Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике теорема Картана — Диодонне, названная в честь Эли Картана и Жана Диодонне, устанавливает, что любое ортогональное преобразование в n-мерном симметричном билинейном пространстве может быть описано как композиция не более чем из n отражений. Понятие симметричного билинейного пространства является обобщением евклидова пространства, структура которого определяется симметричной билинейной формой (которая не обязана быть положительно определенной, и, следовательно, не обязательно является скалярным произведением – например, псевдоевклидово пространство также является симметричным билинейным пространством). Ортогональные преобразования в этом пространстве – это автоморфизмы, сохраняющие значение билинейной формы для любой пары векторов; в евклидовом пространстве это соответствует сохранению расстояний и углов. Эти ортогональные преобразования образуют группу относительно композиции, называемую ортогональной группой. Например, в двумерной евклидовой плоскости любое ортогональное преобразование является либо отражением относительно прямой, проходящей через начало координат, либо вращением вокруг начала координат (которое можно представить как композицию двух отражений). Любая произвольная композиция таких вращений и отражений может быть переписана как композиция не более чем из двух отражений. Аналогично, в трехмерном евклидовом пространстве любое ортогональное преобразование может быть описано как одно отражение, вращение (два отражения) или несобственное вращение (три отражения). В четырех измерениях добавляются двойные вращения, которые представляются четырьмя отражениями.
In mathematics, the Cartan–Dieudonné theorem, named after Élie Cartan and Jean Dieudonné, establishes that every orthogonal transformation in an n dimensional symmetric bilinear space can be described as the composition of at most n reflections. The notion of a symmetric bilinear space is a generalization of Euclidean space whose structure is defined by a symmetric bilinear form (which need not be positive definite, so is not necessarily an inner product – for instance, a pseudo Euclidean space is also a symmetric bilinear space). The orthogonal transformations in the space are those automorphisms which preserve the value of the bilinear form between every pair of vectors; in Euclidean space, this corresponds to preserving distances and angles. These orthogonal transformations form a group under composition, called the orthogonal group. For example, in the two dimensional Euclidean plane, every orthogonal transformation is either a reflection across a line through the origin or a rotation about the origin (which can be written as the composition of two reflections). Any arbitrary composition of such rotations and reflections can be rewritten as a composition of no more than 2 reflections. Similarly, in three dimensional Euclidean space, every orthogonal transformation can be described as a single reflection, a rotation (2 reflections), or an improper rotation (3 reflections). In four dimensions, double rotations are added that represent 4 reflections.
Официальное заявление
Пусть (V, b) — n-мерное, невырожденное симметричное билинейное пространство над полем характеристики, не равной 2. Тогда любой элемент ортогональной группы O(V, b) является композицией не более чем из n отражений.
Let (V, b) be an n dimensional, non degenerate symmetric bilinear space over a field with characteristic not equal to 2. Then, every element of the orthogonal group O(V, b) is a composition of at most n reflections.