Кіріспе
Термодинамиканың екінші заңының нұсқасы
The Clausius theorem (1855), also known as the Clausius inequality, states that for a thermodynamic system (e. g. heat engine or heat pump) exchanging heat with external thermal reservoirs and undergoing a thermodynamic cycle, the following inequality holds. where is the total entropy change in the external thermal reservoirs (surroundings), is an infinitesimal amount of heat that is taken from the reservoirs and absorbed by the system ( if heat from the reservoirs is absorbed by the system, and < 0 if heat is leaving from the system to the reservoirs) and is the common temperature of the reservoirs at a particular instant in time. The closed integral is carried out along a thermodynamic process path from the initial/final state to the same initial/final state (thermodynamic cycle). In principle, the closed integral can start and end at an arbitrary point along the path. The Clausius theorem or inequality obviously implies per thermodynamic cycle, meaning that the entropy of the reservoirs increases or does not change, and never decreases, per cycle. For multiple thermal reservoirs with different temperatures interacting a thermodynamic system undergoing a thermodynamic cycle, the Clausius inequality can be written as the following for expression clarity:
where is an infinitesimal heat from the reservoir to the system. In the special case of a reversible process, the equality holds, and the reversible case is used to introduce the state function known as entropy. This is because in a cyclic process the variation of a state function is zero per cycle, so the fact that this integral is equal to zero per cycle in a reversible process implies that there is some function (entropy) whose infinitesimal change is
The generalized "inequality of Clausius"
for as an infinitesimal change in entropy of a system (denoted by sys) under consideration applies not only to cyclic processes, but to any process that occurs in a closed system. The Clausius inequality is a consequence of applying the second law of thermodynamics at each infinitesimal stage of heat transfer. The Clausius statement states that it is impossible to construct a device whose sole effect is the transfer of heat from a cool reservoir to a hot reservoir. Equivalently, heat spontaneously flows from a hot body to a cooler one, not the other way around.
Клаузиус теоремасы (1855), сондай-ақ Клаузиус теңсіздігі деп белгілі, термодинамикалық жүйе үшін (мысалы, жылу машинасы немесе жылу сорғысы) сыртқы жылу резервуарларымен жылу алмасып, термодинамикалық циклдан өтетін жағдайда, келесі теңсіздік орындалады. Мұндағы – сыртқы жылу резервуарларындағы (қоршаған ортадағы) жалпы энтропияның өзгеруі, – резервуарлардан алынып, жүйеге сіңірілген жылудың шексіз кішкентай мөлшері (егер резервуарлардан жылу жүйеге сіңірілсе, онда > 0, ал егер жүйеден резервуарларға жылу шығып жатса, онда < 0) және – резервуарлардың белгілі бір уақыт мезетіндегі ортақ температурасы. Жабық интеграл термодинамикалық процесс жолы бойынша бастапқы/соңғы күйден сол бастапқы/соңғы күйге дейін есептеледі (термодинамикалық цикл). Принцип бойынша, жабық интеграл жолдың кез келген нүктесінен басталып, сол нүктеде аяқталуы мүмкін. Клаузиус теоремасы немесе теңсіздігі термодинамикалық цикл бойында резервуарлардың энтропиясы артады немесе өзгермейді, бірақ ешқашан кемімейді дегенді білдіреді. Әртүрлі температуралы бірнеше жылу резервуарлары термодинамикалық циклдан өтетін термодинамикалық жүйемен өзара әрекеттескенде, Клаузиус теңсіздігін түсініктілік үшін келесідей жазуға болады:
The Clausius theorem (1855), also known as the Clausius inequality, states that for a thermodynamic system (e. g. heat engine or heat pump) exchanging heat with external thermal reservoirs and undergoing a thermodynamic cycle, the following inequality holds. where is the total entropy change in the external thermal reservoirs (surroundings), is an infinitesimal amount of heat that is taken from the reservoirs and absorbed by the system ( if heat from the reservoirs is absorbed by the system, and < 0 if heat is leaving from the system to the reservoirs) and is the common temperature of the reservoirs at a particular instant in time. The closed integral is carried out along a thermodynamic process path from the initial/final state to the same initial/final state (thermodynamic cycle). In principle, the closed integral can start and end at an arbitrary point along the path. The Clausius theorem or inequality obviously implies per thermodynamic cycle, meaning that the entropy of the reservoirs increases or does not change, and never decreases, per cycle. For multiple thermal reservoirs with different temperatures interacting a thermodynamic system undergoing a thermodynamic cycle, the Clausius inequality can be written as the following for expression clarity:
