Введение

Аналоги гомологических групп для алгебраических многообразий
В алгебраической геометрии группы Чоу (названные в честь Вэй Лян Чоу) алгебраического многообразия над любым полем являются алгебро-геометрическими аналогами гомологии топологического пространства. Элементы группы Чоу формируются из подмногообразий (так называемых алгебраических циклов) аналогично тому, как симплициальные или клеточные гомологические группы формируются из подкомплексов. Когда многообразие гладкое, группы Чоу можно интерпретировать как группы когомологий (сравните двойственность Пуанкаре) и обладают умножением, называемым произведением пересечений. Группы Чоу содержат богатую информацию об алгебраическом многообразии и, соответственно, в общем случае их сложно вычислить.

Рациональная эквивалентность в проективном пространстве

Рационально эквивалентные циклы, заданные гиперповерхностями, легко построить на проективном пространстве, поскольку все они могут быть построены как локусы нулей одного и того же векторного расслоения. Например, задав два однородных многочлена степени *d*, то есть *f* и *g*, мы можем построить семейство гиперповерхностей, определяемое как локус нулей схемы Схематически это можно построить как

используя проекцию , мы видим, что волокно над точкой является проективной гиперповерхностью, заданной Это можно использовать для доказательства того, что класс цикла каждой гиперповерхности степени *d* рационально эквивалентен , поскольку можно использовать для установления рациональной эквивалентности. Заметим, что локус является и имеет кратность , которая является коэффициентом в его классе цикла.

Рациональная эквивалентность циклов по кривой

Если мы возьмем два различных линейных расслоения гладкой проективной кривой, то локусы исчезновения общего сечения обоих линейных расслоений определяют неэквивалентные классы циклов в . Это происходит потому, что для гладких многообразий, следовательно, классы дивизоров и определяют неэквивалентные классы.

Кольцо Чоу

Когда схема гладкая над полем, группы Чоу образуют кольцо, а не просто градуированную абелеву группу. А именно, если схема гладкая над полем , то определяется как группа Чоу циклов кодимензии на схеме (Когда – многообразие размерности , это просто означает, что ). Тогда группы образуют коммутативное градуированное кольцо с произведением:

Произведение возникает из пересечения алгебраических циклов. Например, если и – гладкие подмногообразия кодимензий и соответственно, и если и пересекаются трансверсально, то произведение в равно сумме неразложимых компонент пересечения , все из которых имеют кодимензию . В более общем случае, в различных ситуациях теория пересечений строит явный цикл, представляющий произведение в кольце Чоу. Например, если и – подмногообразия комплементарной размерности (то есть сумма их размерностей равна размерности ) и их пересечение имеет размерность нуль, то равно сумме точек пересечения с коэффициентами, называемыми числами пересечения. Для любых подмногообразий и гладкой схемы над полем , без каких-либо предположений о размерности пересечения, теория пересечений Уильяма Фултона и Роберта Макферсона строит канонический элемент групп Чоу схемы , образ которого в группах Чоу схемы равен произведению .

Формула проективного пучка

Для векторного расслоения ранга над гладкой собственной схемой над полем, кольцо Чау соответствующего проективного расслоения можно вычислить, используя кольцо Чау и классы Черна. Если обозначить классы Черна через , то существует изоморфизм колец:

Поверхности Хирцебруха

Например, кольцо Чоу поверхности Хирцебруха можно легко вычислить, используя формулу проективного расслоения. Вспомним, что оно построено как над Тогда единственный нетривиальный класс Черна этого векторного расслоения равен Это означает, что кольцо Чоу изоморфно.

Замечания

Для других алгебраических многообразий группы Чоу могут демонстрировать более сложное поведение. Например, пусть E — эллиптическая кривая над полем K. Тогда группа Чоу нулевых циклов на E вписывается в точную последовательность.

Таким образом, группа Чоу эллиптической кривой E тесно связана с группой K рациональных точек E. Когда K — числовое поле, эта группа называется группой Морделла — Вейля E, и некоторые из самых глубоких проблем в теории чисел состоят в попытках понять эту группу. Когда K — комплексные числа, пример эллиптической кривой показывает, что группы Чоу могут быть счетными абелевыми группами.

Функциональность

Для правильного морфизма схем над , существует прямое отображение (pushforward) для каждого целого числа. Например, для правильной схемы над , это дает гомоморфизм , который отображает замкнутую точку в ее степень над (замкнутая точка в имеет вид для конечного расширения поля , а ее степень означает степень поля над ). Для плоского морфизма схем над с волокнами размерности (возможно, пустых), существует гомоморфизм .

Ключевым вычислительным инструментом для групп Чоу является последовательность локализации, которая выглядит следующим образом. Для схемы над полем и замкнутой подсхемы , существует точная последовательность

где первый гомоморфизм – это прямое отображение, связанное с правильным морфизмом , а второй гомоморфизм – обратное отображение (pullback) относительно плоского морфизма . Последовательность локализации можно расширить влево, используя обобщение групп Чоу, (Borel–Moore) мотивные группы гомологии, также известные как высшие группы Чоу. Для любого морфизма гладких схем над , существует обратный гомоморфизм , который фактически является гомоморфизмом колец.

