Введение
Алгебраическая структура, используемая в анализе
In mathematics, a Lie algebra (pronounced /l//iː/ LEE) is a vector space together with an operation called the Lie bracket, an alternating bilinear map , that satisfies the Jacobi identity. In other words, a Lie algebra is an algebra over a field for which the multiplication operation (called the Lie bracket) is alternating and satisfies the Jacobi identity. The Lie bracket of two vectors and is denoted A Lie algebra is typically a non associative algebra. However, every associative algebra gives rise to a Lie algebra, consisting of the same vector space with the commutator Lie bracket,
Lie algebras are closely related to Lie groups, which are groups that are also smooth manifolds: every Lie group gives rise to a Lie algebra, which is the tangent space at the identity. (In this case, the Lie bracket measures the failure of commutativity for the Lie group.) Conversely, to any finite dimensional Lie algebra over the real or complex numbers, there is a corresponding connected Lie group, unique up to covering spaces (Lie's third theorem). This correspondence allows one to study the structure and classification of Lie groups in terms of Lie algebras, which are simpler objects of linear algebra. In more detail: for any Lie group, the multiplication operation near the identity element 1 is commutative to first order. In other words, every Lie group G is (to first order) approximately a real vector space, namely the tangent space to G at the identity. To second order, the group operation may be non commutative, and the second order terms describing the non commutativity of G near the identity give the structure of a Lie algebra. It is a remarkable fact that these second order terms (the Lie algebra) completely determine the group structure of G near the identity. They even determine G globally, up to covering spaces. In physics, Lie groups appear as symmetry groups of physical systems, and their Lie algebras (tangent vectors near the identity) may be thought of as infinitesimal symmetry motions. Thus Lie algebras and their representations are used extensively in physics, notably in quantum mechanics and particle physics. An elementary example (not directly coming from an associative algebra) is the 3 dimensional space with Lie bracket defined by the cross product This is skew symmetric since , and instead of associativity it satisfies the Jacobi identity:
This is the Lie algebra of the Lie group of rotations of space, and each vector may be pictured as an infinitesimal rotation around the axis , with angular speed equal to the magnitude
of The Lie bracket is a measure of the non commutativity between two rotations. Since a rotation commutes with itself, one has the alternating property .
В математике алгебра Ли (произносится /l//iː/ ЛИ) — это векторное пространство вместе с операцией, называемой скобкой Ли, — поочередной билинейной функцией, удовлетворяющей тождеству Якоби. Иными словами, алгебра Ли — это алгебра над полем, для которой операция умножения (называемая скобкой Ли) поочередна и удовлетворяет тождеству Якоби. Скобка Ли двух векторов и обозначается как . Алгебра Ли, как правило, является неассоциативной алгеброй. Однако каждая ассоциативная алгебра порождает алгебру Ли, состоящую из того же векторного пространства с коммутаторной скобкой Ли.
In mathematics, a Lie algebra (pronounced /l//iː/ LEE) is a vector space together with an operation called the Lie bracket, an alternating bilinear map , that satisfies the Jacobi identity. In other words, a Lie algebra is an algebra over a field for which the multiplication operation (called the Lie bracket) is alternating and satisfies the Jacobi identity. The Lie bracket of two vectors and is denoted A Lie algebra is typically a non associative algebra. However, every associative algebra gives rise to a Lie algebra, consisting of the same vector space with the commutator Lie bracket,
Lie algebras are closely related to Lie groups, which are groups that are also smooth manifolds: every Lie group gives rise to a Lie algebra, which is the tangent space at the identity. (In this case, the Lie bracket measures the failure of commutativity for the Lie group.) Conversely, to any finite dimensional Lie algebra over the real or complex numbers, there is a corresponding connected Lie group, unique up to covering spaces (Lie's third theorem). This correspondence allows one to study the structure and classification of Lie groups in terms of Lie algebras, which are simpler objects of linear algebra. In more detail: for any Lie group, the multiplication operation near the identity element 1 is commutative to first order. In other words, every Lie group G is (to first order) approximately a real vector space, namely the tangent space to G at the identity. To second order, the group operation may be non commutative, and the second order terms describing the non commutativity of G near the identity give the structure of a Lie algebra. It is a remarkable fact that these second order terms (the Lie algebra) completely determine the group structure of G near the identity. They even determine G globally, up to covering spaces. In physics, Lie groups appear as symmetry groups of physical systems, and their Lie algebras (tangent vectors near the identity) may be thought of as infinitesimal symmetry motions. Thus Lie algebras and their representations are used extensively in physics, notably in quantum mechanics and particle physics. An elementary example (not directly coming from an associative algebra) is the 3 dimensional space with Lie bracket defined by the cross product This is skew symmetric since , and instead of associativity it satisfies the Jacobi identity:
This is the Lie algebra of the Lie group of rotations of space, and each vector may be pictured as an infinitesimal rotation around the axis , with angular speed equal to the magnitude
of The Lie bracket is a measure of the non commutativity between two rotations. Since a rotation commutes with itself, one has the alternating property .