where is an infinitesimal heat from the reservoir to the system. In the special case of a reversible process, the equality holds, and the reversible case is used to introduce the state function known as entropy. This is because in a cyclic process the variation of a state function is zero per cycle, so the fact that this integral is equal to zero per cycle in a reversible process implies that there is some function (entropy) whose infinitesimal change is
The generalized "inequality of Clausius"
for as an infinitesimal change in entropy of a system (denoted by sys) under consideration applies not only to cyclic processes, but to any process that occurs in a closed system. The Clausius inequality is a consequence of applying the second law of thermodynamics at each infinitesimal stage of heat transfer. The Clausius statement states that it is impossible to construct a device whose sole effect is the transfer of heat from a cool reservoir to a hot reservoir. Equivalently, heat spontaneously flows from a hot body to a cooler one, not the other way around.
мұндағы – резервуардан жүйеге алынған шексіз кішкентай жылу. Ерекше жағдайда, егер процесс қайтымды болса, теңдік орындалады, ал қайтымды жағдай энтропия деп аталатын күй функциясын енгізу үшін қолданылады. Себебі, циклдық процесс кезінде күй функциясының өзгеруі цикл бойына нөлге тең болады, сондықтан қайтымды процесс кезінде бұл интеграл цикл бойына нөлге тең болса, онда энтропия деп аталатын бір функция бар екенін көрсетеді, оның шексіз кішкентай өзгеруі
The Clausius theorem (1855), also known as the Clausius inequality, states that for a thermodynamic system (e. g. heat engine or heat pump) exchanging heat with external thermal reservoirs and undergoing a thermodynamic cycle, the following inequality holds. where is the total entropy change in the external thermal reservoirs (surroundings), is an infinitesimal amount of heat that is taken from the reservoirs and absorbed by the system ( if heat from the reservoirs is absorbed by the system, and < 0 if heat is leaving from the system to the reservoirs) and is the common temperature of the reservoirs at a particular instant in time. The closed integral is carried out along a thermodynamic process path from the initial/final state to the same initial/final state (thermodynamic cycle). In principle, the closed integral can start and end at an arbitrary point along the path. The Clausius theorem or inequality obviously implies per thermodynamic cycle, meaning that the entropy of the reservoirs increases or does not change, and never decreases, per cycle. For multiple thermal reservoirs with different temperatures interacting a thermodynamic system undergoing a thermodynamic cycle, the Clausius inequality can be written as the following for expression clarity:
where is an infinitesimal heat from the reservoir to the system. In the special case of a reversible process, the equality holds, and the reversible case is used to introduce the state function known as entropy. This is because in a cyclic process the variation of a state function is zero per cycle, so the fact that this integral is equal to zero per cycle in a reversible process implies that there is some function (entropy) whose infinitesimal change is
The generalized "inequality of Clausius"
for as an infinitesimal change in entropy of a system (denoted by sys) under consideration applies not only to cyclic processes, but to any process that occurs in a closed system. The Clausius inequality is a consequence of applying the second law of thermodynamics at each infinitesimal stage of heat transfer. The Clausius statement states that it is impossible to construct a device whose sole effect is the transfer of heat from a cool reservoir to a hot reservoir. Equivalently, heat spontaneously flows from a hot body to a cooler one, not the other way around.
