездейсоқ құрамын 2 көріністен аспайтын құрам ретінде қайта жазуға болады. Сол сияқты, үш өлшемді Евклид кеңістігінде кез келген ортогональды түрлендіруді бір көрініс, айналыс (2 көрініс) немесе бұрыс айналыс (3 көрініс) деп сипаттауға болады. Төрт өлшемде 4 көріністі білдіретін қос айналыс қосылады.
In mathematics, the Cartan–Dieudonné theorem, named after Élie Cartan and Jean Dieudonné, establishes that every orthogonal transformation in an n dimensional symmetric bilinear space can be described as the composition of at most n reflections. The notion of a symmetric bilinear space is a generalization of Euclidean space whose structure is defined by a symmetric bilinear form (which need not be positive definite, so is not necessarily an inner product – for instance, a pseudo Euclidean space is also a symmetric bilinear space). The orthogonal transformations in the space are those automorphisms which preserve the value of the bilinear form between every pair of vectors; in Euclidean space, this corresponds to preserving distances and angles. These orthogonal transformations form a group under composition, called the orthogonal group. For example, in the two dimensional Euclidean plane, every orthogonal transformation is either a reflection across a line through the origin or a rotation about the origin (which can be written as the composition of two reflections). Any arbitrary composition of such rotations and reflections can be rewritten as a composition of no more than 2 reflections. Similarly, in three dimensional Euclidean space, every orthogonal transformation can be described as a single reflection, a rotation (2 reflections), or an improper rotation (3 reflections). In four dimensions, double rotations are added that represent 4 reflections.
Ресми мәлімдеме
(V, b) болсын – 2-ге тең емес сипаттамасы бар өріс үстіндегі n өлшемді, дегенерацияланбаған симметриялық екісызықты кеңістік. Онда, ортогоналды топ O(V, b) кез келген элементі ең көп дегенде n көрістің (шағылыстың) композициясы болып табылады.
Let (V, b) be an n dimensional, non degenerate symmetric bilinear space over a field with characteristic not equal to 2. Then, every element of the orthogonal group O(V, b) is a composition of at most n reflections.