Алгебры Ли тесно связаны с группами Ли, которые также являются гладкими многообразиями: каждая группа Ли порождает алгебру Ли, являющуюся касательным пространством в единице. (В этом случае скобка Ли измеряет нарушение коммутативности для группы Ли.) И наоборот, для любой конечномерной алгебры Ли над действительными или комплексными числами существует соответствующая связная группа Ли, единственная с точностью до накрывающих пространств (третья теорема Ли). Это соответствие позволяет изучать структуру и классификацию групп Ли с точки зрения алгебр Ли, которые являются более простыми объектами линейной алгебры.
In mathematics, a Lie algebra (pronounced /l//iː/ LEE) is a vector space together with an operation called the Lie bracket, an alternating bilinear map , that satisfies the Jacobi identity. In other words, a Lie algebra is an algebra over a field for which the multiplication operation (called the Lie bracket) is alternating and satisfies the Jacobi identity. The Lie bracket of two vectors and is denoted A Lie algebra is typically a non associative algebra. However, every associative algebra gives rise to a Lie algebra, consisting of the same vector space with the commutator Lie bracket,
Lie algebras are closely related to Lie groups, which are groups that are also smooth manifolds: every Lie group gives rise to a Lie algebra, which is the tangent space at the identity. (In this case, the Lie bracket measures the failure of commutativity for the Lie group.) Conversely, to any finite dimensional Lie algebra over the real or complex numbers, there is a corresponding connected Lie group, unique up to covering spaces (Lie's third theorem). This correspondence allows one to study the structure and classification of Lie groups in terms of Lie algebras, which are simpler objects of linear algebra. In more detail: for any Lie group, the multiplication operation near the identity element 1 is commutative to first order. In other words, every Lie group G is (to first order) approximately a real vector space, namely the tangent space to G at the identity. To second order, the group operation may be non commutative, and the second order terms describing the non commutativity of G near the identity give the structure of a Lie algebra. It is a remarkable fact that these second order terms (the Lie algebra) completely determine the group structure of G near the identity. They even determine G globally, up to covering spaces. In physics, Lie groups appear as symmetry groups of physical systems, and their Lie algebras (tangent vectors near the identity) may be thought of as infinitesimal symmetry motions. Thus Lie algebras and their representations are used extensively in physics, notably in quantum mechanics and particle physics. An elementary example (not directly coming from an associative algebra) is the 3 dimensional space with Lie bracket defined by the cross product This is skew symmetric since , and instead of associativity it satisfies the Jacobi identity:
This is the Lie algebra of the Lie group of rotations of space, and each vector may be pictured as an infinitesimal rotation around the axis , with angular speed equal to the magnitude
of The Lie bracket is a measure of the non commutativity between two rotations. Since a rotation commutes with itself, one has the alternating property .
Более подробно: для любой группы Ли операция умножения вблизи единичного элемента 1 коммутативна в первом порядке. Другими словами, каждая группа Ли G (в первом порядке) приблизительно является вещественным векторным пространством, а именно касательным пространством к G в единице. Во втором порядке групповая операция может быть некоммутативной, а члены второго порядка, описывающие некоммутативность G вблизи единицы, задают структуру алгебры Ли. Примечательно, что эти члены второго порядка (алгебра Ли) полностью определяют структуру группы G вблизи единицы. Они даже определяют G глобально, с точностью до накрывающих пространств.