"Клаузиус теңсіздігінің" жалпыланған түрі
The Clausius theorem (1855), also known as the Clausius inequality, states that for a thermodynamic system (e. g. heat engine or heat pump) exchanging heat with external thermal reservoirs and undergoing a thermodynamic cycle, the following inequality holds. where is the total entropy change in the external thermal reservoirs (surroundings), is an infinitesimal amount of heat that is taken from the reservoirs and absorbed by the system ( if heat from the reservoirs is absorbed by the system, and < 0 if heat is leaving from the system to the reservoirs) and is the common temperature of the reservoirs at a particular instant in time. The closed integral is carried out along a thermodynamic process path from the initial/final state to the same initial/final state (thermodynamic cycle). In principle, the closed integral can start and end at an arbitrary point along the path. The Clausius theorem or inequality obviously implies per thermodynamic cycle, meaning that the entropy of the reservoirs increases or does not change, and never decreases, per cycle. For multiple thermal reservoirs with different temperatures interacting a thermodynamic system undergoing a thermodynamic cycle, the Clausius inequality can be written as the following for expression clarity:
where is an infinitesimal heat from the reservoir to the system. In the special case of a reversible process, the equality holds, and the reversible case is used to introduce the state function known as entropy. This is because in a cyclic process the variation of a state function is zero per cycle, so the fact that this integral is equal to zero per cycle in a reversible process implies that there is some function (entropy) whose infinitesimal change is
The generalized "inequality of Clausius"
for as an infinitesimal change in entropy of a system (denoted by sys) under consideration applies not only to cyclic processes, but to any process that occurs in a closed system. The Clausius inequality is a consequence of applying the second law of thermodynamics at each infinitesimal stage of heat transfer. The Clausius statement states that it is impossible to construct a device whose sole effect is the transfer of heat from a cool reservoir to a hot reservoir. Equivalently, heat spontaneously flows from a hot body to a cooler one, not the other way around.
және – қарастырылып отырған жүйенің (sys) энтропиясының шексіз кішкентай өзгеруі, тек циклдық процестерге ғана емес, жабық жүйеде болатын кез келген процесске де қолданылады. Клаузиус теңсіздігі – термодинамиканың екінші заңын жылу берудің әрбір шексіз кішкентай сатысына қолданудың салдары. Клаузиус мәлімдемесінде суық резервуардан ыстық резервуарға жылу беруді ғана жүзеге асыратын құрылғыны жасау мүмкін емес делінген. Басқаша айтқанда, жылу ыстық денеден салқын денеге өздігінен өтеді, керісінше емес.
The Clausius theorem (1855), also known as the Clausius inequality, states that for a thermodynamic system (e. g. heat engine or heat pump) exchanging heat with external thermal reservoirs and undergoing a thermodynamic cycle, the following inequality holds. where is the total entropy change in the external thermal reservoirs (surroundings), is an infinitesimal amount of heat that is taken from the reservoirs and absorbed by the system ( if heat from the reservoirs is absorbed by the system, and < 0 if heat is leaving from the system to the reservoirs) and is the common temperature of the reservoirs at a particular instant in time. The closed integral is carried out along a thermodynamic process path from the initial/final state to the same initial/final state (thermodynamic cycle). In principle, the closed integral can start and end at an arbitrary point along the path. The Clausius theorem or inequality obviously implies per thermodynamic cycle, meaning that the entropy of the reservoirs increases or does not change, and never decreases, per cycle. For multiple thermal reservoirs with different temperatures interacting a thermodynamic system undergoing a thermodynamic cycle, the Clausius inequality can be written as the following for expression clarity:
where is an infinitesimal heat from the reservoir to the system. In the special case of a reversible process, the equality holds, and the reversible case is used to introduce the state function known as entropy. This is because in a cyclic process the variation of a state function is zero per cycle, so the fact that this integral is equal to zero per cycle in a reversible process implies that there is some function (entropy) whose infinitesimal change is
The generalized "inequality of Clausius"
for as an infinitesimal change in entropy of a system (denoted by sys) under consideration applies not only to cyclic processes, but to any process that occurs in a closed system. The Clausius inequality is a consequence of applying the second law of thermodynamics at each infinitesimal stage of heat transfer. The Clausius statement states that it is impossible to construct a device whose sole effect is the transfer of heat from a cool reservoir to a hot reservoir. Equivalently, heat spontaneously flows from a hot body to a cooler one, not the other way around.
