Кіріспе
Шеңбердің диффеоморфизмі топологиялық түрде иррационалды айналымға теңдес болғанда, математикада Денжой теоремасы шеңбердің диффеоморфизмінің, атап айтқанда иррационалды айналымға топологиялық түрде теңдесуі үшін жеткілікті шартты береді. Ол теореманы шеңбердің гомеоморфизмдерін топологиялық жіктеу процесінде дәлелдеді. Сондай-ақ, ол иррационалды айналу саны бар, бірақ айналымға теңдеспейтін C1 диффеоморфизмінің мысалын келтірді.
In mathematics, the Denjoy theorem gives a sufficient condition for a diffeomorphism of the circle to be topologically conjugate to a diffeomorphism of a special kind, namely an irrational rotation. proved the theorem in the course of his topological classification of homeomorphisms of the circle. He also gave an example of a C1 diffeomorphism with an irrational rotation number that is not conjugate to a rotation.
Теореманың тұжырымдамасы
ƒ: S1 → S1 шеңбердің бағытын сақтайтын, айналу саны θ = ρ(ƒ) иррационал болатын диффеоморфизмі болсын. Оның оң туындысы ƒ(x) > 0 деп есептейік, бұл [0,1) аралығында шектелген өзгерісі бар үздіксіз функция. Онда ƒ, θ-мен иррационал айналысқа топологиялық түрлендіріледі. Әрі, әрбір орбита тығыз болады және шеңбердің кез келген тривиальды емес интервалы I, кейбір q > 0 үшін, өзінің алға жылжу бейнесі ƒ°q(I) -мен қиылысады (бұл ƒ-ның серуендемейтін жиыны бүкіл шеңбер екенін білдіреді).
Қосымшалар
Егер ƒ – C2 функция болса, онда туындыға қатысты болжам орындалады; алайда, кез келген иррационалды бұрылу саны үшін Денжой бұл шартты C1 дейін жеңілдетуге болмайтынын көрсететін мысал келтірді, яғни ƒ функциясының үздіксіз дифференциалдануы жеткіліксіз. Владимир Арнольд конъюгациялық функцияның тегіс болуы міндетті емес екенін көрсетті, тіпті шеңбердің аналитикалық диффеоморфизмі үшін де. Кейін Мишель Герман аналитикалық диффеоморфизмнің конъюгациялық функциясы "көптеген" бұрылу сандары үшін аналитикалық екенін дәлелдеді, атап айтқанда, толық Лебег өлшеміне ие жиынды құрайды, яғни рационал сандармен нашар жуықтауға болатын сандар үшін. Оның нәтижелері одан да жалпы және кез келген r ≥ 3 үшін Cr диффеоморфизмдерінің конъюгациялық функциясының дифференциалдану класын анықтайды.
Vladimir Arnold showed that the conjugating map need not be smooth, even for an analytic diffeomorphism of the circle. Later Michel Herman proved that nonetheless, the conjugating map of an analytic diffeomorphism is itself analytic for "most" rotation numbers, forming a set of full Lebesgue measure, namely, for those that are badly approximable by rational numbers. His results are even more general and specify differentiability class of the conjugating map for Cr diffeomorphisms with any r ≥ 3.