In mathematics, a Lie algebra (pronounced /l//iː/ LEE) is a vector space together with an operation called the Lie bracket, an alternating bilinear map , that satisfies the Jacobi identity. In other words, a Lie algebra is an algebra over a field for which the multiplication operation (called the Lie bracket) is alternating and satisfies the Jacobi identity. The Lie bracket of two vectors and is denoted A Lie algebra is typically a non associative algebra. However, every associative algebra gives rise to a Lie algebra, consisting of the same vector space with the commutator Lie bracket,
Lie algebras are closely related to Lie groups, which are groups that are also smooth manifolds: every Lie group gives rise to a Lie algebra, which is the tangent space at the identity. (In this case, the Lie bracket measures the failure of commutativity for the Lie group.) Conversely, to any finite dimensional Lie algebra over the real or complex numbers, there is a corresponding connected Lie group, unique up to covering spaces (Lie's third theorem). This correspondence allows one to study the structure and classification of Lie groups in terms of Lie algebras, which are simpler objects of linear algebra. In more detail: for any Lie group, the multiplication operation near the identity element 1 is commutative to first order. In other words, every Lie group G is (to first order) approximately a real vector space, namely the tangent space to G at the identity. To second order, the group operation may be non commutative, and the second order terms describing the non commutativity of G near the identity give the structure of a Lie algebra. It is a remarkable fact that these second order terms (the Lie algebra) completely determine the group structure of G near the identity. They even determine G globally, up to covering spaces. In physics, Lie groups appear as symmetry groups of physical systems, and their Lie algebras (tangent vectors near the identity) may be thought of as infinitesimal symmetry motions. Thus Lie algebras and their representations are used extensively in physics, notably in quantum mechanics and particle physics. An elementary example (not directly coming from an associative algebra) is the 3 dimensional space with Lie bracket defined by the cross product This is skew symmetric since , and instead of associativity it satisfies the Jacobi identity:
This is the Lie algebra of the Lie group of rotations of space, and each vector may be pictured as an infinitesimal rotation around the axis , with angular speed equal to the magnitude
of The Lie bracket is a measure of the non commutativity between two rotations. Since a rotation commutes with itself, one has the alternating property .
В физике группы Ли выступают в качестве групп симметрии физических систем, а их алгебры Ли (касательные векторы вблизи единицы) можно рассматривать как бесконечно малые движения симметрии. Таким образом, алгебры Ли и их представления широко используются в физике, особенно в квантовой механике и физике частиц.
In mathematics, a Lie algebra (pronounced /l//iː/ LEE) is a vector space together with an operation called the Lie bracket, an alternating bilinear map , that satisfies the Jacobi identity. In other words, a Lie algebra is an algebra over a field for which the multiplication operation (called the Lie bracket) is alternating and satisfies the Jacobi identity. The Lie bracket of two vectors and is denoted A Lie algebra is typically a non associative algebra. However, every associative algebra gives rise to a Lie algebra, consisting of the same vector space with the commutator Lie bracket,
Lie algebras are closely related to Lie groups, which are groups that are also smooth manifolds: every Lie group gives rise to a Lie algebra, which is the tangent space at the identity. (In this case, the Lie bracket measures the failure of commutativity for the Lie group.) Conversely, to any finite dimensional Lie algebra over the real or complex numbers, there is a corresponding connected Lie group, unique up to covering spaces (Lie's third theorem). This correspondence allows one to study the structure and classification of Lie groups in terms of Lie algebras, which are simpler objects of linear algebra. In more detail: for any Lie group, the multiplication operation near the identity element 1 is commutative to first order. In other words, every Lie group G is (to first order) approximately a real vector space, namely the tangent space to G at the identity. To second order, the group operation may be non commutative, and the second order terms describing the non commutativity of G near the identity give the structure of a Lie algebra. It is a remarkable fact that these second order terms (the Lie algebra) completely determine the group structure of G near the identity. They even determine G globally, up to covering spaces. In physics, Lie groups appear as symmetry groups of physical systems, and their Lie algebras (tangent vectors near the identity) may be thought of as infinitesimal symmetry motions. Thus Lie algebras and their representations are used extensively in physics, notably in quantum mechanics and particle physics. An elementary example (not directly coming from an associative algebra) is the 3 dimensional space with Lie bracket defined by the cross product This is skew symmetric since , and instead of associativity it satisfies the Jacobi identity:
This is the Lie algebra of the Lie group of rotations of space, and each vector may be pictured as an infinitesimal rotation around the axis , with angular speed equal to the magnitude
of The Lie bracket is a measure of the non commutativity between two rotations. Since a rotation commutes with itself, one has the alternating property .
