Введение

Когда диффеоморфизм окружности топологически сопряжён с иррациональным вращением, в математике теорема Денжоя предоставляет достаточное условие для того, чтобы диффеоморфизм окружности был топологически сопряжён с диффеоморфизмом особого типа, а именно с иррациональным вращением. Доказал эту теорему в процессе своей топологической классификации гомеоморфизмов окружности. Он также привёл пример диффеоморфизма класса C1 с иррациональным числом вращения, который не сопряжён с вращением.

Заявление теоремы

Пусть ƒ: S¹ → S¹ — диффеоморфизм окружности, сохраняющий ориентацию, число вращения которого θ = ρ(ƒ) иррационально. Предположим, что производная ƒ(x) > 0 положительна и является непрерывной функцией с ограниченной вариацией на интервале [0, 1). Тогда ƒ топологически сопряжен с иррациональным поворотом на угол θ. Более того, любая орбита плотна, и каждый нетривиальный интервал I окружности пересекает свой прямой образ ƒ°q(I) для некоторого q > 0 (это означает, что неблуждающее множество ƒ является всей окружностью).

Дополнения

Если ƒ является отображением класса C², то гипотеза относительно производной выполняется; однако, для любого иррационального числа вращения Денжой построил пример, показывающий, что это условие нельзя ослабить до C¹, то есть до непрерывной дифференцируемости ƒ. Владимир Арнольд показал, что сопрягающее отображение не обязано быть гладким, даже для аналитического диффеоморфизма окружности. Позже Мишель Герман доказал, что, тем не менее, сопрягающее отображение аналитического диффеоморфизма само является аналитическим для "большинства" чисел вращения, образуя множество полной меры Лебега, а именно для тех, которые плохо приближаются рациональными числами. Его результаты еще более общие и уточняют класс дифференцируемости сопрягающего отображения для Cr-диффеоморфизмов с любым r ≥ 3.