Кіріспе

Алгебралық түрлер үшін гомология топтарының аналогтары Алгебралық геометрияда кез келген өрістегі алгебралық түрлердің Чоу топтары (Вей Лян Чоудың атымен аталған) топологиялық кеңістіктің гомологиясының алгебралық-геометриялық аналогтары болып табылады. Чоу тобының элементтері субварианттардан (алгебралық циклдар деп аталады) қарапайым немесе жасушалық гомология топтарының субкомплекстерден құрылғандай ұқсас түрде құралады. Түрлілік тегіс болған жағдайда, Чоу топтарын кохомология топтары ретінде қарастыруға болады (Пуанкаре дуалдығымен салыстырыңыз) және олар қиылысу көбейтіндісі деп аталатын көбею операциясына ие. Чоу топтары алгебралық түрлер туралы мол ақпаратты сақтайды, сондықтан оларды жалпы жағдайда есептеу қиын.

Проективті кеңістіктегі рационалды балама

Гиперүстіңектермен анықталатын рационалды түрде баламалы циклдерді проективті кеңістікте салу оңай, өйткені олардың бәрін бірдей векторлық шоғырдың жоғалып кететін локустары ретінде құруға болады. Мысалы, екі біртекті полиномды, дәрежесі , яғни , деп алғанда, біз жоғалып кететін локус ретінде анықталатын гиперүстіңектер отбасын құрастыра аламыз. Схемалық түрде, бұл проекцияны пайдаланып құрылуы мүмкін:

Бұл проекция арқылы, бір нүктенің үстіндегі талшық, проективті гиперүстіңекпен анықталады. Бұл, дәрежесі бар әр гиперүстіңек циклінің класы рационалды түрде эквивалентті екенін көрсетуге мүмкіндік береді, себебі рационалды эквиваленттілікті орнатуға болады. Локус - бұл , және оның цикл класының коэффициенті болып табылатын көбейту санына ие.

Сызықтағы циклдердің рационалды баламасы

Егер біз тегіс проекциялық қисықта екі әртүрлі сызық шоғырын алсақ, онда екі сызық шоғырының жалпы қимасының жоғалу орындары осы қисықта тең емес циклдық кластарды анықтайды. Себебі тегіс сорттар үшін, сондықтан және сызық шоғырларының бөлгіш кластары тең емес кластарды анықтайды.

Шоу сақинасы

Егер схема бір өріс үстінде тегіс болса, Чоу топтары тек бір сыныпталған абельдік топ емес, сақина құрайды. Атап айтқанда, егер схема өріс үстінде тегіс болса, онда кодименсиясы циклдердің Чоу тобы деп анықтаймыз (Егер схема өлшемді болса, бұл тек соны білдіреді). Содан кейін топтар көбейтіндімен коммутативті сыныпталған сақинаны құрайды:

Көбейтінді алгебралық циклдердің қиылысуынан туындайды. Мысалы, егер және схеманың тегіс кіші түрлері болса, олардың кодименсиялары сәйкесінше және болса, және егер олар көлденең қиысса, онда -тағы көбейтіндісі қиылыстың азайтылмайтын компоненттерінің қосындысына тең болады, олардың барлығы кодименсияға ие. Көбірек жағдайларда қиылысу теориясы Чоу сақинасындағы көбейтіндіні көрсететін нақты цикл құрастырады. Мысалы, егер және схеманың толықтыратын өлшемдегі кіші түрлері болса (яғни олардың өлшемдері схеманың өлшеміне тең), және олардың қиылысы нөлдік өлшемді болса, онда көбейтінді қиылысу сандары деп аталатын коэффициенттері бар қиылысу нүктелерінің қосындысына тең болады. Кез келген кіші түрлері және схеманың тегіс схемасы үшін, қиылыстың өлшеміне қатысты ешқандай болжам жасамай, Уильям Фултон мен Роберт Макферсонның қиылысу теориясы Чоу топтарының канондық элементін құрастырады, оның Чоу топтарындағы бейнесі көбейтінді болып табылады.

Жобалық түйін формуласы

Өрістегі тегіс және толық схемадағы дәрежесі r болатын векторлық бума берілгенде, байланысты проективті буманың Чоу сақинасын, бастапқы схеманың Чоу сақинасы мен векторлық буманың Черн кластарын қолданып есептеуге болады. Егер біз және векторлық буманың Черн кластарын белгілесек, онда сақиналар изоморфизмі бар:

Хирзебрух беттері

Мысалы, Хирцебрух бетінің Чоу сақинасын проективті шоғыр формуласын қолдану арқылы оңай есептеуге болады. Естеріңізге сала кетейік, ол мынадай түрде құрастырылған: . Содан кейін, осы векторлық шоғырдың жалғыз тривиальды емес Черн класы болып табылады. Бұл Чоу сақинасы изоморфты екенін көрсетеді.