Элементарный пример (не непосредственно вытекающий из ассоциативной алгебры) — 3-мерное пространство с скобкой Ли, определяемой векторным произведением. Оно антисимметрично, поскольку , и вместо ассоциативности удовлетворяет тождеству Якоби:
In mathematics, a Lie algebra (pronounced /l//iː/ LEE) is a vector space together with an operation called the Lie bracket, an alternating bilinear map , that satisfies the Jacobi identity. In other words, a Lie algebra is an algebra over a field for which the multiplication operation (called the Lie bracket) is alternating and satisfies the Jacobi identity. The Lie bracket of two vectors and is denoted A Lie algebra is typically a non associative algebra. However, every associative algebra gives rise to a Lie algebra, consisting of the same vector space with the commutator Lie bracket,
Lie algebras are closely related to Lie groups, which are groups that are also smooth manifolds: every Lie group gives rise to a Lie algebra, which is the tangent space at the identity. (In this case, the Lie bracket measures the failure of commutativity for the Lie group.) Conversely, to any finite dimensional Lie algebra over the real or complex numbers, there is a corresponding connected Lie group, unique up to covering spaces (Lie's third theorem). This correspondence allows one to study the structure and classification of Lie groups in terms of Lie algebras, which are simpler objects of linear algebra. In more detail: for any Lie group, the multiplication operation near the identity element 1 is commutative to first order. In other words, every Lie group G is (to first order) approximately a real vector space, namely the tangent space to G at the identity. To second order, the group operation may be non commutative, and the second order terms describing the non commutativity of G near the identity give the structure of a Lie algebra. It is a remarkable fact that these second order terms (the Lie algebra) completely determine the group structure of G near the identity. They even determine G globally, up to covering spaces. In physics, Lie groups appear as symmetry groups of physical systems, and their Lie algebras (tangent vectors near the identity) may be thought of as infinitesimal symmetry motions. Thus Lie algebras and their representations are used extensively in physics, notably in quantum mechanics and particle physics. An elementary example (not directly coming from an associative algebra) is the 3 dimensional space with Lie bracket defined by the cross product This is skew symmetric since , and instead of associativity it satisfies the Jacobi identity:
This is the Lie algebra of the Lie group of rotations of space, and each vector may be pictured as an infinitesimal rotation around the axis , with angular speed equal to the magnitude
of The Lie bracket is a measure of the non commutativity between two rotations. Since a rotation commutes with itself, one has the alternating property .
Это алгебра Ли группы вращений пространства, и каждый вектор можно представить как бесконечно малое вращение вокруг оси , с угловой скоростью, равной модулю . Скобка Ли является мерой некоммутативности между двумя вращениями. Поскольку вращение коммутирует само с собой, выполняется свойство поочередности .
In mathematics, a Lie algebra (pronounced /l//iː/ LEE) is a vector space together with an operation called the Lie bracket, an alternating bilinear map , that satisfies the Jacobi identity. In other words, a Lie algebra is an algebra over a field for which the multiplication operation (called the Lie bracket) is alternating and satisfies the Jacobi identity. The Lie bracket of two vectors and is denoted A Lie algebra is typically a non associative algebra. However, every associative algebra gives rise to a Lie algebra, consisting of the same vector space with the commutator Lie bracket,
Lie algebras are closely related to Lie groups, which are groups that are also smooth manifolds: every Lie group gives rise to a Lie algebra, which is the tangent space at the identity. (In this case, the Lie bracket measures the failure of commutativity for the Lie group.) Conversely, to any finite dimensional Lie algebra over the real or complex numbers, there is a corresponding connected Lie group, unique up to covering spaces (Lie's third theorem). This correspondence allows one to study the structure and classification of Lie groups in terms of Lie algebras, which are simpler objects of linear algebra. In more detail: for any Lie group, the multiplication operation near the identity element 1 is commutative to first order. In other words, every Lie group G is (to first order) approximately a real vector space, namely the tangent space to G at the identity. To second order, the group operation may be non commutative, and the second order terms describing the non commutativity of G near the identity give the structure of a Lie algebra. It is a remarkable fact that these second order terms (the Lie algebra) completely determine the group structure of G near the identity. They even determine G globally, up to covering spaces. In physics, Lie groups appear as symmetry groups of physical systems, and their Lie algebras (tangent vectors near the identity) may be thought of as infinitesimal symmetry motions. Thus Lie algebras and their representations are used extensively in physics, notably in quantum mechanics and particle physics. An elementary example (not directly coming from an associative algebra) is the 3 dimensional space with Lie bracket defined by the cross product This is skew symmetric since , and instead of associativity it satisfies the Jacobi identity:
This is the Lie algebra of the Lie group of rotations of space, and each vector may be pictured as an infinitesimal rotation around the axis , with angular speed equal to the magnitude
of The Lie bracket is a measure of the non commutativity between two rotations. Since a rotation commutes with itself, one has the alternating property .
История
Алгебры Ли были введены Софусом Ли в 1870-х годах для изучения концепции бесконечно малых преобразований и независимо открыты Вильгельмом Киллингом в 1880-х годах. Название «алгебра Ли» было дано Германом Вейлем в 1930-х годах; в более ранних текстах использовался термин «инфинитезимальная группа».
Генераторы и размер
Размер алгебры Ли над полем означает её размерность как векторного пространства. В физике векторный базис алгебры Ли группы G может называться множеством генераторов для G. (Их можно назвать "инфинитезимальными генераторами" для G, так сказать.) В математике множество S генераторов для алгебры Ли означает подмножество такого, что любая подалгебра Ли (как определено ниже), содержащая S, должна совпадать со всей алгеброй. Эквивалентно, алгебра Ли порождается (как векторное пространство) всеми итерированными скобками элементов S.