Тарих
Клаузиус теоремасы – термодинамиканың екінші заңының математикалық түсіндірмесі. Оны Рудольф Клаузиус жүйедегі жылу ағыны мен жүйе және оның қоршаған ортасының энтропиясы арасындағы қатынасты түсіндіру мақсатымен жасаған. Клаузиус энтропияны түсіндіру және оны санмен бағалау үшін осы теореманы дамытты. Тікелей айтқанда, теорема циклдік процестің қайтымды немесе қайтымсыз екенін анықтауға мүмкіндік береді. Клаузиус теоремасы екінші заңды түсіну үшін сандық формула ұсынады. Клаузиус энтропия идеясын алғашқылардың бірі болып зерттеген және оған осы атауды берген. Қазіргі кезде Клаузиус теоремасы деп танылатын бұл теорема алғаш рет 1862 жылы Клаузиус еңбегінде, «Трансформациялардың теңдестігі теоремасын ішкі жұмысқа қолдану туралы» деген атпен жарияланды. Клаузиус энтропия мен энергияның жүйеге жылу түрінде (δQ) ағыны арасындағы пропорционалды байланысты көрсетуге тырысты. Жүйеде жылу энергиясы жұмысқа айналуы мүмкін, ал жұмыс циклдік процесс арқылы жылуға айналады. Клаузиус «Циклдік процесс ішіндегі барлық түрленулердің алгебралық қосындысы нөлден кем болуы керек, немесе ең шекті жағдайда нөлге тең болуы мүмкін» деп жазады. Басқаша айтқанда, δQ – жылудан туындаған жүйеге энергия ағыны және T – энергия сіңірілген кезде дененің абсолютті температурасы болатын теңдеу, кез келген циклдік және қайтымды процесс үшін дұрыс екені анықталды. Содан кейін Клаузиус осыны бір қадам алға жылжытып, кез келген мүмкін, қайтымды немесе қайтымсыз циклдік процесс үшін келесі қатынастың орындалуы керек екенін анықтады. Бұл қатынас «Клаузиус теңсіздігі» деп аталады, мұнда – жылу резервуарымен өзара әрекеттесетін және жүйе сіңіретін жылудың инфинитезималь мөлшері (егер резервуардан жылу жүйеге сіңірілсе, ал < 0 болса, егер жылу жүйеден резервуарға кетсе) және T – резервуардың белгілі бір сәттегі температурасы. Бұл белгілі болған соң, Клаузиус теңсіздігі мен энтропия арасындағы байланыс болуы керек. Цикл бойында жүйеге қосылған энтропияның мөлшері S былай анықталады:
with 𝛿Q being energy flow into the system due to heating and T being absolute temperature of the body when that energy is absorbed, is found to be true for any process that is cyclical and reversible. Clausius then took this a step further and determined that the following relation must be found true for any cyclical process that is possible, reversible or not. This relation is the "Clausius inequality",
where is an infinitesimal amount of heat that is from the thermal reservoir interacting with the system and absorbed by the system ( if heat from the reservoir is absorbed by the system, and < 0 if heat is leaving from the system to the reservoir) and is the temperature of the reservoir at a particular instant in time. Now that this is known, there must be a relation developed between the Clausius inequality and entropy. The amount of entropy S added to the system during the cycle is defined as
It has been determined, as stated in the second law of thermodynamics, that the entropy is a state function: It depends only upon the state that the system is in, and not what path the system took to get there. This is in contrast to the amount of energy added as heat (𝛿Q) and as work (𝛿W), which may vary depending on the path. In a cyclic process, therefore, the entropy of the system at the beginning of the cycle must equal to the entropy at the end of the cycle (because the entropy is a state function), , regardless of whether the process is reversible or irreversible. In irreversible cases, the net entropy is added to the system reservoirs per thermodynamic cycle while in reversible cases, no entropy is created or added to the reservoirs. If the amount of energy added by heating can be measured during the process, and the temperature can be measured during the process, then the Clausius inequality can be used to determine whether the process is reversible or irreversible by carrying out the integration in the Clausius inequality. If integral result is equal to zero then it is a reversible process, while if greater than zero then an irreversible process (less than zero cannot be possible).
