Введение
Парадокс в теории игр
Парадокс Паррондо, парадокс в теории игр, описывается следующим образом: комбинация проигрышных стратегий становится выигрышной стратегией. Выигрышные стратегии, состоящие из различных комбинаций проигрышных стратегий, исследовались в биологии еще до публикации парадокса Паррондо. Показано с помощью моделирования, что если и игра B также почти наверняка является проигрышной. Фактически, игра B представляет собой цепь Маркова, и анализ матрицы переходов состояний (опять же при M=3) показывает, что стационарная вероятность использования монеты 2 составляет 0,3836, а монеты 3 – 0,6164. Поскольку монета 2 выбирается почти 40% времени, она оказывает непропорционально большое влияние на выигрыш в игре B, что приводит к тому, что игра становится проигрышной. Однако, когда в эти две проигрышные игры играют в определенной чередующейся последовательности, например, две игры A, за которыми следуют две игры B (AABBAABB), комбинация этих двух игр, парадоксальным образом, становится выигрышной. Не все чередующиеся последовательности A и B приводят к выигрышу. Например, одна игра A, за которой следует одна игра B (ABABAB), является проигрышной, в то время как одна игра A, за которой следуют две игры B (ABBABB), является выигрышной. Этот пример с подбрасыванием монеты стал канонической иллюстрацией парадокса Паррондо: две игры, каждая из которых проигрышная при индивидуальной игре, становятся выигрышными при игре в определенной чередующейся последовательности.
Parrondo's paradox, a paradox in game theory, has been described as: A combination of losing strategies becomes a winning strategy. Winning strategies consisting of various combinations of losing strategies were explored in biology before Parrondo's paradox was published. show via simulation that if and Game B is an almost surely losing game as well. In fact, Game B is a Markov chain, and an analysis of its state transition matrix (again with M=3) shows that the steady state probability of using coin 2 is 0.3836, and that of using coin 3 is 0.6164. As coin 2 is selected nearly 40% of the time, it has a disproportionate influence on the payoff from Game B, and results in it being a losing game. However, when these two losing games are played in some alternating sequence e. g. two games of A followed by two games of B (AABBAABB ), the combination of the two games is, paradoxically, a winning game. Not all alternating sequences of A and B result in winning games. For example, one game of A followed by one game of B (ABABAB ) is a losing game, while one game of A followed by two games of B (ABBABB ) is a winning game. This coin tossing example has become the canonical illustration of Parrondo's paradox – two games, both losing when played individually, become a winning game when played in a particular alternating sequence.
Решение парадокса
Очевидный парадокс был объяснен с использованием ряда сложных подходов, включая цепи Маркова, мигающие храповики, имитацию отжига и теорию информации. Один из способов объяснить этот кажущийся парадокс следующий:
Хотя игра B является проигрышной при вероятностном распределении, возникающем при ее индивидуальной игре по модулю (модуль – это остаток от деления на ), она может быть выигрышной при других распределениях, поскольку существует как минимум одно состояние, в котором ее математическое ожидание положительно. Поскольку распределение исходов игры B зависит от капитала игрока, эти две игры не могут быть независимыми. Если бы они были независимы, любая последовательность их игры приводила бы к проигрышу. Роль теперь становится особенно ясной. Она служит исключительно для создания зависимости между играми A и B, благодаря чему игрок с большей вероятностью попадает в состояния, в которых игра B имеет положительное математическое ожидание, позволяя компенсировать потери в игре A. При таком понимании парадокс разрешается: отдельные игры проигрышны только при распределении, отличающемся от того, которое фактически возникает при игре в комбинированную игру. В итоге, парадокс Паррондо – это пример того, как зависимость может исказить вероятностные вычисления, основанные на наивном предположении о независимости. Более подробное рассмотрение этого вопроса, а также несколько связанных примеров можно найти в работе Philips и Feldman.
Приложения
Парадокс Паррондо широко используется в теории игр, а его применение в инженерии, динамике популяций, финансовому риску и т.д. является предметом активных исследований. Игры Паррондо имеют ограниченную практическую ценность, например, для инвестирования на фондовых рынках, поскольку в исходных играх выигрыш хотя бы одной из взаимодействующих игр зависит от капитала игрока. Однако игры не обязательно должны ограничиваться своей первоначальной формой, и продолжаются работы по обобщению этого явления. Отмечены сходства с накачкой волатильности и проблемой двух конвертов. Простые модели доходности ценных бумаг из учебников по финансам использовались для доказательства того, что отдельные инвестиции с отрицательной медианной долгосрочной доходностью могут быть легко объединены в диверсифицированные портфели с положительной медианной долгосрочной доходностью. Подобным образом, модель, часто используемая для иллюстрации оптимальных стратегий ставок, была применена для доказательства того, что разделение ставок между несколькими играми может превратить отрицательную медианную долгосрочную доходность в положительную. В эволюционной биологии как бактериальная случайная фазовая вариация, так и эволюция менее точных сенсоров были смоделированы и объяснены в контексте этого парадокса. В экологии периодическая смена кочевого и колониального поведения некоторыми организмами была предложена как проявление парадокса. Существует интересное применение в моделировании выживания многоклеточных организмов как следствие парадокса, а также ведутся дискуссии о его реализуемости. Применение парадокса Паррондо также можно найти в теории надежности.