Введение

Инструмент гомологической алгебры
В математике цепной комплекс — это алгебраическая структура, состоящая из последовательности абелевых групп (или модулей) и последовательности гомоморфизмов между последовательными группами, таких что образ каждого гомоморфизма содержится в ядре следующего. С цепным комплексом связана его гомология, которая описывает, как образы включаются в ядра. Коцепный комплекс аналогичен цепному комплексу, за исключением того, что его гомоморфизмы заданы в противоположном направлении. Гомология коцепного комплекса называется его когомологией. В алгебраической топологии сингулярный цепной комплекс топологического пространства X строится с использованием непрерывных отображений из симплекса в X, а гомоморфизмы цепного комплекса отражают, как эти отображения ограничиваются границей симплекса. Гомология этого цепного комплекса называется сингулярной гомологией X и является общепринятым инвариантом топологического пространства. Цепные комплексы изучаются в гомологической алгебре, но применяются в различных областях математики, включая абстрактную алгебру, теорию Галуа, дифференциальную геометрию и алгебраическую геометрию. Их можно определить в более общем виде в абелевых категориях.

Определения

Цепной комплекс — это последовательность абелевых групп или модулей A0, A1, A2, A3, A4, связанных гомоморфизмами (называемыми граничными операторами или дифференциалами) dn : An → An−1, таких, что композиция любых двух последовательных отображений является нулевым отображением. Явно, дифференциалы удовлетворяют dn ∘ dn+1 = 0, или, опуская индексы, d2 = 0. Комплекс может быть записан следующим образом. Коцепной комплекс — это двойственное понятие к цепному комплексу. Он состоит из последовательности абелевых групп или модулей A0, A1, A2, A3, A4, связанных гомоморфизмами dn : An → An+1, удовлетворяющих dn+1 ∘ dn = 0. Коцепной комплекс может быть записан аналогично цепному комплексу. Индекс n в An или An называется степенью (или размерностью). Различие между цепными и коцепными комплексами заключается в том, что в цепных комплексах дифференциалы уменьшают размерность, а в коцепных комплексах — увеличивают. Все понятия и определения для цепных комплексов применимы к коцепным комплексам, за исключением того, что они следуют иной конвенции для размерности, и часто терминам добавляется приставка «ко». В данной статье определения будут даны для цепных комплексов, когда различие не требуется. Ограниченный цепной комплекс — это комплекс, в котором почти все An равны 0, то есть конечный комплекс, расширенный нулями слева и справа. Примером является цепной комплекс, определяющий симплициальную гомологию конечного симплициального комплекса. Цепной комплекс ограничен сверху, если все модули выше некоторой фиксированной степени N равны 0, и ограничен снизу, если все модули ниже некоторой фиксированной степени равны 0. Очевидно, комплекс ограничен как сверху, так и снизу, тогда и только тогда, когда он ограничен. Элементы отдельных групп (ко)цепного комплекса называются (ко)цепями. Элементы в ядре d называются (ко)циклами (или замкнутыми элементами), а элементы в образе d называются (ко)границами (или точными элементами). Непосредственно из определения дифференциала следует, что все границы являются циклами. n-я (ко)гомологическая группа Hn (Hn) — это группа (ко)циклов по модулю (ко)границ в степени n, то есть,

Точные последовательности

Точная последовательность (или точный комплекс) — это цепной комплекс, все группы гомологий которого равны нулю. Это означает, что все замкнутые элементы в комплексе точны. Короткая точная последовательность — это ограниченная точная последовательность, в которой ненулевыми могут быть только группы Ak, Ak+1 и Ak+2. Например, следующий цепной комплекс является короткой точной последовательностью. В средней группе замкнутыми элементами являются элементы pZ; очевидно, что это точные элементы в этой группе.

Карты цепей

Карта цепи f между двумя цепными комплексами и представляет собой последовательность гомоморфизмов для каждого n, коммутирующих с операторами границы на этих двух цепных комплексах, что выражается следующей коммутативной диаграммой. Карта цепи переводит циклы в циклы, а границы – в границы, и таким образом индуцирует отображение на гомологии. Непрерывное отображение f между топологическими пространствами X и Y индуцирует карту цепи между сингулярными цепными комплексами X и Y, а следовательно, и отображение f* между сингулярными гомологиями X и Y. Если X и Y обе являются n-сферой, то индуцированное на гомологиях отображение определяет степень отображения f. Понятие карты цепи сводится к понятию границы посредством построения конуса карты цепи.

Гомотопия цепи

Цепная гомотопия предоставляет способ связать две цепные карты, которые индуцируют одно и то же отображение на гомологических группах, даже если сами карты различны. Для двух цепных комплексов A и B и двух цепных карт f, g : A → B, цепная гомотопия – это последовательность гомоморфизмов hn : An → Bn+1 такая, что d(hdA + dBh) = f − g. Эти карты можно представить в виде диаграммы, однако эта диаграмма не коммутативна. Легко проверить, что отображение d(hdA + dBh) индуцирует нулевое отображение на гомологии для любой гомотопии h. Следовательно, f и g индуцируют одно и то же отображение на гомологии. Говорят, что f и g цепно гомотопны (или просто гомотопны), и это свойство определяет отношение эквивалентности между цепными картами. Пусть X и Y – топологические пространства. В случае сингулярной гомологии, гомотопия между непрерывными отображениями f, g : X → Y индуцирует цепную гомотопию между соответствующими цепными картами f и g. Это показывает, что два гомотопных отображения индуцируют одно и то же отображение на сингулярной гомологии. Название "цепная гомотопия" мотивировано этим примером.

Однозначная гомология

Пусть X — топологическое пространство. Определим Cn(X) для натурального n как свободную абелеву группу, формально порожденную сингулярными n-симплексами в X, и определим отображение границы как

где символ «^» обозначает исключение вершины. То есть граница сингулярного симплекса — это знакопеременная сумма ограничений на его грани. Можно показать, что ∂2 = 0, следовательно, это является цепным комплексом; сингулярная гомология — это гомология этого комплекса. Сингулярная гомология является полезным инвариантом топологических пространств с точностью до гомотопической эквивалентности. Гомологическая группа нулевой степени — это свободная абелева группа, порожденная связными компонентами X.

Кохомология де Рама

Дифференциальные k-формы на любом гладком многообразии M образуют вещественное векторное пространство, называемое Ωk(M) относительно операции сложения. Внешняя производная d отображает Ωk(M) в Ωk+1(M), а равенство d = 0 вытекает, по сути, из симметрии вторых производных, поэтому векторные пространства k-форм вместе с внешней производной образуют комплекс коцепей. Когомология этого комплекса называется когомологиями де Рама многообразия M. Локально постоянные функции характеризуются изоморфизмом с числом связных компонент M. Таким образом, комплекс был расширен, чтобы обеспечить его точную полноту на уровне 0-форм, используя оператор подмножества. Гладкие отображения между многообразиями индуцируют отображения цепей, а гладкие гомотопии между отображениями индуцируют гомотопии цепей.