Абелева алгебра лжи
Любое векторное пространство, снабжённое тождественно нулевой скобкой Ли, становится алгеброй Ли. Такая алгебра Ли называется абелевой. Каждая одномерная алгебра Ли является абелевой благодаря антисимметричности скобки Ли.
Алгебра Ли матриц
На ассоциативной алгебре над полем с умножением, записанным как , скобка Ли может быть определена коммутатором. С этой скобкой, является алгеброй Ли. (Тождество Якоби следует из ассоциативности умножения в .) Кольцо эндоморфизмов векторного пространства с указанной скобкой Ли обозначается . Для поля F и положительного целого числа n, пространство n × n матриц над F, обозначаемое или , является алгеброй Ли со скобкой, заданной коммутатором матриц: Это частный случай предыдущего примера; это ключевой пример алгебры Ли. Она называется общей линейной алгеброй Ли. Когда F – поле вещественных чисел, является алгеброй Ли общей линейной группы , группы обратимых n × n вещественных матриц (или, эквивалентно, матриц с ненулевым определителем), где групповой операцией является умножение матриц. Аналогично, является алгеброй Ли комплексной группы Ли. Скобка Ли на описывает нарушение коммутативности для умножения матриц или, эквивалентно, для композиции линейных отображений. Для любого поля F, можно рассматривать как алгебру Ли алгебраической группы .
Пример
Подпространство диагональных матриц в является абелевой Лиевой подалгеброй. (Это субальгебра Картана , аналогичная максимальному тору в теории компактных групп Ли.) Здесь не является идеалом в . Например, когда , это следует из вычисления:
(который не всегда принадлежит ). Каждое одномерное линейное подпространство алгебры Ли является абелевой подалгеброй Ли, но не обязательно является идеалом.
Матричные алгебры Ли
Матричная группа — это группа Ли, состоящая из обратимых матриц, где групповая операция в G — умножение матриц. Соответствующая алгебра Ли — это пространство матриц, являющихся тангенциальными векторами к G внутри линейного пространства: оно состоит из производных гладких кривых в G в единичной матрице. Скобка Ли определяется как коммутатор матриц. По данной алгебре Ли можно восстановить группу Ли как подгруппу, порожденную матричным экспоненциальным отображением элементов (точнее, это дает компонент тождества G, если G не связна). Здесь экспоненциальное отображение определяется как , которое сходится для каждой матрицы. Те же замечания применимы к комплексным подгруппам Ли и комплексному матричному экспоненциальному отображению (определяемому той же формулой). Вот некоторые матричные группы Ли и их алгебры Ли. Для положительного целого числа n специальная линейная группа состоит из всех вещественных матриц n × n с определителем 1. Это группа линейных преобразований из себя, сохраняющих объем и ориентацию. В более абстрактном смысле, является коммутаторной подгруппой общей линейной группы. Её алгебра Ли состоит из всех вещественных матриц n × n с нулевым следом. Аналогично, можно определить соответствующую комплексную группу Ли и её алгебру Ли. Ортогональная группа играет фундаментальную роль в геометрии: это группа линейных преобразований из себя, сохраняющих длину векторов. Например, вращения и отражения принадлежат . Эквивалентно, это группа ортогональных матриц n x n, то есть , где обозначает транспонирование матрицы. Ортогональная группа имеет два связных компонента; компонент тождества называется специальной ортогональной группой , состоящей из ортогональных матриц с определителем 1. Обе группы имеют одну и ту же алгебру Ли, подпространство кососимметричных матриц в . См. также инфинитезимальные вращения с кососимметричными матрицами. Комплексная ортогональная группа, её компонент тождества и алгебра Ли задаются теми же формулами, применяемыми к комплексным матрицам n x n. Эквивалентно, является подгруппой, сохраняющей стандартную симметричную билинейную форму на . Унитарная группа — это подгруппа, сохраняющая длину векторов в (относительно стандартного эрмитова внутреннего произведения). Эквивалентно, это группа унитарных матриц n × n (удовлетворяющих , где обозначает сопряжённое транспонирование матрицы). Её алгебра Ли состоит из косоэрмитовых матриц в . Это алгебра Ли над , а не над (действительно, i, умноженное на косоэрмитову матрицу, является эрмитовой, а не косоэрмитовой). Аналогично, унитарная группа является вещественной подгруппой Ли комплексной группы Ли. Например, является круговой группой, и её алгебра Ли (с этой точки зрения) — . Специальная унитарная группа — это подгруппа матриц с определителем 1 в . Её алгебра Ли состоит из косоэрмитовых матриц с нулевым следом. Симплитическая группа — это подгруппа, сохраняющая стандартную попеременно-билинейную форму на . Её алгебра Ли — симплитическая алгебра Ли. Классические алгебры Ли — это перечисленные выше, вместе с вариантами над любым полем.
