Введение
В математике, и в частности в гомологической алгебре, лемма о расщеплении утверждает, что в любой абелевой категории для короткой точной последовательности выполняются следующие эквивалентные условия.
Если хотя бы одно из этих условий выполняется, последовательность называется расщепляемой точной последовательностью, и говорят, что последовательность расщепляется. В вышеуказанной короткой точной последовательности, если она расщепляется, это позволяет уточнить первую теорему об изоморфизмах, которая утверждает, что: C ≅ B/ker r ≅ B/q(A) (то есть, C изоморфна кообразу r или коядру q) до:
C ≅ B/ker r ≅ B/q(A) (i. e., C isomorphic to the coimage of r or cokernel of q)
to:
где первая теорема об изоморфизмах тогда является просто проекцией на C.
Это категориальное обобщение теоремы о ранге и нуль-пространстве (в форме V ≅ ker T ⊕ im T) в линейной алгебре.
и
Во-первых, чтобы показать, что 3. влечет за собой и 1., и 2., мы предполагаем истинность 3. и полагаем t равным естественной проекции прямой суммы на A, а u – естественной инъекцией C в прямую сумму.
- Да.
Чтобы доказать, что 1. подразумевает 3., сначала отметим, что любой элемент B принадлежит множеству ([[ядро (алгебра)). Это следует из того, что для всех b из B, qt(b) принадлежит im q, а b − qt(b) принадлежит ker t, поскольку
Next, the intersection of im q and ker t is 0, since if there exists a in A such that , and , then ; and therefore,
This proves that B is the direct sum of im q and ker t. So, for all b in B, b can be uniquely identified by some a in A, k in ker t, such that
By exactness The subsequence B ⟶ C ⟶ 0 implies that r is onto; therefore for any c in C there exists some such that Therefore, for any c in C, exists k in ker t such that c = r(k), and r(ker t) = C.
If , then k is in im q; since the intersection of im q and , then Therefore, the restriction r: ker t → C is an isomorphism; and ker t is isomorphic to C.
Finally, im q is isomorphic to A due to the exactness of 0 ⟶ A ⟶ B; so B is isomorphic to the direct sum of A and C, which proves (3).
Далее, пересечение im q и ker t равно 0, поскольку если существует a в A, такое что , и , то ; и, следовательно, . Это доказывает, что B является прямой суммой im q и ker t. Таким образом, для всех b из B, b может быть однозначно представлено некоторым a из A и k из ker t, таким что
Next, the intersection of im q and ker t is 0, since if there exists a in A such that , and , then ; and therefore,
This proves that B is the direct sum of im q and ker t. So, for all b in B, b can be uniquely identified by some a in A, k in ker t, such that
By exactness The subsequence B ⟶ C ⟶ 0 implies that r is onto; therefore for any c in C there exists some such that Therefore, for any c in C, exists k in ker t such that c = r(k), and r(ker t) = C.
If , then k is in im q; since the intersection of im q and , then Therefore, the restriction r: ker t → C is an isomorphism; and ker t is isomorphic to C.
Finally, im q is isomorphic to A due to the exactness of 0 ⟶ A ⟶ B; so B is isomorphic to the direct sum of A and C, which proves (3).
В силу точности последовательность B ⟶ C ⟶ 0 подразумевает, что r сюръективна; следовательно, для любого c из C существует такое , что . Таким образом, для любого c из C существует k из ker t, такое что c = r(k), и r(ker t) = C.
Next, the intersection of im q and ker t is 0, since if there exists a in A such that , and , then ; and therefore,
This proves that B is the direct sum of im q and ker t. So, for all b in B, b can be uniquely identified by some a in A, k in ker t, such that
By exactness The subsequence B ⟶ C ⟶ 0 implies that r is onto; therefore for any c in C there exists some such that Therefore, for any c in C, exists k in ker t such that c = r(k), and r(ker t) = C.
If , then k is in im q; since the intersection of im q and , then Therefore, the restriction r: ker t → C is an isomorphism; and ker t is isomorphic to C.
Finally, im q is isomorphic to A due to the exactness of 0 ⟶ A ⟶ B; so B is isomorphic to the direct sum of A and C, which proves (3).
Если k принадлежит im q, то, поскольку пересечение im q и ker t равно 0, то . Следовательно, ограничение r: ker t → C является изоморфизмом, и ker t изоморфен C.