Термодинамиканың екінші заңында айтылғандай, энтропия – күй функциясы болып табылады: ол жүйенің қандай күйде екеніне ғана байланысты, ал жүйенің сол күйге қалай жеткеніне емес. Бұл жолға байланысты өзгеруі мүмкін жылу (δQ) және жұмыс (δW) түрінде қосылған энергияның мөлшеріне қайшы келеді. Сондықтан, циклдік процесс кезінде, циклдің басындағы жүйенің энтропиясы циклдің соңындағы энтропияға тең болуы керек (себебі энтропия – күй функциясы), процестің қайтымды немесе қайтымсыз екеніне қарамастан. Қайтымсыз жағдайларда, термодинамикалық цикл бойында жүйелік резервуарларға таза энтропия қосылады, ал қайтымды жағдайларда резервуарларға энтропия пайда болмайды немесе қосылмайды. Егер процесс кезінде жылу арқылы қосылған энергияның мөлшерін және температураны өлшеуге болады, онда Клаузиус теңсіздігін пайдаланып, интегралдау арқылы процесс қайтымды немесе қайтымсыз екенін анықтауға болады. Егер интегралдың нәтижесі нөлге тең болса, онда ол қайтымды процесс, ал нөлден үлкен болса, онда қайтымсыз процесс (нөлден аз болуы мүмкін емес).
with 𝛿Q being energy flow into the system due to heating and T being absolute temperature of the body when that energy is absorbed, is found to be true for any process that is cyclical and reversible. Clausius then took this a step further and determined that the following relation must be found true for any cyclical process that is possible, reversible or not. This relation is the "Clausius inequality",
where is an infinitesimal amount of heat that is from the thermal reservoir interacting with the system and absorbed by the system ( if heat from the reservoir is absorbed by the system, and < 0 if heat is leaving from the system to the reservoir) and is the temperature of the reservoir at a particular instant in time. Now that this is known, there must be a relation developed between the Clausius inequality and entropy. The amount of entropy S added to the system during the cycle is defined as
It has been determined, as stated in the second law of thermodynamics, that the entropy is a state function: It depends only upon the state that the system is in, and not what path the system took to get there. This is in contrast to the amount of energy added as heat (𝛿Q) and as work (𝛿W), which may vary depending on the path. In a cyclic process, therefore, the entropy of the system at the beginning of the cycle must equal to the entropy at the end of the cycle (because the entropy is a state function), , regardless of whether the process is reversible or irreversible. In irreversible cases, the net entropy is added to the system reservoirs per thermodynamic cycle while in reversible cases, no entropy is created or added to the reservoirs. If the amount of energy added by heating can be measured during the process, and the temperature can be measured during the process, then the Clausius inequality can be used to determine whether the process is reversible or irreversible by carrying out the integration in the Clausius inequality. If integral result is equal to zero then it is a reversible process, while if greater than zero then an irreversible process (less than zero cannot be possible).