Введение

Совершенно согласованный слой (PML) — это искусственный поглощающий слой для волновых уравнений, обычно используемый для обрезания вычислительных областей в численных методах при моделировании задач с открытыми границами, особенно в методах FDTD и FE. Ключевое свойство PML, отличающее его от обычного поглощающего материала, заключается в том, что он разработан таким образом, чтобы волны, падающие на PML из среды, не являющейся PML, не отражались на границе раздела. Это свойство позволяет PML эффективно поглощать исходящие волны из внутренней части вычислительной области, не отражая их обратно внутрь. PML был первоначально предложен Беренгером в 1994 году для использования с уравнениями Максвелла, и с тех пор было разработано несколько связанных переформулировок PML как для уравнений Максвелла, так и для других уравнений волнового типа, таких как эластодинамика, линеаризованные уравнения Эйлера, уравнения Гельмгольца и пороупругость. Оригинальная формулировка Беренгера называется PML с разделением полей, поскольку она разделяет электромагнитные поля на два нефизических поля в области PML. Более поздняя формулировка, получившая большую популярность благодаря своей простоте и эффективности, называется одноосевым PML или UPML, в которой PML описывается как искусственный анизотропный поглощающий материал. Хотя и формулировка Беренгера, и UPML изначально были получены путем ручного построения условий, при которых падающие плоские волны не отражаются от границы раздела PML из однородной среды, обе формулировки позже были показаны эквивалентными гораздо более элегантному и общему подходу: PML с растянутыми координатами. В частности, было показано, что PML соответствуют преобразованию координат, в котором одна (или несколько) координат отображаются на комплексные числа; более точно, это фактически аналитическое продолжение волнового уравнения в комплексные координаты, заменяющее распространяющиеся (колеблющиеся) волны экспоненциально затухающими волнами. Эта точка зрения позволяет получать PML для неоднородных сред, таких как волноводы, а также для других систем координат и волновых уравнений.

Техническое описание

В частности, для PML, предназначенного для поглощения волн, распространяющихся в направлении x, в волновое уравнение включается следующее преобразование. Где бы ни появлялась производная по x в волновом уравнении, она заменяется на:

где ω – угловая частота, а – некоторая функция от x. Где бы ни было положительным, распространяющиеся волны ослабляются, поскольку:

где мы рассматриваем плоскую волну, распространяющуюся в направлении +x (при x > 0), и применили преобразование (аналитическое продолжение) к комплексным координатам: , или, эквивалентно, . То же самое преобразование координат вызывает ослабление волн, когда их зависимость от x имеет вид для некоторой постоянной распространения k: это включает в себя плоские волны, распространяющиеся под некоторым углом к оси x, а также поперечные моды волновода. Вышеуказанное преобразование координат может быть оставлено в преобразованных волновых уравнениях или объединено с описанием материала (например, диэлектрической и магнитной проницаемостями в уравнениях Максвелла) для формирования описания UPML. Коэффициент σ/ω зависит от частоты, поэтому скорость затухания пропорциональна k/ω, которая не зависит от частоты в однородных материалах (исключая материальную дисперсию, например, для вакуума) из-за дисперсионного соотношения между ω и k. Однако эта частотная зависимость означает, что реализация PML во временной области, например, в методе FDTD, сложнее, чем для поглотителя, не зависящего от частоты, и включает в себя подход вспомогательного дифференциального уравнения (ADE) (эквивалентно, i/ω появляется как интеграл или свёртка во временной области). Идеально согласованные слои в своей первоначальной форме ослабляют только распространяющиеся волны; чисто затухающие волны (поля, экспоненциально убывающие) колеблются в PML, но не затухают быстрее. Однако затухание затухающих волн также может быть ускорено путем включения растяжения координат в PML: это соответствует тому, чтобы сделать σ в вышеуказанном выражении комплексным числом, где мнимая часть определяет растяжение координат, которое заставляет затухающие волны затухать быстрее.

Ограничения идеально совпадающих слоев

PML широко используется и стал методом поглошающей границы по умолчанию во многих областях вычислительной электродинамики. К счастью, для леворуких сред (в которых все волны распространяются в обратном направлении) существует простое решение: достаточно изменить знак σ. Однако возникает сложность, поскольку физические леворукие материалы дисперсны: они проявляют леворукость только в определенном диапазоне частот, поэтому коэффициент σ необходимо сделать частотно-зависимым. К сожалению, даже без использования экзотических материалов можно создать определенные волноводные структуры (например, полые металлические трубки с цилиндром с высоким показателем преломления в центре), которые поддерживают как обратные, так и прямые волновые решения на одной и той же частоте, в результате чего любой выбор знака для σ приводит к экспоненциальному росту, и в таких случаях PML становится необратимо нестабильным. Важным ограничением PML также является требование инвариантности среды в направлении, ортогональном границе, для обеспечения аналитического продолжения решения в комплексные координаты (комплексное "растяжение координат"). Следовательно, подход PML перестает быть применимым (перестает быть идеально поглощающим при бесконечном разрешении) для периодических сред (например, фотонных или фононных кристаллов) или даже для волновода, входящего в границу под углом.