Ескертпелер

Басқа алгебралық сорттар үшін Чоу топтарының мінез-құлқы күрделірек болуы мүмкін. Мысалы, бір өріс үстіндегі эллипстік қисық болсын. Содан кейін қисығындағы нөлдік циклдердің Чоу тобы дәл тізбекке кіреді:

Осылайша, эллипстік қисықтың Чоу тобы қисығының рационалдық нүктелер тобымен тығыз байланысты. Егер сандық өріс болса, тобы қисығының Морделл-Вейль тобы деп аталады, ал осы топты түсінуге бағытталған зерттеулер сандар теориясының ең терең мәселелерінің бірі болып табылады. Егер кешенді сандар болса, эллипстік қисықтың мысалы Чоу топтарының санаусыз абельдік топтар бола алатынын көрсетеді.

Функционалдылық

Схемалардың үстіне тиісті морфизмі үшін, әрбір бүтін санға сәйкес алға жылжыту гомоморфизмі бар. Мысалы, егер схема үстіне тиісті болса, онда бұл гомоморфизмді аламыз, ол схемадағы жабық нүктенің үстіндегі дәрежесіне жібереді (схемадағы жабық нүкте , мұнда – өрістің шектеулі кеңейтілуі, ал оның дәрежесі – өрістің дәрежесін білдіреді). Талшықтарының өлшемі (бос болуы мүмкін) бар схемалардың жалпақ морфизмі үшін гомоморфизм бар. Чоу топтары үшін маңызды есептеу құралы – келесі локализация тізбегі. Егер схема өңдеу өрісінің үстінде жатса және оның жабық қосалқы схемасы болса, онда дәл тізбек бар:

мұнда бірінші гомоморфизм – тиісті морфизмге байланысты алға жылжыту, ал екінші гомоморфизм – жалпақ морфизмге қатысты кері тарту. Локализация тізбегін Чоу топтарының жалпыламасы – (Боррель-Мур) мотивтік гомология топтары (сонымен қатар жоғары Чоу топтары деп те аталады) арқылы солға қарай кеңейтуге болады. Кез келген тегіс схемалардың морфизмі үшін кері тарту гомоморфизмі бар, ол шындығында сақина гомоморфизмі болып табылады.

Жазық кері қайтпау үлгілері

Ескеріңіз, кері мысалдарды кеңейтулерді пайдаланып құрастыруға болады; мысалы, егер біз нүктенің кеңейтуін алсақ, онда бастапқы нүктедегі талшық -ке изоморфты болады.

К-теориясымен байланысы

X өрісі бойынша тегіс схемадағы E (алгебралық) векторлық бундельдің CHi(X)-те Черн кластары cі(E) болады, олардың формальды қасиеттері топологиядағыдай. Черн кластары векторлық бундельдер мен Чоу топтары арасындағы тығыз байланысты көрсетеді. Атап айтқанда, K0(X) – X схемасындағы векторлық бундельдердің Grothendieck тобы болсын. Grothendieck-Riemann-Roch теоремасының бір бөлігі ретінде, Grothendieck Черн сипаттамасы изоморфизм беретінін көрсетті:

Бұл изоморфизм алгебралық циклдердегі кез келген басқа да лайықты теңдестік қатынасына қарағанда рационалдық теңдестіктің маңыздылығын көрсетеді.

Болжамдар

Алгебралық геометрия мен сандар теориясындағы ең терең болжамдар — Чоу топтарын түсінуге бағытталған тырастықтар. Мысалы:

