Кіріспе

Математикада, әсіресе гомологиялық алгебрада, бөлу леммасы кез келген абельдік категорияда қысқа дәл тізбек үшін келесі шарттар эквивалентті екенін айтады.

Егер осы шарттардың кез келгені орындалса, тізбек бөлінетін дәл тізбек деп аталады және тізбек бөлінеді деп айтылады. Жоғарыдағы қысқа дәл тізбекте, егер тізбек бөлінетін болса, бірінші изоморфизм теоремасын нақтылауға болады, ол былай тұжырымдайды: C ≅ B/ker r ≅ B/q(A) (яғни, C, r коимиджіне немесе q кокернеліне изоморфты):

мұнда бірінші изоморфизм теоремасы C-ге проекцияға дейін толыққанды түрде келеді.

Бұл сызықтық алгебрадағы ранг-нөлдік теореманың (V ≅ ker T ⊕ im T түрінде) категориялық жалпыламасы болып табылады.

және

Алдымен, 3. нүктесі 1. және 2. нүктелерін қамтиды екенін көрсету үшін, 3. деп қабылдаймыз және t-ны тікелей қосындының A-ға проекциялануы ретінде, ал u-ны C-нің тікелей қосындыға енгізілуі ретінде аламыз.

Абельдік емес топтар

Мұнда көрсетілген түрінде, бөлу леммасы топтардың толық санатында қолданылмайды, себебі ол Абельдік категория емес.

Жарым-жартылай дұрыс

Бұл ішінара дұрыс: егер топтардың қысқа дәл тізбегі сол жақтан бөлінетін болса немесе тікелей қосынды (1. немесе 3.) болса, онда барлық шарттар орындалады. Тікелей қосынды үшін бұл айқын, себебі сомалықтарға енгізуге немесе проекциялауға болады. Сол жақтан бөлінетін тізбек үшін t × r: B → A × C бейнелеуі изоморфизм береді, сондықтан B тікелей қосынды (3.) болады, ал изоморфизмді кері аударып, C → A × C табиғи енгізуімен құрастыру C → B енгізуін береді, ол r-ді бөледі (2.). Дегенмен, егер топтардың қысқа дәл тізбегі оң жақтан бөлінетін болса (2.), онда ол міндетті түрде сол жақтан бөлінуі немесе тікелей қосынды болуы керек емес (не 1., не 3. орындалмайды): мәселе оң жақтан бөлудің бейнесі міндетті түрде нормальды болуы керек емес. Бұл жағдайда B жартылай тікелей көбейту болып табылады, бірақ жалпы жағдайда тікелей көбейту емес.

Қарсы мысал

Қарсы мысал келтіру үшін ең кішкентай абельдік емес топты, үш әріптегі симметриялық топты қарастырайық. A кезектесіп орналасатын кіші топты белгілейміз, ал } болсын. q және r сәйкесінше енгізу картасы және таңба картасын белгілейміз, сонда

құрамы қысқа дәл тізбек болады. 3. орындалмайды, себебі ол абельдік емес, бірақ 2. орындалады: u: C → B функциясын генераторды кез келген екі циклге бейнелеу арқылы анықтай аламыз. Толықтығы үшін, 1. орындалмайтынын ескерейік: кез келген t: B → A картасы әрбір екі циклті сәйкестікке жіберуі керек, өйткені карта топтық гомоморфизм болуы тиіс, ал екі циклдің реті 2-ге тең, ол A тобының сәйкестік элементінен басқа элементтерінің ретімен бөлінбейді, ал A кезектесіп орналасатын кіші топ болғандықтан, немесе атап айтқанда, 3-ретті циклдік топ, онда бұл сан 3-ке тең. Бірақ кез келген алмастыру екі циклдің көбейтіндісі болып табылады, сондықтан t тривиальды карта болады, соның салдарынан tq: A → A да тривиальды карта, сәйкестік емес.