Next, the intersection of im q and ker t is 0, since if there exists a in A such that , and , then ; and therefore,
This proves that B is the direct sum of im q and ker t. So, for all b in B, b can be uniquely identified by some a in A, k in ker t, such that
By exactness The subsequence B ⟶ C ⟶ 0 implies that r is onto; therefore for any c in C there exists some such that Therefore, for any c in C, exists k in ker t such that c = r(k), and r(ker t) = C.
If , then k is in im q; since the intersection of im q and , then Therefore, the restriction r: ker t → C is an isomorphism; and ker t is isomorphic to C.
Finally, im q is isomorphic to A due to the exactness of 0 ⟶ A ⟶ B; so B is isomorphic to the direct sum of A and C, which proves (3).
Наконец, im q изоморфен A в силу точности последовательности 0 ⟶ A ⟶ B; таким образом, B изоморфен прямой сумме A и C, что доказывает (3).
Next, the intersection of im q and ker t is 0, since if there exists a in A such that , and , then ; and therefore,
This proves that B is the direct sum of im q and ker t. So, for all b in B, b can be uniquely identified by some a in A, k in ker t, such that
By exactness The subsequence B ⟶ C ⟶ 0 implies that r is onto; therefore for any c in C there exists some such that Therefore, for any c in C, exists k in ker t such that c = r(k), and r(ker t) = C.
If , then k is in im q; since the intersection of im q and , then Therefore, the restriction r: ker t → C is an isomorphism; and ker t is isomorphic to C.
Finally, im q is isomorphic to A due to the exactness of 0 ⟶ A ⟶ B; so B is isomorphic to the direct sum of A and C, which proves (3).
- Да.
Чтобы показать, что 2. влечет за собой 3., мы приводим аналогичный аргумент. Любой элемент B принадлежит множеству ker r + im u; поскольку для любого b из B выполняется , что принадлежит ker r + im u. Пересечение ker r и im u равно 0, так как если и , то по условию точности , и поскольку q является инъекцией, im q изоморфен A, следовательно, A изоморфен ker r. Поскольку ru является биекцией, u является инъекцией, и, таким образом, im u изоморфен C. Итак, B снова является прямой суммой A и C.
By exactness, , and since q is an injection, im q is isomorphic to A, so A is isomorphic to ker r. Since ru is a bijection, u is an injection, and thus im u is isomorphic to C. So B is again the direct sum of A and C.
Альтернативное "абстрактно-бессмысленное" доказательство леммы о расщеплении может быть сформулировано полностью на языке теории категорий.
Неабелские группы
В представленной здесь формулировке, лемма расщепления не выполняется в полной категории групп, которая не является абелевой категорией.
Частично верно
Это частично верно: если короткая точная последовательность групп расщепляется слева или является прямой суммой (1. или 3.), то все условия выполняются. Для прямой суммы это очевидно, поскольку можно вложить из или спроецировать на слагаемые. Для расщепляемой слева последовательности отображение t × r: B → A × C дает изоморфизм, следовательно, B является прямой суммой (3.), и, таким образом, инвертируя этот изоморфизм и композицией с естественным вложением C → A × C, получаем вложение C → B, расщепляющее r (2.). Однако, если короткая точная последовательность групп расщепляется справа (2.), то она не обязана расщепляться слева или быть прямой суммой (не следует ни 1., ни 3.): проблема в том, что образ правого расщепления не обязательно нормален. В этом случае верно, что B является полупрямым произведением, хотя и не обязательно прямым произведением.
Контрпример
Чтобы построить контрпример, возьмите наименьшую неабелеву группу – симметрическую группу на трех элементах. Пусть A обозначает альтернативную подгруппу, а } – пустое множество. Пусть q и r обозначают, соответственно, отображение включения и отображение знака, так что
является точной последовательностью. Условие 3 не выполняется, поскольку группа неабелева, но условие 2 выполняется: мы можем определить отображение u: C → B, сопоставляя образующий любой двухцикл. Для полноты отметим, что условие 1 не выполняется: любое отображение t: B → A должно отображать каждый двухцикл в единичный элемент, поскольку отображение должно быть гомоморфизмом группы, а порядок двухцикла равен 2, что не делится на порядок элементов в A, отличных от единичного элемента, который равен 3, так как A является альтернативной подгруппой группы , или, точнее, циклической группой порядка 3. Но любая перестановка является произведением двух циклов, следовательно, t – тривиальное отображение, а значит, tq: A → A также является тривиальным отображением, а не тождественным.