Введение
Концепция в теории категорий
В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями, сохраняющие моноидальную структуру. Более конкретно, моноидальный функтор между двумя моноидальными категориями состоит из функтора между категориями, а также из двух когерентных отображений — естественного преобразования и морфизма, сохраняющих моноидальное умножение и единицу соответственно. Математики требуют, чтобы эти когерентные отображения удовлетворяли дополнительным свойствам в зависимости от того, насколько строго требуется сохранять моноидальную структуру; каждое из этих свойств порождает несколько иное определение моноидальных функторов.
In category theory, monoidal functors are functors between monoidal categories which preserve the monoidal structure. More specifically, a monoidal functor between two monoidal categories consists of a functor between the categories, along with two coherence maps—a natural transformation and a morphism that preserve monoidal multiplication and unit, respectively. Mathematicians require these coherence maps to satisfy additional properties depending on how strictly they want to preserve the monoidal structure; each of these properties gives rise to a slightly different definition of monoidal functors
Когерентные отображения слабых моноидальных функторов не удовлетворяют никаким дополнительным свойствам; они не обязательно обратимы. Когерентные отображения сильных моноидальных функторов обратимы. Когерентные отображения строгих моноидальных функторов являются тождественными отображениями. Хотя мы различаем эти различные определения, авторы могут называть любое из них просто моноидальными функторами.
Примеры
Основной функтор из категории абелевых групп в категорию множеств. В этом случае отображение посылает (a, b) в ; отображение посылает в 1. Если R – (коммутативное) кольцо, то свободный функтор расширяется до сильно моноидального функтора (а также, если R коммутативно). Если f – гомоморфизм коммутативных колец, то функтор ограничения является моноидальным, а функтор индукции – сильно моноидальным. Важным примером симметричного моноидального функтора является математическая модель топологической квантовой теории поля, которая была недавно разработана. Пусть C – категория кобордизмов n+1, n-мерных многообразий с тензорным произведением, заданным непересекающимся объединением, и единицей – пустое многообразие. Топологическая квантовая теория поля в размерности n – симметричный моноидальный функтор. Гомологический функтор моноидален как , посредством отображения .
The homology functor is monoidal as via the map .
Свойства
Если является моноидным объектом в , то является моноидным объектом в .