Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Толық сәйкес келетін қабат (PML) – толқын теңдеулері үшін жасалған жасанды сіңіру қабаты, көбінесе FDTD және FE әдістерінде ашық шекаралары бар мәселелерді модельдеу үшін сандық әдістерде есептеу аймақтарын шектеу үшін қолданылады. PML-ді жалпы сіңіру материалынан ерекшелендіретін негізгі қасиет – ол PML емес ортадан келетін толқындар интерфейсте шағылыспайтындай етіп жобаланған. Бұл қасиет PML-ге есептеу аймағының ішкі бөлігінен шығатын толқындарды оларды ішке қайтармай-ақ күшті сіңіруге мүмкіндік береді. PML алғаш рет 1994 жылы Беренгер Максвелл теңдеулерімен қолдану үшін ұсынды, содан бері Максвелл теңдеулері және басқа толқын теңдеулері үшін, мысалы, эластодинамика, сызықты Эйлер теңдеулері, Гельмгольц теңдеулері және кезекті серпімділік үшін бірнеше ұқсас түзетулер жасалды. Беренгердің бастапқы формуласы «бөлінген өріс PML» деп аталады, себебі ол PML аймағындағы электромагниттік өрістерді екі нақты емес өріске бөледі. Оның қарапайымдылығы мен тиімділігіне байланысты кең таралған кейінгі формула – бір осьті PML немесе UPML, онда PML жасанды анизотропты сіңіру материалы ретінде сипатталады. Беренгердің формуласы да, UPML да бастапқыда біртекті ортадан PML интерфейсіне түскен жазық толқындардың шағылыспау шартын қолмен құрастыру арқылы алынған, бірақ кейіннен екі формула да әлдеқайда элегантты және жалпы тәсілге тең екені көрсетілді: созылған координаттық PML. Атап айтқанда, PML координаттардың бірінің (немесе бірнешесінің) кешенді сандарға бейнеленген координаттық түрлендіруіне сәйкес келетіні көрсетілді; техникалық тұрғыдан алғанда, бұл толқын теңдеуінің кешенді координаттарға аналитикалық жалғасы болып табылады, осы арқылы таралатын (осцилляциялық) толқындар экспоненциалдық түрде өшетін толқындармен алмастырылады. Бұл көзқарас PML-ді толқын жетектері сияқты біртекті емес орталар үшін, сондай-ақ басқа координаттық жүйелер мен толқын теңдеулері үшін алуға мүмкіндік береді.
A perfectly matched layer (PML) is an artificial absorbing layer for wave equations, commonly used to truncate computational regions in numerical methods to simulate problems with open boundaries, especially in the FDTD and FE methods. The key property of a PML that distinguishes it from an ordinary absorbing material is that it is designed so that waves incident upon the PML from a non PML medium do not reflect at the interface—this property allows the PML to strongly absorb outgoing waves from the interior of a computational region without reflecting them back into the interior. PML was originally formulated by Berenger in 1994 for use with Maxwell's equations, and since that time there have been several related reformulations of PML for both Maxwell's equations and for other wave type equations, such as elastodynamics, the linearized Euler equations, Helmholtz equations, and poroelasticity. Berenger's original formulation is called a split field PML, because it splits the electromagnetic fields into two unphysical fields in the PML region. A later formulation that has become more popular because of its simplicity and efficiency is called uniaxial PML or UPML, in which the PML is described as an artificial anisotropic absorbing material. Although both Berenger's formulation and UPML were initially derived by manually constructing the conditions under which incident plane waves do not reflect from the PML interface from a homogeneous medium, both formulations were later shown to be equivalent to a much more elegant and general approach: stretched coordinate PML. In particular, PMLs were shown to correspond to a coordinate transformation in which one (or more) coordinates are mapped to complex numbers; more technically, this is actually an analytic continuation of the wave equation into complex coordinates, replacing propagating (oscillating) waves by exponentially decaying waves. This viewpoint allows PMLs to be derived for inhomogeneous media such as waveguides, as well as for other coordinate systems and wave equations.
Техникалық сипаттама
Нақтырақ айтқанда, х бағытында таралатын толқындарды сіңіруге арналған PML үшін толқын теңдеуіне келесі түрлендіру енгізіледі. Толқын теңдеуінде x туындысы пайда болған жерде ол:
Specifically, for a PML designed to absorb waves propagating in the x direction, the following transformation is included in the wave equation. Wherever an x derivative appears in the wave equation, it is replaced by:
мұндағы ω – бұрыштық жиілік, ал – x-тің бір функциясы. оң болған жағдайда таралатын толқындар әлсірейді, себебі:
where is the angular frequency and is some function of x. Wherever is positive, propagating waves are attenuated because:
біз +x бағытында таралатын жазық толқынды қарастырайық (for ) және трансформацияны (аналитикалық жалғастыруды) кешенді координаталарға қолданайық: , немесе эквивалентті түрде . Сол координаталық трансформация толқындардың x-ке тәуелділігі таралу тұрақтысы k болатын жағдайда әлсіреуіне себеп болады: бұл x осьпен белгілі бір бұрышта таралатын жазық толқындарды және толқынжолдың көлденең режимдерін қамтиды. Аталған координаталық трансформацияны түрлендірілген толқын теңдеулерінде өзгеріссіз қалдыруға болады немесе материалдық сипаттамамен (мысалы, Максвелл теңдеулеріндегі диэлектрлік және магниттік өткізгіштікпен) біріктіріп UPML сипаттамасын құруға болады. Коэффициент σ/ω жиілікке тәуелді, сондықтан әлсіреу жылдамдығы k/ω-ға пропорционалды, ол біртекті материалда (материалдық дисперсияны ескермегенде, мысалы, вакуум үшін) ω мен k арасындағы дисперсиялық қатынастың нәтижесінде жиіліктен тәуелсіз. Дегенмен, бұл жиілікке тәуелділік PML-ді уақыт доменінде жүзеге асыруды, мысалы, FDTD әдісінде, жиілікке тәуелсіз сіңіргішке қарағанда күрделі етеді және көмекші дифференциалдық теңдеуді (ADE) қажет етеді (эквивалентті түрде, уақыт доменінде i/ω интеграл немесе конволюция түрінде көрінеді). Өте сәйкес келген қабаттар бастапқы түрінде тек таралатын толқындарды ғана әлсіретеді; таза эванесцентті толқындар (экспоненциалды түрде ыдырайтын өрістер) PML-де тербеледі, бірақ одан тез ыдырамайды. Алайда, эванесцентті толқындардың әлсіреуін ПМЛ-ге нақты координаталық созуды қосу арқылы үдетуге болады: бұл жоғарыдағы өрнекте σ-ны кешенді санға айналдыруға сәйкес келеді, онда жолғары бөлігі эванесцентті толқындардың тез ыдырауына себеп болатын нақты координаталық созуды береді.
