Кіріспе
Ойын теориясындағы парадокс
Parrondo's paradox, a paradox in game theory, has been described as: A combination of losing strategies becomes a winning strategy. Winning strategies consisting of various combinations of losing strategies were explored in biology before Parrondo's paradox was published. show via simulation that if and Game B is an almost surely losing game as well. In fact, Game B is a Markov chain, and an analysis of its state transition matrix (again with M=3) shows that the steady state probability of using coin 2 is 0.3836, and that of using coin 3 is 0.6164. As coin 2 is selected nearly 40% of the time, it has a disproportionate influence on the payoff from Game B, and results in it being a losing game. However, when these two losing games are played in some alternating sequence e. g. two games of A followed by two games of B (AABBAABB ), the combination of the two games is, paradoxically, a winning game. Not all alternating sequences of A and B result in winning games. For example, one game of A followed by one game of B (ABABAB ) is a losing game, while one game of A followed by two games of B (ABBABB ) is a winning game. This coin tossing example has become the canonical illustration of Parrondo's paradox – two games, both losing when played individually, become a winning game when played in a particular alternating sequence.
Паррондоның парадоксы, ойын теориясындағы парадокс, былай сипатталады: жеңіліс стратегияларының комбинациясы жеңімпаз стратегияға айналады. Паррондо парадоксы жарияланғанға дейін биологияда жеңіліс стратегияларының әртүрлі комбинацияларынан тұратын жеңімпаз стратегиялар зерттелді. Егер A және B ойындары жеңіліске ұшыраса, онда B ойыны да дерлік әрқашан жеңіліске ұшырайтын ойын болып табылады. Шындығында, B ойыны – Марков тізбегі, ал оның күй өзгерту матрицасын талдау (қайтадан M=3) 2-ші монетаны пайдаланудың тұрақты күй ықтималдығы 0,3836, ал 3-ші монетаны пайдаланудың ықтималдығы 0,6164 екенін көрсетеді. 2-ші монета шамамен 40% уақыт таңдалғандықтан, ол B ойынының нәтижесіне пропорционалсыз әсер етеді және оның жеңіліске ұшырауына себеп болады. Дегенмен, егер осы екі жеңіліс ойындары белгілі бір кезекпен ойналса, мысалы, A ойынының екі партиясынан кейін B ойынының екі партиясы (ААББААББ) ойналса, екі ойынның комбинациясы парадоксалды түрде жеңімпаз ойынға айналады. A және B ойындарының барлық кезектесуі жеңіске әкелмейді. Мысалы, A ойынынан кейін B ойыны (АБАБАБ) ойналса, жеңіліске ұшырайды, ал A ойынынан кейін B ойынының екі партиясы (АББАББ) ойналса, жеңіске жетеді. Бұл монета лақтыру мысалы Паррондо парадоксының классикалық мысалына айналды – екеуі де жеке-жеке ойналғанда жеңіліске ұшырайтын екі ойын, белгілі бір кезекпен ойналғанда жеңімпаз ойынға айналады.
Parrondo's paradox, a paradox in game theory, has been described as: A combination of losing strategies becomes a winning strategy. Winning strategies consisting of various combinations of losing strategies were explored in biology before Parrondo's paradox was published. show via simulation that if and Game B is an almost surely losing game as well. In fact, Game B is a Markov chain, and an analysis of its state transition matrix (again with M=3) shows that the steady state probability of using coin 2 is 0.3836, and that of using coin 3 is 0.6164. As coin 2 is selected nearly 40% of the time, it has a disproportionate influence on the payoff from Game B, and results in it being a losing game. However, when these two losing games are played in some alternating sequence e. g. two games of A followed by two games of B (AABBAABB ), the combination of the two games is, paradoxically, a winning game. Not all alternating sequences of A and B result in winning games. For example, one game of A followed by one game of B (ABABAB ) is a losing game, while one game of A followed by two games of B (ABBABB ) is a winning game. This coin tossing example has become the canonical illustration of Parrondo's paradox – two games, both losing when played individually, become a winning game when played in a particular alternating sequence.
