Кіріспе
Үлкен жиынтықтардың қасиеттері
Erdős' conjecture on arithmetic progressions, often referred to as the Erdős–Turán conjecture, is a conjecture in arithmetic combinatorics (not to be confused with the Erdős–Turán conjecture on additive bases). It states that if the sum of the reciprocals of the members of a set A of positive integers diverges, then A contains arbitrarily long arithmetic progressions. Formally, the conjecture states that if A is a large set in the sense that
then A contains arithmetic progressions of any given length, meaning that for every positive integer k there are an integer a and a non zero integer c such that .
Эрдёстің арифметикалық прогрессиялар туралы болжамы, көбінесе Эрдёс-Тураның болжамы деп аталады, арифметикалық комбинаторикадағы болжам (Эрдёс-Тураның қосымша негіздер туралы болжамымен шатастырмау керек). Ол былай тұжырымдайды: егер оң бүтін сандар жиынтығы А мүшелерінің өзара теңдеулерінің қосындысы шексіз болса, онда А жиынтығында кез келген ұзындықтағы арифметикалық прогрессиялар кездеседі. Формальды түрде, болжам бойынша, егер А жиынтығы үлкен болса, онда А жиынтығында кез келген берілген ұзындықтағы арифметикалық прогрессия болады, яғни кез келген оң бүтін сан k үшін a бүтін саны және нөлдік емес c бүтін саны бар, олар үшін .
Erdős' conjecture on arithmetic progressions, often referred to as the Erdős–Turán conjecture, is a conjecture in arithmetic combinatorics (not to be confused with the Erdős–Turán conjecture on additive bases). It states that if the sum of the reciprocals of the members of a set A of positive integers diverges, then A contains arbitrarily long arithmetic progressions. Formally, the conjecture states that if A is a large set in the sense that
then A contains arithmetic progressions of any given length, meaning that for every positive integer k there are an integer a and a non zero integer c such that .
Тарих
1936 жылы Эрдос пен Туран оң табиғи тығыздығы бар кез келген бүтін сандар жиынында шексіз көп 3 мүшелі арифметикалық прогрессия бар деген әлсіз болжам айтты. Бұл болжамды Клаус Рот 1952 жылы дәлелдеді, ал 1975 жылы Сземереди оны кез келген ұзындықтағы арифметикалық прогрессияларға жалпылады, бұл қазір Сземереди теоремасы деп белгілі. 1976 жылы "Менің өмір бойы досым және серіктесім Пол Туранның естелігіне" деген тақырыптағы сөйлеуінде Пол Эрдос осы болжамды дәлелдегенге 3000 АҚШ доллары сыйлық беруге уәде берді. 2008 жылғы мәлімет бойынша, бұл мәселенің құны 5000 АҚШ долларын құрайды.
Жетістіктер мен тиісті нәтижелер
Эрдёстің арифметикалық прогрессиялар туралы болжамын Сземереди теоремасының күштірек нұсқасы ретінде қарастыруға болады. Бастапқы сандардың кері шамаларының қосындысы шексіз болғандықтан, арифметикалық прогрессиялар туралы Грин-Тао теоремасы – бұл болжамның ерекше жағдайы. A жиынында 3 ұзындығындағы арифметикалық прогрессиялар шексіз көп болуы керек деген әлсіз талап Рот теоремасындағы жақсартылған шектеудің салдары болып табылады. 2016 жылы Блумның мақаласында егер жиында тривиальды емес үш мүшелі арифметикалық прогрессиялар болмаса, онда … . 2020 жылы Блум мен Сисасктың алдын ала басылымы белгілі бір абсолюттік тұрақты үшін шектеуді жақсартты . 2023 жылы Келли мен Меканың алдын ала басылымы жаңа шектеуді берді, ал төрт күннен кейін Блум мен Сисаск нәтижені қарапайымдап, сәл жақсартты .
In 2020 a preprint by Bloom and Sisask improved the bound to for some absolute constant
In 2023 a preprint by Kelley and Meka gave a new bound of and four days later Bloom and Sisask simplified the result and with a little improvement to .