The Lie bracket of is given by the commutator of matrices, Given a Lie algebra , one can recover the Lie group as the subgroup generated by the matrix exponential of elements of (To be precise, this gives the identity component of G, if G is not connected.) Here the exponential mapping is defined by , which converges for every matrix
The same comments apply to complex Lie subgroups of and the complex matrix exponential, (defined by the same formula). Here are some matrix Lie groups and their Lie algebras. For a positive integer n, the special linear group consists of all real n × n matrices with determinant 1. This is the group of linear maps from to itself that preserve volume and orientation. More abstractly, is the commutator subgroup of the general linear group Its Lie algebra consists of all real n × n matrices with trace 0. Similarly, one can define the analogous complex Lie group and its Lie algebra The orthogonal group plays a basic role in geometry: it is the group of linear maps from to itself that preserve the length of vectors. For example, rotations and reflections belong to Equivalently, this is the group of n x n orthogonal matrices, meaning that , where denotes the transpose of a matrix. The orthogonal group has two connected components; the identity component is called the special orthogonal group , consisting of the orthogonal matrices with determinant 1. Both groups have the same Lie algebra , the subspace of skew symmetric matrices in See also infinitesimal rotations with skew symmetric matrices. The complex orthogonal group , its identity component , and the Lie algebra are given by the same formulas applied to n x n complex matrices. Equivalently, is the subgroup of that preserves the standard symmetric bilinear form on The unitary group is the subgroup of that preserves the length of vectors in (with respect to the standard Hermitian inner product). Equivalently, this is the group of n × n unitary matrices (satisfying , where denotes the conjugate transpose of a matrix). Its Lie algebra consists of the skew hermitian matrices in This is a Lie algebra over , not over (Indeed, i times a skew hermitian matrix is hermitian, rather than skew hermitian.) Likewise, the unitary group is a real Lie subgroup of the complex Lie group For example, is the circle group, and its Lie algebra (from this point of view) is The special unitary group is the subgroup of matrices with determinant 1 in Its Lie algebra consists of the skew hermitian matrices with trace zero. The symplectic group is the subgroup of that preserves the standard alternating bilinear form on Its Lie algebra is the symplectic Lie algebra The classical Lie algebras are those listed above, along with variants over any field.
Бесконечные измерения
Алгебра Ли векторных полей на гладком многообразии положительной размерности является бесконечномерной алгеброй Ли. Алгебры Каца — Муди представляют собой большой класс бесконечномерных алгебр Ли, например, над полем вещественных чисел, со структурой, во многом напоминающей структуру конечномерных простых алгебр Ли (таких как ). Алгебра Мояля — это бесконечномерная алгебра Ли, содержащая все классические алгебры Ли в качестве подалгебр. Алгебра Вирасоро важна в теории струн. Функтор, отображающий алгебру Ли над полем F в лежащее в основе векторное пространство, имеет левое сопряженное, называемое свободной алгеброй Ли на векторном пространстве V. Она порождается всеми итерированными скобками Ли элементов V, накладывая лишь отношения, вытекающие из определения алгебры Ли. Свободная алгебра Ли бесконечномерна для V размерности не менее 2.
Определения
При заданном векторном пространстве V, обозначим через алгебру Ли, состоящую из всех линейных отображений из V в себя, со скобкой, заданной как [A, B] = AB - BA. Представление алгебры Ли на V — это гомоморфизм алгебры Ли.
То есть, отображает каждый элемент из в линейное отображение из V в себя таким образом, что скобка Ли в соответствует коммутатору линейных отображений. Представление называется верным, если его ядро равно нулю. Теорема Адо утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли над полем характеристики ноль имеет верное представление на конечномерном векторном пространстве. Кенкити Ивасава расширил этот результат на конечномерные алгебры Ли над полем любой характеристики. Эквивалентно, каждая конечномерная алгебра Ли над полем F изоморфна подалгебре Ли для некоторого положительного целого числа n.
Цели теории представления
Одним из важных аспектов изучения алгебр Ли (особенно полупростых алгебр Ли, как определено ниже) является изучение их представлений. Хотя теорема Адо является важным результатом, основная цель теории представлений не в том, чтобы найти верное представление данной алгебры Ли. Действительно, в полупростом случае, сопряжённое представление уже верно. Скорее, цель состоит в том, чтобы понять все возможные представления. Для полупростой алгебры Ли над полем характеристики ноль теорема Вейля утверждает, что каждое конечномерное представление является прямой суммой неприводимых представлений (тех, которые не имеют нетривиальных инвариантных подпространств). Конечномерные неприводимые представления хорошо изучены с различных точек зрения; см. теорию представлений полупростых алгебр Ли и формулу характеров Вейля.
