Кіріспе
Категориялар теориясындағы ұғым. Категориялар теориясында моноиділдік функторлар — моноиділдік құрылымды сақтайтын моноиділдік категориялар арасындағы функторлар. Нақтырақ айтқанда, екі моноиділдік категория арасындағы моноиділдік функтор категориялар арасындағы функтордан және екі когеренттік картадан — табиғи түрлендіру мен морфизмнен тұрады, олар тиісінше моноиділдік көбейтуді және бірлікті сақтайды. Математиктер осы когеренттік карталардың моноиділдік құрылымды қаншалықты қатаң сақтау қажеттігіне байланысты қосымша қасиеттерді қанағаттандыруын талап етеді; осы қасиеттердің әрқайсысы моноиділдік функторлардың сәл өзгеше анықтамасын береді. Лакс моноиділдік функторлардың когеренттік карталары қосымша қасиеттерді қанағаттандырмайды; олар міндетті түрде инверттік болмайды. Қатты моноиділдік функторлардың когеренттік карталары инверттік болады. Қатаң моноиділдік функторлардың когеренттік карталары сәйкестік карталары болып табылады. Біз осы әртүрлі анықтамаларды ерекшелеп көрсетсек те, авторлар осылардың кез келгенін жай ғана моноиділдік функторлар деп атауы мүмкін.
In category theory, monoidal functors are functors between monoidal categories which preserve the monoidal structure. More specifically, a monoidal functor between two monoidal categories consists of a functor between the categories, along with two coherence maps—a natural transformation and a morphism that preserve monoidal multiplication and unit, respectively. Mathematicians require these coherence maps to satisfy additional properties depending on how strictly they want to preserve the monoidal structure; each of these properties gives rise to a slightly different definition of monoidal functors
The coherence maps of lax monoidal functors satisfy no additional properties; they are not necessarily invertible. The coherence maps of strong monoidal functors are invertible. The coherence maps of strict monoidal functors are identity maps. Although we distinguish between these different definitions here, authors may call any one of these simply monoidal functors.
Мысалдар
Абельдік топтар санатынан жиындар санатына дейінгі негізгі функтор. Бұл жағдайда, бейнелеу (a, b) жұбын 1-ге жібереді. Егер (коммутативті) сақина болса, онда еркін функтор қатты моноидалдық функторға дейін кеңейтіледі (сондай-ақ, егер ол коммутативті болса). Егер коммутативті сақиналардың гомоморфизмі болса, онда шектеу функторы моноидалды, ал индукциялық функтор қатты моноидалды болады. Симметриялық моноидалдық функтордың маңызды мысалы – жақында жасалған топологиялық кванттық өріс теориясының математикалық моделі. n-1, n өлшемді көпқырлылардың кобордизмдер санаты, тензорлық көбейтіндісі ажыратылған біріктіру арқылы берілген, ал бірлік – бос көпқырлы. n өлшемдегі топологиялық кванттық өріс теориясы – симметриялық моноидалдық функтор. Гомологиялық функтор көрсетілген бейнелеу арқылы моноидалды болады.
The homology functor is monoidal as via the map .
Қасиеттері
Егер - нысан болса, онда - нысан болады.