Примеры плоских отступлений

Обратите внимание, что контрпримеры можно построить с помощью раздутий; например, если мы возьмем раздутие начала координат в ℂ², то волокно над началом координат изоморфно ℙ¹.

Связь с К-теорией

(Алгебраический) векторный пучок E на гладкой схеме X над полем имеет классы Черна ci(E) в CHi(X), обладающие теми же формальными свойствами, что и в топологии. Классы Черна устанавливают тесную связь между векторными пучками и группами Чоу. А именно, пусть K0(X) — группа Гротендика векторных пучков на X. В рамках теоремы Гротендика — Римана — Роха, Гротендик показал, что характер Черна задает изоморфизм. Этот изоморфизм демонстрирует важность рациональной эквивалентности по сравнению с любым другим адекватным отношением эквивалентности на алгебраических циклах.

Предположения

Некоторые из самых глубоких гипотез в алгебраической геометрии и теории чисел — это попытки понять группы Чоу. Например:

Теорема Морделла — Вейля утверждает, что группа делителей класса CHn-1(X) конечно порождена для любого многообразия X размерности n над числовым полем. Открытым остаётся вопрос, конечно ли порождены все группы Чоу для каждого многообразия над числовым полем. Гипотеза Блоха — Като о значениях L-функций предсказывает, что эти группы конечно порождены. Более того, ранг группы циклов по модулю гомологической эквивалентности, а также группы циклов, гомологически эквивалентных нулю, должен быть равен порядку исчезновения L-функции данного многообразия в определённых целых точках. Конечность этих рангов также следует из гипотезы Басса в алгебраической K-теории. Для гладкого комплексного проективного многообразия X гипотеза Ходжа предсказывает образ (тензорированный с рациональными числами Q) отображения циклов из групп Чоу в сингулярную когомологию. Для гладкого проективного многообразия над конечно порождённым полем (например, конечным полем или числовым полем) гипотеза Тейта предсказывает образ (тензорированный с Ql) отображения циклов из групп Чоу в l-адическую когомологию. Для гладкого проективного многообразия X над любым полем гипотеза Блоха — Бейлинсона предсказывает фильтрацию на группах Чоу X (тензорированных с рациональными числами) с сильными свойствами. Эта гипотеза подразумевает тесную связь между сингулярной или этальной когомологией X и группами Чоу X. Например, пусть X — гладкая комплексная проективная поверхность. Группа Чоу нулевых циклов на X отображается на целые числа посредством гомоморфизма степени; пусть K — ядро этого отображения. Если геометрический род h0(X, Ω2) не равен нулю, Мамфорд показал, что K является «бесконечномерным» (не является образом какой-либо конечномерной семьи нулевых циклов на X). Гипотеза Блоха — Бейлинсона подразумевает удовлетворительное обратное утверждение, гипотезу Блоха о нулевых циклах: для гладкой комплексной проективной поверхности X с геометрическим родом, равным нулю, K должен быть конечномерным; точнее, он должен изоморфно отображаться в группу комплексных точек албанезы X.

Бивариантная теория

Фултон и Макферсон расширили кольцо Чоу на сингулярные многообразия, определив "операционное кольцо Чоу" и, в более общем случае, бивариантную теорию, связанную с любым морфизмом схем. Бивариантная теория — это пара ковариантных и контравариантных функторов, которые сопоставляют отображению группу и кольцо соответственно. Она обобщает теорию когомологий, являющуюся контравариантным функтором, сопоставляющим пространству кольцо, а именно кольцо когомологий. Название "бивариантный" отражает тот факт, что теория содержит как ковариантные, так и контравариантные функторы. Это, в некотором смысле, наиболее элементарное расширение кольца Чоу на сингулярные многообразия; другие теории, такие как мотивная когомология, отображаются в операционное кольцо Чоу.

Другие варианты

Арифметические группы Чау — это объединение групп Чау многообразий над Q с компонентой, кодирующей информацию теории Аракелова, то есть дифференциальные формы на соответствующем комплексном многообразии. Теория групп Чау схем конечного типа над полем легко переносится на случай алгебраических пространств. Главное преимущество этого расширения состоит в том, что в последней категории легче строить факторгруппы, и поэтому естественнее рассматривать эквивариантные группы Чау алгебраических пространств. Гораздо более сложной задачей является расширение на случай группы Чау стека, которая построена лишь в некоторых частных случаях и необходима, в частности, для определения виртуального фундаментального класса.

История

Рациональная эквивалентность делителей (известная как линейная эквивалентность) изучалась в различных формах на протяжении 19-го века, что привело к возникновению группы классов идеалов в теории чисел и якобиана в теории алгебраических кривых. Для циклов более высокой коразмерности рациональная эквивалентность была введена Франческо Севери в 1930-х годах. В 1956 году Вэй Лян Чжоу представил влиятельное доказательство того, что произведение пересечений корректно определено для циклов по модулю рациональной эквивалентности на гладком квазипроективном многообразии, используя лемму Чжоу о движении. Начиная с 1970-х годов, Фултон и Макферсон заложили современную стандартную основу для групп Чоу, работая с сингулярными многообразиями, где это возможно. В их теории произведение пересечений для гладких многообразий строится посредством деформации к нормальному конусу.