Универсальная обволакивающая алгебра
Функтор, отображающий ассоциативную алгебру A над полем F в алгебру Ли (посредством операции коммутатора), имеет левый сопряженный, называемый универсальной обволакивающей алгеброй. Для ее построения: пусть дана алгебра Ли над F, обозначим через
тензорную алгебру над , также называемую свободной ассоциативной алгеброй над векторным пространством . Здесь обозначает тензорное произведение векторных пространств над F. Пусть I – двусторонний идеал в , порожденный элементами вида для всех ; тогда универсальная обволакивающая алгебра – это факторкольцо . Она удовлетворяет теореме Пуанкаре — Биркгоффа — Витта: если – базис для как векторного пространства над полем k, то базисом для служит множество всех упорядоченных произведений с натуральными числами. В частности, отображение инъективно. Представления эквивалентны модулям над универсальной обволакивающей алгеброй. Тот факт, что оно инъективно, означает, что каждая алгебра Ли (возможно, бесконечномерная) имеет верное представление (бесконечномерное), а именно свое представление на . Это также показывает, что каждая алгебра Ли содержится в алгебре Ли, ассоциированной с некоторой ассоциативной алгеброй.
Критерий Картана
Критерий Картана (Эли Картана) дает условия для конечномерной алгебры Ли с нулевой характеристикой, чтобы быть разрешимой или полупростой. Он выражается в терминах формы Киллинга, симметричной двулинейной формы, определяемой как
где tr обозначает след линейного оператора. А именно: алгебра Ли является полупростой тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырождена. Алгебра Ли является разрешимой тогда и только тогда, когда
Классификация
Декомпозиция Леви утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли над полем характеристики ноль является полупрямым произведением своего решаемого радикала и полупростой алгебры Ли. Более того, полупростая алгебра Ли в характеристике ноль является произведением простых алгебр Ли, как упоминалось выше. Это сосредотачивает внимание на проблеме классификации простых алгебр Ли. Простые алгебры Ли с конечной размерностью над алгебраически замкнутым полем F характеристики ноль были классифицированы Киллингом и Картаном в 1880-х и 1890-х годах с использованием корневых систем. А именно, каждая простая алгебра Ли имеет тип An, Bn, Cn, Dn, E6, E7, E8, F4 или G2. Здесь простая алгебра Ли типа An, Bn, Cn и Dn. Остальные пять известны как исключительные алгебры Ли. Классификация конечномерных простых алгебр Ли над более сложна, но она также была решена Картаном (см. простая группа Ли для эквивалентной классификации). Можно анализировать алгебру Ли над , рассматривая её комплексификацию . В годы, предшествовавшие 2004 году, конечномерные простые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики были классифицированы Ричардом Эрлом Блоком, Робертом Ли Вильсоном, Александром Преметом и Гельмутом Страйде. (См. ограниченная алгебра Ли#Классификация простых алгебр Ли.) Оказывается, что в положительной характеристике существует гораздо больше простых алгебр Ли, чем в характеристике ноль.
In the years leading up to 2004, the finite dimensional simple Lie algebras over an algebraically closed field of characteristic were classified by Richard Earl Block, Robert Lee Wilson, Alexander Premet, and Helmut Strade. (See restricted Lie algebra#Classification of simple Lie algebras.) It turns out that there are many more simple Lie algebras in positive characteristic than in characteristic zero.
Отношение к группам Ли
Хотя алгебры Ли могут изучаться сами по себе, исторически они возникли как средство для изучения групп Ли. Связь между группами Ли и алгебрами Ли можно обобщить следующим образом. Каждая группа Ли определяет алгебру Ли (конкретно, тангенциальное пространство в единице). И наоборот, для каждой конечномерной алгебры Ли существует связная группа Ли с этой алгеброй Ли. Это третья теорема Ли; см. формулу Бейкера — Кэмпбелла — Гаусдорфа. Эта группа Ли не определяется однозначно; однако любые две группы Ли с одной и той же алгеброй Ли локально изоморфны, и, более того, имеют одно и то же универсальное накрытие. Например, специальная ортогональная группа SO(3) и специальная унитарная группа SU(2) имеют изоморфные алгебры Ли, но SU(2) является простосвязным двулистным накрытием SO(3). Для простосвязных групп Ли существует полное соответствие: взятие алгебры Ли дает эквивалентность категорий между простосвязными группами Ли и конечномерными алгебрами Ли. Это соответствие между алгебрами Ли и группами Ли используется различными способами, включая классификацию групп Ли и теорию представлений групп Ли. Для конечномерных представлений существует эквивалентность категорий между представлениями вещественной алгебры Ли и представлениями соответствующей простосвязной группы Ли. Это упрощает теорию представлений групп Ли: часто проще классифицировать представления алгебры Ли, используя линейную алгебру. Каждая связная группа Ли изоморфна своему универсальному накрытию по дискретной центральной подгруппе. Таким образом, классификация групп Ли сводится к простому подсчету дискретных подгрупп центра, как только алгебра Ли известна. Например, вещественные полупростые алгебры Ли были классифицированы Картаном, и поэтому классификация полупростых групп Ли хорошо изучена. Для бесконечномерных алгебр Ли теория Ли работает менее эффективно. Экспоненциальное отображение не обязательно является локальным гомеоморфизмом (например, в группе диффеоморфизмов окружности существуют диффеоморфизмы, сколь угодно близкие к единичному, которые не принадлежат образу экспоненциального отображения). Более того, с точки зрения существующих понятий бесконечномерных групп Ли, некоторые бесконечномерные алгебры Ли не соответствуют никакой группе. Теория Ли также не работает столь гладко для бесконечномерных представлений конечномерной группы. Даже для аддитивной группы бесконечномерное представление обычно нельзя дифференцировать, чтобы получить представление ее алгебры Ли на том же пространстве, или наоборот. Теория модулей Хариша-Чандры представляет собой более тонкую связь между бесконечномерными представлениями для групп и алгебр Ли.