Морделл–Вейль теоремасы CHn-1(X) бөлгіш кластық тобының кез келген n өлшемді X алгебралық қисығы үшін сандық өріс үстінде шекті түрде туындайтынын көрсетеді. Сандық өріс үстіндегі кез келген алгебралық қисық үшін барлық Чоу топтары шекті түрде туындай ма, жоқ па – бұл ашық мәселе. L-функцияларының мәндері туралы Блох–Като болжамы осы топтардың шекті түрде туындайтынын болжайды. Сонымен қатар, гомологиялық эквиваленттілік бойынша циклдер тобының және гомологиялық түрде нөлге эквивалентті циклдер тобының ранкі берілген алгебралық қисықтың L-функциясының белгілі бір бүтін нүктелердегі жоғалу ретіне тең болуы керек. Осы ранкенің шектілігі алгебралық K-теориядағы Басс болжамынан да туындайды. Х тегіс күрделі проективті алгебралық қисық болса, Ходж болжамы Чоу топтарынан сингулярлық когомологияға дейінгі циклдік бейненің (рационалдармен Q тензорланған) бейнесін болжайды. Шекті түрде туындайтын өріс үстіндегі (мысалы, шекті өріс немесе сандық өріс) тегіс проективті алгебралық қисық үшін Тейт болжамы Чоу топтарынан l-адық когомологияға дейінгі циклдік бейненің (Ql-мен тензорланған) бейнесін болжайды. Кез келген өріс үстіндегі Х тегіс проективті алгебралық қисық болса, Блох–Бейлинсон болжамы Х-тың Чоу топтарында (рационалдармен тензорланған) күшті қасиеттері бар сүзгіні болжайды. Бұл болжам Х-тың сингулярлық немесе этальдық когомологиясы мен Х-тың Чоу топтары арасындағы тығыз байланысты білдіреді. Мысалы, X тегіс күрделі проективті бет болсын. X-тегі нөлдік циклдердің Чоу тобы градус гомоморфизмі арқылы бүтін сандарға бейнеленеді; K ядросын алсын. Егер геометриялық гендер h0(X, Ω2) нөлге тең болмаса, Мамфорд K-ның «шексіз өлшемді» екенін (X-тегі нөлдік циклдердің кез келген шекті өлшемді отбасының бейнесі емес) көрсетті. Блох–Бейлинсон болжамы қанағаттанарлық керісінше, нөлдік циклдердегі Блох болжамын білдіреді: геометриялық гендері нөлге тең тегіс күрделі проективті бет X үшін K шекті өлшемді болуы керек; нақтырақ айтқанда, ол X-тың албандық сортына байланысты күрделі нүктелер тобына изоморфты түрде бейнеленуі керек.

Бивариантты теория

Фултон мен Макферсон "операциялық Чоу сақинасын" анықтап, Чоу сақинасын дара сорттарға дейін кеңейтті, сондай-ақ кез келген схема морфизміне қатысты жалпы бивариантты теорияны ұсынды. Бивариантты теория – бұл картаға топты және сақинаны сәйкесінше тағайындайтын ковариантты және контравариантты функторлардың жұбы. Ол кохомология теориясын жалпылайды, яғни кеңістікке сақинаны, атап айтқанда кохомология сақинасын тағайындайтын контравариантты функтор. "Бивариантты" деген атау осы теорияда ковариантты және контравариантты функторлардың екеуі де бар екенін көрсетеді. Бұл, белгілі бір мағынада, Чоу сақинасын дара сорттарға кеңейтудің ең қарапайым түрі болып табылады; мотивтік кохомология сияқты басқа теориялар операциялық Чоу сақинасына көшіріледі.

Басқа нұсқалар

Арифметикалық Чоу топтары – Q-дағы сорттардың Чоу топтарының қосындысы, сонымен қатар Аракелов теориялық ақпаратты кодтаушы компонент, яғни байланысты жататын күрделі манифольдтағы дифференциалдық формалар. Схемалардың шекті типтегі Чоу топтарының теориясы алгебралық кеңістіктерге оңай кеңейтіледі. Бұл кеңейтудің басты артықшылығы – соңғы санаттағы бөлшектерді құру оңайрақ, демек алгебралық кеңістіктердің эквивариантты Чоу топтарын қарастыру ыңғайлы. Әлдеқайда қиын кеңейту – бұл тек кейбір ерекше жағдайларда ғана құрылған және виртуалды негізгі класс түсінігін қалыптастыру үшін қажет стектің Чоу тобы.

Тарих

Рационалдық эквиваленттілік (сызықтық эквиваленттілік деп аталады) 19 ғасырда әртүрлі нысандарда зерттелді, сандар теориясындағы идеалдық класс тобына және алгебралық қисықтар теориясындағы Якобиандық әртүрлілікке алып келді. Жоғары кодименсиялы циклдар үшін рационалдық эквиваленттілікті Франческо Севери 1930 жылдары енгізді. 1956 жылы Вей Лян Чжоу Чжоудың жылжымалы леммасын қолдана отырып, тегіс квазипроективті әртүрліліктердегі циклдар модулі бойынша рационалдық эквиваленттілікке қатысты қиылыс көбейтіндісінің дұрыс анықталғанын дәлелдеді. 1970 жылдардан бастап Фултон және Макферсон мүмкіндігінше жекеше әртүрліліктермен жұмыс істеп, Чоу топтарының қазіргі стандартты негізін құрды. Олардың теориясында тегіс әртүрліліктер үшін қиылыс көбейтіндісі нормальді конусқа деформация арқылы салынады.