where we have taken a planewave propagating in the +x direction (for ) and applied the transformation (analytic continuation) to complex coordinates: , or equivalently The same coordinate transformation causes waves to attenuate whenever their x dependence is in the form for some propagation constant k: this includes planewaves propagating at some angle with the x axis and also transverse modes of a waveguide. The above coordinate transformation can be left as is in the transformed wave equations, or can be combined with the material description (e. g. the permittivity and permeability in Maxwell's equations) to form a UPML description. The coefficient σ/ω depends upon frequency—this is so the attenuation rate is proportional to k/ω, which is independent of frequency in a homogeneous material (not including material dispersion, e. g. for vacuum) because of the dispersion relation between ω and k. However, this frequency dependence means that a time domain implementation of PML, e. g. in the FDTD method, is more complicated than for a frequency independent absorber, and involves the auxiliary differential equation (ADE) approach (equivalently, i/ω appears as an integral or convolution in time domain). Perfectly matched layers, in their original form, only attenuate propagating waves; purely evanescent waves (exponentially decaying fields) oscillate in the PML but do not decay more quickly. However, the attenuation of evanescent waves can also be accelerated by including a real coordinate stretching in the PML: this corresponds to making σ in the above expression a complex number, where the imaginary part yields a real coordinate stretching that causes evanescent waves to decay more quickly.
Кемелді үйлесімді қабаттардың шектеулері
PML кеңінен қолданылады және есептеу электромагнетизмінде абсорбциялық шекара шарты ретінде таңдау жасалады. Құрметтісіміз, сол жақ ортада (барлық толқындар кері таралатында) қарапайым шешім бар: σ белгісін кері өзгертіңіз. Дегенмен, қиындық сол, физикалық сол жақ материалдар дисперсиялық болады: олар тек белгілі бір жиілік диапазонында ғана сол жаққа қарайтын болады, сондықтан σ коэффициентін жиілікке тәуелді ету қажет. Өкінішке орай, тіпті ерекше материалдарсыз да, кейбір толқын жетекші құрылымдарды (мысалы, ортасында жоғары көрсеткішті цилиндрлі қуыс металл түтік) құруға болады, олар бір жиілікте кері және алға қарай таралатын толқын шешімдерін көрсетеді, сондықтан σ үшін кез келген белгіні таңдау экспоненциалды өсуға алып келеді, және мұндай жағдайларда PML қайта қалпына келмейтіндей тұрақсыз болып көрінеді. ПМЛ-дің тағы бір маңызды шектеуі – ортаның шекараға перпендикуляр бағытта инвариантты болуын қажет етуі, бұл шешімнің күрделі координаталарға аналитикалық жалғасылуын қамтамасыз етеді ("координаталарды созу"). Салдарынан, ПМЛ әдісі енді периодты орталар (мысалы, фотондық кристалдар немесе фонондық кристалдар) немесе тіпті шекараға көлбеу бұрышпен кіретін толқын жетектері үшін жарамсыз болады (шексіз ажыратылымда толыққанды шағылыс болмайды).
PML is widely used and has become the absorbing boundary technique of choice in much of computational electromagnetism. Fortunately, there is a simple solution in a left handed medium (for which all waves are backwards): merely flip the sign of σ. A complication, however, is that physical left handed materials are dispersive: they are only left handed within a certain frequency range, and therefore the σ coefficient must be made frequency dependent. Unfortunately, even without exotic materials, one can design certain waveguiding structures (such as a hollow metal tube with a high index cylinder in its center) that exhibit both backwards and forwards wave solutions at the same frequency, such that any sign choice for σ will lead to exponential growth, and in such cases PML appears to be irrecoverably unstable. Another important limitation of PML is that it requires that the medium be invariant in the direction orthogonal to the boundary, in order to support the analytic continuation of the solution to complex coordinates (the complex "coordinate stretching"). As a consequence, the PML approach is no longer valid (no longer reflectionless at infinite resolution) in the case of periodic media (e. g. photonic crystals or phononic crystals) or even simply a waveguide that enters the boundary at an oblique angle.