Введение
Свойства больших множеств
Erdős' conjecture on arithmetic progressions, often referred to as the Erdős–Turán conjecture, is a conjecture in arithmetic combinatorics (not to be confused with the Erdős–Turán conjecture on additive bases). It states that if the sum of the reciprocals of the members of a set A of positive integers diverges, then A contains arbitrarily long arithmetic progressions. Formally, the conjecture states that if A is a large set in the sense that
then A contains arithmetic progressions of any given length, meaning that for every positive integer k there are an integer a and a non zero integer c such that .
Предположение Эрдоша об арифметических прогрессиях, часто называемое предположением Эрдоша — Турана, — это гипотеза в арифметической комбинаторике (не следует путать с предположением Эрдоша — Турана об аддитивных базисах). Оно утверждает, что если сумма обратных величин элементов множества A положительных целых чисел расходится, то A содержит арифметические прогрессии произвольной длины. Формально, гипотеза гласит, что если A является большим множеством в том смысле, что , то A содержит арифметические прогрессии любой заданной длины, то есть для каждого положительного целого числа k существуют целое число a и ненулевое целое число c, такие что .
Erdős' conjecture on arithmetic progressions, often referred to as the Erdős–Turán conjecture, is a conjecture in arithmetic combinatorics (not to be confused with the Erdős–Turán conjecture on additive bases). It states that if the sum of the reciprocals of the members of a set A of positive integers diverges, then A contains arbitrarily long arithmetic progressions. Formally, the conjecture states that if A is a large set in the sense that
then A contains arithmetic progressions of any given length, meaning that for every positive integer k there are an integer a and a non zero integer c such that .
История
В 1936 году Эрдош и Туран выдвинули более слабую гипотезу о том, что любое множество целых чисел с положительной естественной плотностью содержит бесконечно много арифметических прогрессий из трех членов. Она была доказана Клаусом Ротом в 1952 году и обобщена Сземереди в 1975 году на арифметические прогрессии произвольной длины, что теперь известно как теорема Сземереди. В 1976 году, в докладе под названием "Памяти моего друга и соратника Пала Турана", Пол Эрдош объявил награду в 3000 долларов США за доказательство этой гипотезы. По состоянию на 2008 год размер награды за решение этой проблемы составляет 5000 долларов США.
Прогресс и соответствующие результаты
Предположение Эрдоша об арифметических прогрессиях можно рассматривать как более сильную версию теоремы Семереди. Поскольку сумма обратных величин простых чисел расходится, теорема Грина — Тао об арифметических прогрессиях является частным случаем этого предположения. Более слабое утверждение о том, что A должно содержать бесконечно много арифметических прогрессий длины 3, является следствием улучшенной оценки в теореме Ротта. В 2016 году Блум доказал, что если A не содержит нетривиальных арифметических прогрессий длины 3, то… В 2020 году в препринте Блума и Сисаска оценка была улучшена до для некоторой абсолютной константы . В 2023 году в препринте Келли и Меки была получена новая оценка , а спустя четыре дня Блум и Сисаск упростили результат и немного улучшили его до .
In 2020 a preprint by Bloom and Sisask improved the bound to for some absolute constant
In 2023 a preprint by Kelley and Meka gave a new bound of and four days later Bloom and Sisask simplified the result and with a little improvement to .