The correspondence between Lie algebras and Lie groups is used in several ways, including in the classification of Lie groups and the representation theory of Lie groups. For finite dimensional representations, there is an equivalence of categories between representations of a real Lie algebra and representations of the corresponding simply connected Lie group. This simplifies the representation theory of Lie groups: it is often easier to classify the representations of a Lie algebra, using linear algebra. Every connected Lie group is isomorphic to its universal cover modulo a discrete central subgroup. So classifying Lie groups becomes simply a matter of counting the discrete subgroups of the center, once the Lie algebra is known. For example, the real semisimple Lie algebras were classified by Cartan, and so the classification of semisimple Lie groups is well understood. For infinite dimensional Lie algebras, Lie theory works less well. The exponential map need not be a local homeomorphism (for example, in the diffeomorphism group of the circle, there are diffeomorphisms arbitrarily close to the identity that are not in the image of the exponential map). Moreover, in terms of the existing notions of infinite dimensional Lie groups, some infinite dimensional Lie algebras do not come from any group. Lie theory also does not work so neatly for infinite dimensional representations of a finite dimensional group. Even for the additive group , an infinite dimensional representation of can usually not be differentiated to produce a representation of its Lie algebra on the same space, or vice versa. The theory of Harish Chandra modules is a more subtle relation between infinite dimensional representations for groups and Lie algebras.
Реальная форма и усложнение
Для заданной комплексной алгебры Ли, реальная алгебра Ли называется реальной формой, если ее комплексификация изоморфна данной комплексной алгебре Ли. Реальная форма не обязана быть единственной; например, алгебра sl(2,C) имеет две реальные формы с точностью до изоморфизма, sl(2,R) и so(1,1). Для заданной полупростой комплексной алгебры Ли, расщепляющаяся форма – это реальная форма, которая расщепляется, то есть содержит субальгебру Картана, действующую посредством сопряженного представления с вещественными собственными значениями. Расщепляющаяся форма существует и единственна с точностью до изоморфизма. Компактная форма – это реальная форма, являющаяся алгеброй Ли компактной группы Ли. Компактная форма существует и также единственна с точностью до изоморфизма.
Given a semisimple complex Lie algebra , a split form of it is a real form that splits; i. e., it has a Cartan subalgebra which acts via an adjoint representation with real eigenvalues. A split form exists and is unique (up to isomorphism). A compact form is a real form that is the Lie algebra of a compact Lie group. A compact form exists and is also unique up to isomorphism.
Кольцо лжи
Определение алгебры Ли над полем распространяется на определение алгебры Ли над любым коммутативным кольцом R. А именно, алгебра Ли над R — это R-модуль с чередующимся R-билинейным отображением, удовлетворяющим тождеству Якоби. Алгебра Ли над кольцом целых чисел иногда называется кольцом Ли. (Это не связано напрямую с понятием группы Ли.) Кольца Ли используются при изучении конечных p-групп (для простого числа p) посредством соответствия Лазарда. Нижние центральные факторы конечной p-группы являются конечными абелевыми p-группами. Прямая сумма нижних центральных факторов наделяется структурой кольца Ли, определяя скобку как коммутатор двух представителей классов вычетов; см. пример ниже. p-адические группы Ли связаны с алгебрами Ли над полем p-адических чисел, а также над кольцом p-адических целых чисел. Часть построения Клода Шевалье конечных групп типа Ли заключается в доказательстве того, что простая алгебра Ли над комплексными числами происходит из алгебры Ли над целыми числами, а затем (с большей аккуратностью) — групповой схемы над целыми числами.