Парадокстің шешімі
Көрінетін парадокс Марков тізбегі, жылтылдаған тіктүркіш, симуляцияланған тотығу және ақпарат теориясы сияқты бірқатар күрделі тәсілдер арқылы түсіндірілді. Көрінетін парадокс түсіндірудің бір жолы былай:
B ойыны жеке ойналғанда, қалдықтан (саны бөлінгенде қалған бөлік) туындайтын ықтималдық тарату бойынша ұтылатын ойын болса да, басқа таратуларда жеңіске ұшырауы мүмкін, себебі оның күтілетін мәні оң болатын кем дегенде бір жағдай бар. B ойынының нәтижелері ойыншының капиталына байланысты болғандықтан, екі ойын тәуелсіз бола алмайды. Егер олар тәуелсіз болса, оларды кез келген ретпен ойнау да жеңіліске әкелер еді. Ендігідегі рөл анық көрінеді. Ол А және В ойындары арасындағы тәуелділікті тудыру үшін ғана қызмет етеді, соның арқасында ойыншы B ойынының күтілетін мәні оң болатын жағдайларға көбірек түседі, бұл оған А ойынынан болатын шығындарды өтеуге мүмкіндік береді. Осыны түсінгенде парадокс өзінен-өзі шешіледі: жеке ойындар тек құрама ойын ойналғанда кездесетін таратудан өзгеше таратуда ғана ұтылады. Қорыта айтқанда, Паррондо парадоксы тәуелділіктің нағыз тәуелсіздік туралы қарапайым болжаммен жасалған ықтималдық есептеулерге қаншалықты зиян келтіретінін көрсетеді. Бұл мәселенің толыққанды түсіндірілуімен қатар, бірнеше ұқсас мысалдарды Philips және Feldman еңбектерінде табуға болады.
Қолданбалар
Паррондо парадоксы ойын теориясында кеңінен қолданылады, ал оның инженерияға, халық динамикасына, қаржылық тәуекелге және тағы да басқа салалардағы қолданылуы белсенді зерттеулердің нысаны болып табылады. Паррондоның ойындары, мысалы, қор нарықтарында инвестициялау сияқты практикалық тұрғыдан көп пайдалы емес, себебі бастапқы ойындарда өзара әрекеттесетін ойындардың кем дегенде біреуінің нәтижесі ойыншының капиталына байланысты болуы керек. Дегенмен, ойындар бастапқы нысанымен шектелмейді және осы құбылысты жалпылау жұмыстары жалғасуда. Ұдайы өзгермелілікке (volatility pumping) және екі конверт проблемасына (two envelopes problem) ұқсастықтар көрсетілді. Бағалы қағаздардың табысының қарапайым қаржылық оқулық үлгілері, ұзақ мерзімді медианалық табысы теріс жеке инвестицияларды ұзақ мерзімді медианалық табысы оң диверсификацияланған портфельдерге оңай біріктіруге болатынын дәлелдеу үшін қолданылды. Сол сияқты, оптималды ставка ережелерін көрсету үшін жиі қолданылатын модель, ставкаларды бірнеше ойын арасында бөлу арқылы теріс орташа ұзақ мерзімді табысты оңға айналдыруға болатынын дәлелдеу үшін пайдаланылды. Эволюциялық биологияда бактериялардың кездейсоқ фазалық өзгерісі де, дәлдігі төмен сенсорлардың эволюциясы да осы парадокс тұрғысынан модельденіп, түсіндірілді. Экологияда кейбір организмдердің көшпелі және отарлаушылық мінез-құлықтары арасындағы мерзімді кезектесуі парадокс көрінісі ретінде ұсынылды. Парадокс нәтижесінде көпжасушалы тіршіліктің өміршеңдігін модельдеуде қызықты қолданыс жасалды және оның іске асырылу мүмкіндігі талқыланды. Паррондо парадоксының қолданылуын сенімділік теориясында да кездестіруге болады.